1、建平中学 2016- 2017 学年 第一学期高一年级 期末考试 试卷 一、填空题： （ 每小题 3 分，共 36 分 ） 1 集合 1Aa， ， 24Ba ， ，若 0 1 4ABU ， ， ，则 a的值为 2 函数 23xxfxx ， 26xgxx ，则 f x g x = 3 全集 UR ，且 2| 6 0A x x x ， 3 4 0B x x ，则 U ABI 4 函数 12g x x ， 12xf g xx ，则 12f 5 不等式 14xx 的解集是 6 命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数 ”的逆否命题是 7 函数 2 30y x x 的反函数是 8 若 213f
2、x m x mx x R 是偶函数，则函数 2 11x mxgxx 的零点是 9 函数 2 122y xx 的值域是 10 函数 2log 1 1y x x 的单调递增区间是 11 已知关于 x的不等式 11ax ax 在 25， 有实数解，则实数 a的取值范围为 12 把指数函数 2xy 图像向下平移 1 个单位得到函数 y h x 的图像，函数 1log 1 0 12 mg x x a m m a ， ， R 满足 7 1 1gg ，若函数 00h x xfx g x x 在 ， 上是减函数，则实数 a的取值范围是 二、选择题： （ 每小题 3 分，共 12 分 ） 13 如果 0xy，则
3、下列各式中成立的是 （ ） A xy B xy C xy D 以上都有可能 14 设 pq， 是两个命题： 12: log 1 0px， 22: 2 2 15xxq ，则 p是 q的 （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 15 设函数 1fx x ， 2 0g x ax bx a b a ， ，R ，若 y f x 的图像与 y g x 图像有且仅有两个不同的公共点 11A x y， ， 22B x y， ，则下列判断正确的是 （ ） A 当 0a 时， 120xx， 120yy B 当 0a 时， 120xx， 120yy C 当 0
4、a 时， 120xx， 120yy D 当 0a 时， 120xx， 120yy 16 学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论： 若函数 y f x有反函数，则其反函数可表示为 1y f x； 函数 y f x 在其定义域内的最大值为 M ，最小值为 m，则其值域为 mM， ； 定义在 R上的函数 y f x ，若对任意的实数 xy， 等式 1 f x yf x f y f x f y 均成立，则函数 y f x 一定是奇函数； 定义在 R上的函数 y
5、 f x ，若对任意的实数 x都有 0f x f x，则函数 y f x 一定没有反函数 李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是 （ ） A 都是错误的 B 只有一个是正确的 C 两对两错 D 只有一个是错误的 三、解答题 （ 10+10+10+12， 共 52 分 ） 17 解下列不等式或方程 1 11x 214log 3 6 12 2xx 18已知 m为实常数，求函数 222 1log 2 log 3 2y x m x x 的最小值 19 已知函数 1xxxxaayaaa 判断该函数奇偶性并证明； 利用函数单调性定义证明该函数在 ， 上为增函数 20 已知某市最低工资标
6、准为每月 1800 元，为了解决该 市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的 贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于 6000 元的 ，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额 k 月 工 资 收 入 ，其中 k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于 5000 元，贷款月还款额高于 5000 元的，只对 5000 元部分进行补贴 高于 5000 元部分不予补贴，已知月工资收入 不 高于 3000 元时 k=1000. 若某人工资为 2000 元，贷款月还款额为 5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？ 对于月工资收入不高于 30
