第四章流体力学.ppt

1、工程流体力学 第四章 相似原理与量纲分析 第四章 相似原理与量纲分析 本章主要介绍流体力学中的 相似原理 ，模型实验方法 以及 量纲分析法 。 解决流体 力学问题 的方法 数学分析 实验研究 模型实验 以相似原理为基础 解决流体力学问题的方法数学分析实验研究 模型实验解决流体力学问题的方法数学分析 实验研究 模型实验第一节 流动的力学相似 表征 流动 过程 的物 理量 描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的 如质量力、表面力、动量等 按性质分 几何 相似 运动 相似 动力 相似 流 动 相 似 应 满 足 的 条 件 第一节 流动的力学

2、相似 一 . 几何相似（空间相似） 定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。 lChhllLL （ 4-1） 以上标 “ ” 表示模型的有关量 :长度比例尺（相似比例常数） lC面积比例尺 : 222lA CllAAC （ 4-2） 体积比例尺 : 333lV CllVVC （ 4-3） 图 4-1 几何相似 满足上述条件，流动才能几何相似 第一节 流动的力学相似 第一节 流动的力学相似 定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。 图 4-2速度场 相似 二 运动相似（时间相似） 加速度比例尺 :

3、（ 4-6） lvtva CCCCtvtvaaC 2 注：长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。 时间比例尺 : 速度比例尺 : 3121 2 3ttttCt t t （ 4-4） tlv CCtltlvvC （ 4-5） 第一节 流动的力学相似 运动粘度比例尺 : 体积流量比例尺 : （ 4-7） VltlVVqV CCCCtltlqqC 2333 （ 4-8） vltlv CCCCtltlvvC 222第一节 流动的力学相似 第一节 流动的力学相似 三 . 动力相似（时间相似） 定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比

4、例，即它们的动力场相似 。 图 4-3 动力场相似 （ 4-10） 2233vlF CCCtvltvlC 又由牛顿定律可知： 其中： 为流体的密度比例尺。 C第一节 流动的力学相似 （ 4-9） IIttppF FFWWFFFFC 力的比例尺： 动力粘度比例尺 : 功率比例尺 : （ 4-13） CCCCCFvvFPPCvlvFP32 （ 4-14） CCCCCCvl有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。 压强（应力）比例尺 : 力 矩（功，能） 比例尺 : CCCCCFllFMMCvllFM 23 （ 4-11） CCCCAFAFppCvAF

5、ppp2 （ 4-12） 第一节 流动的力学相似 定义：在 几何相似 的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。 第二节 动力相似准则 由式 (4-10) 得 : 122 vlFCCCC（ 4-15） 2222 vlFvlF （ 4-16） NevlF 22（ 4-17） 当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是 牛顿相似准则 。 NeNe 称为 牛顿数 ，它是作用力与惯性力的比值。 Ne或 : 令 : 一、重力相似准则 （弗劳德准则） 二、粘性力相似准则 （雷诺准则） 三、压力相似准则 （欧拉准则） 四、弹性力相似准则 (柯西准则 ) 五、表面张力相似准则 （

6、韦伯准则） 六、非定常性相似准则 （斯特劳哈尔准则） 流场中有各种性质的力 ， 但不论是哪种力 ， 只要两个流场动力相似 ， 它们都要服从牛顿相似准则 。 第二节 动力相似准则 一、重力相似准则 glF CCCVggVWWC 3 将重力比 带入式 (4-15)得： 121 gl vCCC 2121 glvlg v Frglv 21或 : 令 : （ 4-18） （ 4-19） （ 4-20） 称为 弗劳德数 ，它是惯性力与重力的比值。 Fr当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是 重力相似准则 （弗劳德准则） 。 重力场中 ， 则 ： 1, gCgg 21lv CC （

7、a） 二、粘性力相似准则 将粘性力之比 带入式 (4-15)得： 或 : 令 : （ 4-21） （ 4-22） （ 4-23） （ b） F l vC C C C1 CCCC lv 1vlv CCC vllv vllv Re vlvl称为 雷诺数 ，它是惯性力与粘性力的比值。 Re当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦然。这就是 粘性力相似准则 （雷诺准则） 。 模型与原型用同一种流体时 ， ， 则： 1 CClv CC1三、压力相似准则 或 : 令 : （ 4-24） （ 4-25） （ 4-26） 当压强用压差代替： 将压力比 带入式 (4-15)得： 2lpF CCpAA

8、pFFC 12 vpCCC22vpvp Euvp 2称为 欧拉数 ，它是总压力与惯性力的比值。 Eu当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。这就是 压力相似准则 （欧拉准则） 。 2vpEu22vpvp（ 4-27） （ 4-28） 欧拉数 : 欧拉相似准则 : 四、弹性力相似准则（柯西准则） 将弹性力之比 带入式 (4-15)得： 2lkeeF CCVdVKAVdVAKdpAAdpFFC （ 4-29） 12 kv CCC 或 : （ 4-30） KvKv 22 令 : （ 4-31） CaKv 2称为 柯西数 ，它是惯性力与弹性力的比值。 Ca当模型与原型的弹性力相似，则其柯

