1、系统辨识基础 第5讲,第2章 随机信号的描述与分析 2.1 随机过程的基本概念及其数学描述（第4讲） 2.2 谱密度函数（第4讲） 2.3 线性过程在随机输入下的响应（第5讲） 2.4 白噪声及其产生方法（书2.5）（第5讲） 2.5 M序列的产生及其性质（书2.6）(第6讲),2.3 线性过程在随机输入下的响应,2.3.1 线性过程在随机输入下的输出谱密度 2.3.2 线性过程在随机输入下的互谱密度,2.3.1 线性过程在随机输入下的输出谱密度,对于如图所示线性系统,2.3.1 线性过程在随机输入下的输出谱密度,如果u和y是确定性过程,2.3.1 线性过程在随机输入下的输出谱密度,如果u和y
2、是随机过程，证明：proof_for_第四讲_p66_线性过程在随机输入下的输出谱密度.doc 注意：u和y是平稳随机过程（系统到达随机意义下的平稳，不是过渡过程）,2.3.2 线性过程在随机输入下的互谱密度,对于上述线性系统，当u和y是平稳随机过程时，有,2.3.2 线性过程在随机输入下的互谱密度,证明：,2.4 白噪声及其产生方法,2.4.1 白噪声的概念 2.4.2 表示定理与成形滤波器 2.4.3 (0,1)均匀分布随机数的产生 2.4.4 正态分布随机数的产生,2.4.1 白噪声的概念,(1) 白噪声过程的两种等价定义 (2) 白噪声过程的性质 (3) 多维白噪声过程 (4) 近似的
3、白噪声过程 (5) 白噪声序列 (6) 多维白噪声序列 (7) 白噪声序列的用途,(1) 白噪声过程的两种等价定义,定义1：如果一个平稳随机过程w(t)具有恒定的功率谱密度函数，即在全频段内，有则称w(t)为白噪声过程。 覆盖全频带，白光光谱包含了所有可见光的频率,(1) 白噪声过程的两种等价定义,(1) 白噪声过程的两种等价定义,定义2：如果一个平稳随机过程w(t)具有如下的自相关函数，即则称w(t)为白噪声过程。,(1) 白噪声过程的两种等价定义,(1) 白噪声过程的两种等价定义,两种定义的等价性 根据Wiener-Khintchine定理，可以证明如果w(t)的自相关函数满足定义2，则其
4、功率谱密度满足定义1,(2) 白噪声过程的性质,白噪声的均值默认为零E(w)=0 ，否则，自相关函数不可能为冲激函数（函数） 白噪声无记忆性，任两个不同时刻的随机变量之间不相关，即白噪声平均功率是平均功率=,(2) 白噪声过程的性质,白噪声的频带无限宽，功率在频域上均匀分布（功率谱密度是直线） 白噪声在现实中不存在（时域、频域） 是否为白噪声与随机过程的分布无关（如正态分布白噪声，均匀分布白噪声，正态分布非白噪声过程，均匀分布非白噪声过程） 研究白噪声的目的，数学处理简单、方便，最优输入，易于辨识算法中噪声和干扰的分析与处理 有色噪声：不是白噪声的随机过程,(3) 多维白噪声过程,多维白噪声的
5、定义其中，Q为正定的常数矩阵,(4) 近似的白噪声过程,低通白噪声：如果零均值平稳随机过程的功率谱密度在一定的频带内均匀分布，即则称其为低通白噪声过程（限带白噪声） 低通白噪声过程的自相关函数为（0越大，越近似于函数，图2.19）,(4) 近似的白噪声过程,限带白噪声在 处等于0，因此，如果以 为采样时间采样限带白噪声过程，采样得到的样本两两互不相关(图2.19),(4) 近似的白噪声过程,另一种近似白噪声：如果零均值平稳随机过程w(t)的自相关函数Rw() 近似为函数，即则视其为近似的白噪声 时间差超过一定的长度后不相关。 （P28，例2.2）,(5) 白噪声序列,对于零均值平稳随机序列w(
6、k)（只在离散时间点上定义），如果其不同时刻的随机变量两两不相关，则称其为白噪声序列，即,(5) 白噪声序列,白噪声序列的谱密度函数白噪声序列是实际存在的，因为只要求离散时刻的两两不相关*,(5) 白噪声序列,白噪声序列的例子,(6)多维白噪声序列,多维白噪声序列,(7)白噪声序列的用途,作为最优输入信号，仿真产生白噪声序列的实现； 假定干扰为白噪声序列，简化问题的研究 假定干扰为有色噪声序列，则可以将其表示成白噪声通过成形滤波器的输出 利用白噪声序列的性质，简便辨识算法的求解或推导,2.4.2 表示定理与成形滤波器,设平稳噪声序列e(k)的谱密度Se()是的实函数，或是cos()的有理函数，
7、那么必定存在一个渐近稳定的线性环节，使得如果环节的输入是白噪声序列时，则环节的输出是谱密度为Se()的平稳噪声序列。 满足上述条件的平稳随机序列e(k)，成形滤波器H(z1)= D(z1)/C(z1)，使得,2.4.2 表示定理与成形滤波器,表示定理的含义： 任何平稳有色噪声序列e(k)都可以表示成白噪声序列w(k)驱动的某个渐近稳定的线性系统H(z1)的输出 任何平稳随机序列都包含确定性和随机性两部分的作用。 确定性：参数化的成形滤波器，w(k)的统计特性 随机性：w(k)的取值,2.4.2 表示定理与成形滤波器,表示定理的作用：可以用白噪声+线性系统（成形滤波器）来表示有色噪声 在辨识中，
8、经常假设随机干扰是白噪声通过线性系统的输出，如注意：表示定理是存在性定理，并没有告诉我们如何找到适当的成形滤波器和白噪声。可以通过辨识的方法确定成形滤波器的参数和白噪声的方差,2.4.3 (0,1)均匀分布随机数的产生,(0,1)均匀分布随机数i （随机序列）：在每个特定时刻i， i是(0,1)均匀分布的随机变量，即不是白噪声序列 是产生其它随机序列（包括白噪声序列）的基础,2.4.3 (0,1)均匀分布随机数的产生,乘同余法： 初始化：M=2k，k为充分大的正整数，A3 (mod 8) or A 5 (mod 8), x0为正奇数。 xi Axi-1 (mod M)i xi/M 或将 合并为 i 取小数部分Ai-1, 0 = x0/M,2.4.3 (0,1)均匀分布随机数的产生,i是伪随机序列，最大循环周期为2k-2，是(0,1)均匀分布随机序列的一个实现的近似（不同初值导致不同的实现）,2.4.4 正态分布随机数的产生,统计近似抽样法（ i是(0,1)均匀分布随机序列，根据中心极限定理）用多组长度为N的i来 产生序列k,2.4.4 正态分布随机数的产生,k是伪随机序列，近似为白噪声序列的一个实现( ),2.4.4 正态分布随机数的产生,变换抽样法：设 1,k和2,k是 互相独立的(0,1)均匀分布随机序列，令则1,k和2,k是互相独立的服从N(0,1)分布的白噪声序列。,