7、00 元的贷款买房的居民中 若贷款月还款额均为 5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题） 21 对于函数 y f x 和 y g x ，若存在区间 A，使 1f x g x 在区间 A上恒成立，则称区间 A是函数 y f x 和 y g x 的“公共邻域” 设函数 3 0 1xf x a a a a ， 的反函数为 1y f x ，函数 y g x 的图像与函数 1y f x 的图像关于点 0a， 对称 求函数 1y f x 和 y g x 的解析式； 若 2a ，求函数 1y g x f x 的定义域； 是否存在实数 a，使得区间 23aa， 是 1y
8、f x 和 y g x的“公共邻域”，若存在，求出 a的取值范围；若不存在，说明理由 建平中学 2016 学年 第一学期高一年级 期末考试 试卷 试卷分析 学科：数学 时间： 100 分钟 总分： 100 分 本次期末考试整体 稍简单 ，多为基础题和中档题。其中 16、 21 为较难题。试卷的考查范围集中在函数的问题，包括函数的定义域、值域、指对函数的图像与性质、函数的奇偶性与单调性、反函数、函数与方程问题。同时少量涉及到一些集合的运算、不等式的恒成立问题 ，图像的变换 以及新定义题 等。考生复习的重点应该放在函数的奇偶性的判断与应用、利用图像判断单调性、复合函数 的值域问题 、指对函数的图像
9、与性质、指对方程、函数与方程以及求解反函数等问题上。同时为了应对较为综合的题目需要将期中之前的解不等式与不等式的恒成立问题也进行相应的复习。详情参见下方具体试题与试题的考点分析。 一、填空题： （ 每小题 3 分，共 36 分 ） 1 集合 1Aa， ， 24Ba ， ，若 0 1 4ABU ， ， ，则 a的值为 【答案】 0 【考点分析】本题为基础题，考察了集合的运算。根据“并”运算的定义可知 a=0。 2 函数 23xxfxx ， 26xgxx ，则 f x g x = 【答案】 2 2( 0 3)x x x 且 【考点分析】本题为基础题，考察了函数运算与定义域。新函数的定义域是所有参与
10、运算的函数定义域的交集。 3 全集 UR ，且 2| 6 0A x x x ， 3 4 0B x x ，则 U ABI 【答案】 ( , 2) 1, ) 【考点分析】本题为基础题，考察了不等式和集合的运算。 2,3A , ( , 1) (7, )B 再集合 运算即可。 4 函数 12g x x ， 12xf g xx ，则 12f 【答案】 -1 【考点分析】本题为基础题，考察了函数值的计算。令 11() 24g x x ，故111 42 1124f 。 5 不等式 14xx 的解集是 【答案】 (0,1)x 【考点分析】本题为基础题，考察了穿根法求解高次不等式。化简为5 10x x ，根据“
11、奇穿偶不穿”的口诀即可。 6 命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数 ”的逆否命题是 【答案】若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称。 【考点分析】本题为基础题，考察了逆否命题与原命题的关系。逆否命题将原命题的条件与结论在否定的同时，交换他们的 顺序。 7 函数 2 30y x x 的反函数是 【答案】 3( 3)y x x 【考点分析】本题为基础题， 考察了反函数的求解。第一步求出原函数的值域，第二步反解得到 x 关于 y 的函数关系，第三步交换 x 与 y 的位置。 8 若 213f x m x mx x R 是偶函数，则函数 2 11x mxgxx 的零点是 【答案】 -1
12、【考点分析】本题为基础题， 考察了偶函数的定义和零点的概念。 213f x m x mx x R 是偶函数可得 m=0，故 2 11( 1)1xg x x xx ，零点为 -1。 9 函数 2 122y xx 的值域是 【答案】 (0,1 【考点分析】本题为基础题，考察了复合函数的值域问题。 2 12 2 1, ), (0,1t x x y t 。 10 函数 2log 1 1y x x 的单调递增区间是 【答案】 (0,1) 【考点分析】本题为中档题，考察了函数图像的变换以及单调区间判断。先将 2logyx 关于 y 轴对称得到2log | |yx ，再向右平移一个单位得到 2log | 1