9、西数必定相等，即 ；反之亦然。这就是 弹性力相似准则 （柯西准则） 。 CaaC 四、弹性力相似准则（马赫准则） 若流场中的流体为气体，由于 （ c 为声速） 则弹性力之比 带入式 (4-15)得： （ 4-32） 2cK 22 lcF CCCC 1cv CC或 : （ 4-33） cvcv 令 : （ 4-34） Macv 称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。 Ma当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即 ；反之亦然。这就是 弹性力相似准则 （马赫准则） 。 MaMa 称为 马赫数 ，它是惯性力与弹性力当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦然。这就是 弹性力相似准则

10、（马赫准则） 。 五、表面张力相似准则 将表面张力之比 带入式 (4-15)得 : lF CCllFFC （ 4-35） 12 CCCC vl或 : （ 4-36） lvlv 22 令 : （ 4-37） Welv 2称为 韦伯数 ，它是惯性力与表面张力的比值。 We当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是 表面张力相似准则 （韦伯准则） 。 WeWe 六、非定常性相似准则 或 : 令 : （ 4-38） （ 4-39） （ 4-40） 将惯性力之比 带入式 (4-15)得： 13 tvlx xItItF CCCCtvV tvVFFC 1tvlCCCvtltvl

11、Srvtl 称为 斯特劳哈尔数 ，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。 Sr当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即 ；反之亦然。这就是 非定常相似准则 （斯特劳哈尔准则） 。 SrSr 以上给出的 牛顿数 、 弗劳德数 、 雷诺数 、 欧拉 数 、 柯西数 、 马赫数 、 韦伯数 、 斯特劳哈尔数 均称 为相似准则数。 如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该 方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。 第二节 动力相似准则 第三节 流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件： 1任何相

12、似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题 ： 1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 第三节 流动相似条件 【例 4 - 1 】 如图 4 - 4 所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油

13、时，因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 m i nh 。 已知输油管内径d=250mm ，油的流量 qv=0.14m3/s ，运动粘度 sm25105.7 。 倘若选取的长度比例尺 511 C ， 为了保证流动相似，模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上测得 mmh 50 m i n ，油池的最小油深 m i nh 应等于多少？ 图 4-4 油池模型 【解】 按长度比例尺得模型输出管内径 ）（ mmdCdl505250 在重力场中 gg ， 由弗劳德数相等可得模型内液体的流速 和流量为 vvhhv212151

14、 ）（ smqvdvdqVV32521220025.09.5514.05151544 由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为 ）（ smvvvddvv2652310708.618.11105.751油池的最小油深为 ）（ mmChhl250505m i nm i n【例 4 - 2 】密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为 0.044 09N /m ，出口流束直径为 7.5cm ，流速为 12.5m/s ，在离喷嘴 10m 处破裂成雾滴；另一液体的表面张力为 0.073 48N/m 。如果二流动相似，另一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？ 【解

15、】 要保证二流动相似，它们的雷诺数和韦伯数必须相等，即 vllv lvlv22或 1lv CC CCC lv 2故有 667.104409.007348.0CCv 6.0667.111 vlCC另一流束的出口直径，流速和破裂成雾滴的距离分别为 ）（ cmdCdl5.45.76.0 ）（ smvCvl83.205.12667.1 ）（ mlCll0.6106.0 第四节 近似模拟试验 以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是 几何相似 、 运动相似 和 动力相似 。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用

16、到原型设备中去。 但是，要做到 流动完全相似是很难办到 （甚至是根本办不到）的 。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只有两个定性准则，即 Re 和 Fr （ FrfEu R e , 非定性准则 ），但是要想同时满足 rFFr ,eRRe, 常常也是非常困难的。因为： eRRe ， lvvl或 llvvlvCCC1 rFFr ，lgvglv22或 glvglvCCCCCC 222 在重力场中做试验，gg 即 1gC 则有： 11lvCCC ， lvCC 2 当选用相同的流动介质，即 ，1C11lvCC， lvCC 2 若取101llCl 时，101vvCv，16.312vvCv 这就使得二者发生矛盾，故 不能选用同种介质 。 当令 21 vvCC 时，则有：23lCC 取 101lC时，6.311C，这个比例也是很难办到的，如选用 20 的水气比拟，)/(101526sm气，)/(10126sm水，于是 151C，也根本达不到要求。不过，若没有其它办法时，此方法有时也可采用。如降低水的运动粘度，即对模型中的流动介质加温。若取 60 的水作模型中流动介质，可有)/(10477.026sm，则 5.31115477.0C可 近似地满足要求 。