1、一 实数及其性质,问题 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论 实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数”为此我们规定:,实 数,对于正有限小数,其中,，记,；对于正整数,则记,；对于负有限小数（包括负整数）,，则先将,表示为无限小数，现在所得的小数之,前加负号,例：,于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。,利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限 小数来表示。但新的问题又出现了：在此规定下，如 何比较实数的大小？,2 实数大小的比较,定义1,给定两个非负实数,其中,为非负整数,为整数,若有,1),若,则称x与y相等,记为,2),若存在非负整
2、数l, 使得,(k=0,1,2,l),而,则称x大于y(或y小于x),分别记为,或,规定任何非负实数大于任何负实数；,对于负实数,x ,y,若按定义1有,则称,比较两个实数大小的等价条件,为非负实数，称有理数,为实数x的n位不足近似，,而有理数,称为x的n位过剩近似，n=0, 1,2,定义2 设,对于负实数,x的n位不足近似值规定为：,x的n位过剩近似值规定为：,例如:,则,1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,为,的1位,2位,3位,4位不足近似值。,1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, ,为,的1位,2位,3位,4位过剩近似值。,实数有如下一些主要性质,2 实数集
3、是有序的，即,任何两个实数,a, b,必满足下述,3 实数大小关系具有传递性，即若ab，bc ,则有,ac.,4 实数具有Achimedes性，即对任何,5 实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数。,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。,三个关系之一：,1 实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的.,例2,证明,.,.,.,.,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,+,+,=,-,=,从而必有,矛盾,这与假设,为正数且,则,令,有,则根据实数的有序性,假若结论不成立,用反证法,e,e,e,e,二,.,绝对值与不等式,实数a的绝对值定义,a,0,-,a,.
4、几何意义：从数轴看,数,的绝对值,就是点,到原点的距离,认识到这一点非常有用，与此相应，,表示就是数轴上点,与,之间的距离.,性质,）,（非负性）；,）,；,）,；,）对任何,有,（三角不等式）；,）,）,性质4（三角不等式）的证明：,对任何,有,4. 几个重要不等式:,对,记,(算术平均值),(几何平均值),(调和平均值),有均值不等式:,(等号当且仅当,时成立)., Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过),对,2,数集,.,确界,原理,一 区间与邻域:,无限区间,邻域,去心邻域,此外,我们还常用到以下邻域,二、有界集 确界原理,定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M
5、(L),使得对一切xS,都有xM（xL）,则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）.若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集。,若数集S 有上界，显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S 的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。,M,M2,M1,上确界,上界,m2,m,m1,下确界,下界,下面给出数集的上确界和下确界的定义。,说明:,上、下确界的另一精确定义,定义,设S是R中的一个数集，若数,满足以下两条：,（1）对一切,有,即,是数集S的上界；,（2）,对任意,存在,使得,（即,是S的
6、最小上界）,则称数为数集S的上确界。,h,e,h,-,0,x,记作,x,e,x,+,S,定义,设S是R中的一个数集，若数,满足以下两条：,（1）对一切,有,即,是数集S的下界；,（2）,对任意,存在,使得,（即,是S的最大下界）,则称数 为数集S的下确界。,记作,思考题:0,1的上下确界分别等于几? (0,1)中的无理数构成的集合呢?,例2 设S=x|x为区间(0, 1)中的有理数,试按上下 确界的定义验证:supS=1, infS=0.,证,先验证supS=1,(1)对一切xS,显然有x1,即1是S的上界.,(2)对任何1,若0,则任取x0S都有x0;,若0,则有有理数在实数集中的稠密性,在
7、(,1)中必有有理数x0,即存在x0S,使得x0.,类似地可以验证infS=0,注: (1)由上（下）确界的定义可知,若数集S存在上（下）确界,则一定是唯一的;(2)若数集S存在上、下确界，则有infSsupS;(3)数集S的确界可能属于S也可能不属于S。,例3 设数集S有上确界,证明,的充要条件是,证,必要性,设,则对一切xS,有,而,故 是数集S中的最大数,即,充分性,设,则,下面验证,(1)对一切xS,有x ,则,从而满足,(2)对任何,只须取,的定义.,是S的上界;,即,定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。（证略）注意：确界原理
8、是极限理论的基础，应很好地去理解和消化。,例4 设A，B为非空数集，满足：对一切xA和 yB有xy。证明数集A有上确界，数集B有下确界，且supAinfB。,由确界原理可知数集A有上确界,数集B有下确界。,而此式表明数supA 是数集B的一个下界,证,由假设,数集B中任一数y都是数集A的上界，,数集A中任一数x都是数集B的下界,对任何yB, y是数集A的一个上界,又由上确界的定义知 supA 是数集A的最小上界,故有supA y。,由下确界的定义知, supAinfB。,例5 设A、B为非空有界数集, SAB.证明：（1） sup S maxsup A , supB;（2） inf S mininf A, inf B.证 由于SAB,显然也是非空有界数集,因此S的上下确界都存在.（1）对任何xS ，有xA或xB，故xsup A 或xsupB从而xmaxsupA,supB，故有supSmaxsupA,supB；另一方面，对任何xA，有xS ，故xsupS， 所以supAsupS ；同理又有supBsupS ， 因此supS maxsupA,supB综上所述，即得supSmaxsupA,supB。,4.小结,P9: 2, 4(1)、(3), 5.,(1), 两个实数的大小关系;,(2), 实数的性质;,(3), 区间和邻域的概念;,(4), 确界原理.,