13、|yx，最后将图像的下半部分翻折到上半部分得到 2log 1 1y x x ，观察图像即可。 3 / 7 11 已知关于 x的不等式 11ax ax 在 25， 有实数解，则实数 a的取值范围为 【答案】 3( , )2a 【考点分析】 本题为中档题，考察了不等式有解问题。参变分离化简为 11xa x 在 25， 有实数解，而 11xx 在 25， 单调递减， 最小值为 32 ，故 3( , )2a 。 12 把指数函数 2xy 图像向下平移 1 个单位得到函数 y h x 的图像，函数 1log 1 0 12 mg x x a m m a ， ， R 满足 7 1 1gg ，若函数 00h
14、x xfx g x x 在 ， 上是减函数，则实数 a的取值范围是 【答案】 ( ,0a 【考点分析】 本题为中档题，考察了分段函数的单调性。首先根据题意运算得到 12m ， 再根据图像的变化画出 (| |)hx的图像，发现 (| |)hx和 ()gx本身已经是减函数，为了保证在 ， 上是减函数，故在 x=0 处也要满足减函数的定义，故 |0| 1212 1 log (0 1) 02 aa 。 二、选择题： （ 每小题 3 分，共 12 分 ） 13 如果 0xy，则下列各式中成立的是 （ ） A xy B xy C xy D 以上都有可能 4 / 7 期末满分冲刺之试卷分析 【答案】 D 【
15、考点分析】本题为基础题，考察了不等式的性质。根据题意 x 和 y 一正一负，故 x 和 y 的绝对值大小未知，ABC 三个选项均有可能。 14 设 pq， 是两个命题： 12: log 1 0px， 22: 2 2 15xxq ，则 p是 q的 （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【考点分析】本题为基础题，考察了指对不等式的求解以及条件 的 判断 。首先 解不等式得到命题 p: 2 1 1 2xx 或 ，命题 q： 2x ，再根据集合小推大的关系可知， p 是 q 的充分不必要条件。 15 设函数 1fx x ， 2 0
16、g x ax bx a b a ， ，R ，若 y f x 的图像与 y g x 图像有且仅有两个不同的公共点 11A x y， ， 22B x y， ，则下列判断正确的是 （ ） A 当 0a 时， 120xx， 120yy B 当 0a 时， 120xx， 120yy C 当 0a 时， 120xx， 120yy D 当 0a 时， 120xx， 120yy 【答案】 C 【考点分析】本题为中档题，考察了函数与方程的数学思想以及解的个数问题。根据题意当 a0 时同理可得 2 1 2 12 1 2 100x x x xy y y y 。 16 学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，
17、群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论： 若函数 y f x有反函数，则其反函数可表示为 1y f x； 函数 y f x 在其定义域内的最大值为 M ，最小值为 m，则其值域为 mM， ； 定义在 R上的函数 y f x ，若对任意的实数 xy， 等式 1 f x yf x f y f x f y 均成立，则函数 y f x 一定是奇函数； 定义在 R上的函数 y f x ，若对任意的实数 x都有 0f x f x，则函数 y f x 一定没有反函数 李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中
18、判断正确的是 （ ） A 都是错误的 B 只有一个是正确的 C 两对两错 D 只有一个是错误的 【答案】 C 【考点分析】本题为较难题，考察了反函数的求解，值域与最值得关系，奇偶性和反函数存在的条件。结论（ 1）中 函数 y f x有反函数，则其反函数应是 1()y f x ，结论（ 2）中函数能取到两个最值，未必能够取到中间一切的值，结论（ 3）由 1 f x yf x f y f x f y ，可得 1 f y xf y f x f x f y ，两式相加有( ) ( ) 0f x y f y x ，即函数 y f x 是奇函数，结论（ 4）由 0f x f x可知 f(x)图像关于 y
19、轴对称，即 f(x)是偶函数，故一定不是一一映射函数，所以一定没有反函数。 三、解答题 （ 10+10+10+12， 共 52 分 ） 17 解下列不等式或方程 1 11x 214log 3 6 12 2xx 【答案】（ 1） (1,2)x （ 2） 5 或 -2 【考点分析】本题为基础题，考察了分式不等式和指对方程的求解。第一小问通分化简即可，第二小问首先得到 214log 3 6 1xx ，继而 2 3 6 4xx 即可。 18已知 m为实常数，求函数 222 1log 2 log 3 2y x m x x 的最小值 【答案】 当 min1, 2 2m y m ， 当 2min1, 3m
20、y m 【考点分析】本题为中档题，考察了复合函数的值域问题。令 2log 1, )tx ，则求 2 23y t mt 在 1, )t 的最小值，对称轴为 t=m，讨论对称轴与区间的位置关系即可。 19 已知函数 1xxxxaayaaa 判断该函数奇偶性并证明； 利用函数单调性定义证明该函数在 ， 上为增函数 【答案】（ 1）该函数是奇函数，证明过程略。 （ 2）证明过程略 【考点分析】本题为基础题，考察了函数奇偶性和单调性的定义。 20 已知某市最低工资标准为每月 1800 元，为了解决该 市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的 贷款补贴，补贴规则
21、：个人每月收入不高于 6000 元的 ，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额 k 月 工 资 收 入 ，其中 k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于 5000 元，贷款月还款额高于 5000 元的，只对 5000 元部分进行补贴 高于 5000 元部分不予补贴，已知月工资收入 不 高于 3000 元时 k=1000. 若某人工资为 2000 元，贷款月还款额为 5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？ 对于月工资收入不高于 3000 元的贷款买房的居民中 若贷款月还款额均为 5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题） 【答案】（
22、1） 2500 元 （ 2） 4667 元 【考点分析】本题为中档题，考察了应用题理解分析能力以及基本不等式的运用。第一小问根据题意可得补贴为 10005000 25002000元 。 第 二 小 问 设 月 工 资 为 x 元（ 1800 3000x ）， 则 实 际 收 入610005000 2 5 10 4472yxx 元，当且仅当 2236x 元时等号成立 ， 故最高收入为 4667 元（当x=3000 元） 。 21 对于函数 y f x 和 y g x ，若存在区间 A，使 1f x g x 在区间 A上恒成立，则称区间 A是函数 y f x 和 y g x 的“公共邻域” 设函数
23、 3 0 1xf x a a a a ， 的反函数为 1y f x ，函数 y g x 的图像与函数 1y f x 的图像关于点 0a， 对称 求函数 1y f x 和 y g x 的解析式； 若 2a ，求函数 1y g x f x 的定义域； 是否存在实数 a，使得区间 23aa， 是 1y f x 和 y g x的“公共邻域”，若存在，求出 a的取值范围；若不存在，说明理由 【答案】（ 1） 1( ) log ( 3 )ay f x x a ， ( ) log ( )ay g x x a （ 2） (6, )D （ 3） 9 57(0, 12a 【考点分析】本题为较难题， 考察了利用函数
24、对称性求解析式，以及新定义的理解转化能力。 第一小问反函数的求解比较容易，得到 1( ) log ( 3 )ay f x x a 后，可设 y g x 上的任意一点为 ( , )xy，则 ( , )xy关于 0a，的 对 称 点 为 (2 , )a x y ，故 (2 , )a x y 在 1( ) log ( 3 )ay f x x a 图 像 上 ， 代 入 化 简 得 到( ) log ( )ay g x x a 。第二问中即求 ()y g x和 1()y f x 定义域的交集。第三问首先考虑当 23x a a ， 时均满足两个对数函数的定义域，故 0 12 0320aaaa a ，根据“公共领域”的定义可得， 1 log ( 3 )( ) 1a x a x a 在 23aa， 恒成立，故有 1( 3 )( )a x a x a a 在 23aa， 恒成立，令 ( ) ( 3 )( )h x x a x a ，对称轴为 22x a a ，故 h(x)在 23x a a ， 上单调递增，故minmax( ) 4 4 9 570 1(9 21)6hxaxah a aa 。
