1、1,主要内容 集合的基本概念属于、包含幂集、空集文氏图等 集合的基本运算并、交、补、差等 集合恒等式集合运算的算律、恒等式的证明方法,第二部分 集合论,第六章 集合代数,2,6.1 集合的基本概念,1. 集合定义集合没有精确的数学定义理解:由离散个体构成的整体称为集合,称这些个体为集 合的元素常见的数集:N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合,2. 集合表示法枚举法-通过列出全体元素来表示集合谓词表示法-通过谓词概括集合元素的性质实例:枚举法 自然数集合 N=0,1,2,3,谓词法 S= x | x是实数,x21=0,3,元素与集合,1. 集合的元素具有的
2、性质无序性:元素列出的顺序无关相异性:集合的每个元素只计数一次确定性:对任何元素和集合都能确定这个元素是否为该集合的元素任意性:集合的元素也可以是集合 2元素与集合的关系隶属关系:或者 3集合的树型层次结构,d A , a A,4,集合与集合,集合与集合之间的关系:, =, , , , 定义6.1 A B x ( xA xB ) 定义6.2 A = B A B B A 定义6.3 A B A B A B A B x ( xA xB ) 思考: 和 的定义 注意 和 是不同层次的问题,5,空集、全集和幂集,1定义6.4 空集 :不含有任何元素的集合实例: x | xR x2+1=0 定理6.1
3、空集是任何集合的子集。证 对于任意集合A,A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的,3. 定义6.6 全集 E:包含了所有集合的集合全集具有相对性:与问题有关,不存在绝对的全集,2. 定义6.5 幂集:P(A)= x | x A 实例:P()=, P()=,计数:如果 |A|=n,则 |P(A)|=2n.,6,6.2 集合的运算,初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 并 AB = x | xA xB交 AB = x | xA xB相对补 AB = x | xA xB 定义6.8 对称差 AB = (AB)(BA) 定义6.9 绝对补 A = EA,7,文氏图,集合运算的表示,A,
4、B,A,B,A,B,A,B,A,B,AB,AB,AB,AB,A,8,几点说明,并和交运算可以推广到有穷个集合上,即 A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAnA B AB = AB = AB = A,9,广义运算,1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = x | z ( zA xz )广义交 A= x | z ( zA xz ) 实例1, 1,2, 1,2,3=1,2,31, 1,2, 1,2,3=1a=a, a=aa=a, a=a,10,关于广义运算的说明,2. 广义运算的性质(1) =,无意义 (2) 单元集x
5、的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次(括弧减少一层)(4) 广义运算的计算:一般情况下可以转变成初级运算A1, A2, , An=A1A2AnA1, A2, , An=A1A2An 3. 引入广义运算的意义可以表示无数个集合的并、交运算,例如x | xR=R这里的 R 代表实数集合.,11,运算的优先权规定,1 类运算:初级运算, , , ,优先顺序由括号确定 2 类运算:广义运算和运算,运算由右向左进行 混合运算:2 类运算优先于1 类运算,例1 A=a,a,b,计算A(AA). 解: A(AA) = a,b(a,ba)= (ab)(ab)a)= (ab)(ba) = b
6、,12,有穷集合元素的计数,1. 文氏图法 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质,其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为,推论 S中至少具有一条性质的元素数为,13,实例,例2 求1到1000之间(包含1和1000在内)既不能被5和6整 除,也不能被8整除的数有多少个?,解 方法一:文氏图定义以下集合: S= x | xZ 1x1000A= x | xS x可被5整除B= x | xS x可被6整除C= x | xS x可被8整除 画出文氏图,然后填入相应的数字,解得N=1000(200+100+33+67)=600,14,实例,方
7、法二 |S| = 1000|A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125|AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33|AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25|BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41|ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600,15,6.3 集合恒等式,集合算律 1只涉及一个运算的算律:交换律、结合律、幂等律,16,集合算律,2涉及两个不同运算的
8、算律:分配律、吸收律,17,集合算律,3涉及补运算的算律:DM律,双重否定律,18,集合算律,4涉及全集和空集的算律:补元律、零律、同一律、否定律,19,集合证明题,证明方法:命题演算法、等式置换法 命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY任取x, xX xY (2) 证X=Y方法一 分别证明 XY 和 YX方法二 任取x,xX xY 注意:在使用方法二的格式时,必须保证每步推理都是充 分必要的,20,集合等式的证明,方法一:命题演算法 例3 证明A(AB) = A (吸收律) 证 任取x,xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) =
9、A.,例4 证明 AB = AB 证 任取x,x AB xAxB xAxB xAB 因此得 AB = AB,21,等式代入法,方法二:等式置换法 例5 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立,证明吸收律. 证 A(AB) = (AE)(AB) (同一律)= A(EB) (分配律) = A(BE) (交换律)= AE (零律)= A (同一律),22,包含等价条件的证明,例6 证明AB AB=B AB=A AB= 证明思路: 确定问题中含有的命题:本题含有命题 , , , 确定命题间的关系(哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论):本题中每个命题都可以作为已知条件,每个命题都是要证明的结论
10、 确定证明顺序:, 按照顺序依次完成每个证明(证明集合相等或者包含),23,证明,证明AB AB=B AB=A AB= 证 显然BAB,下面证明ABB. 任取x, xAB xAxB xBxB xB因此有ABB. 综合上述得证. A=A(AB) A=AB (由知AB=B,将AB用B代入),24, 假设AB, 即xAB,那么知道xA且xB. 而xB xAB 从而与AB=A矛盾. 假设AB不成立,那么x(xAxB) xAB AB 与条件矛盾.,证明,25,第六章 习题课,主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合:空集、全集、幂集 文氏图及有穷集合
11、的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用,26,基本要求,熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 熟练掌握集合的基本运算(普通运算和广义运算) 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法,27,练习1,1判断下列命题是否为真(1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c(6) a, b a, b, c, a, b(7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b,解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真,其余为假.,
12、28,方法分析,(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法:把 a 作为整体检查它在A中是否出现,注意这里的 a 可能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的,依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的,且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB,“P当且仅当Q”意味= 通过集合运算判断AB,即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含(注意这里是判断,而不是证明,29,练习2,2设S1=1, 2, , 8, 9, S2=2, 4, 6, 8S3=1, 3, 5, 7,
13、 9 S4=3, 4, 5S5=3, 5确定在以下条件下X是否与S1,S5中某个集合相等?如果是,又与哪个集合相等?(1)若 XS5=(2)若 XS4但 XS2=(3)若 XS1且 X S3(4)若 XS3=(5)若 XS3 且 X S1,30,解答,解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5,因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交,不能含有偶数,因此 X=S5. (3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集,不包含在S3的子集含有偶数,因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集,因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是
14、S1的子集,因此这样的X不存在.,31,练习3,3. 判断以下命题的真假,并说明理由. (1)AB = A B=(2)A(BC) = (AB)(AC)(3)AA = A(4)如果AB = B,则A = E. (5)A = xx,则 xA且x A.,32,解题思路,先将等式化简或恒等变形. 查找集合运算的相关的算律,如果与算律相符,结果为真. 注意以下两个重要的充要条件AB = A AB = AB = AB AB = B AB = A 如果与条件相符,则命题为真. 如果不符合算律,也不符合上述条件,可以用文氏图表示集合,看看命题是否成立.如果成立,再给出证明. 试着举出反例,证明命题为假.,33
15、,解答,解 (1) B=是AB=A的充分条件,但不是必要条件. 当B不空但是与A不交时也有AB=A. (2) 这是DM律,命题为真. (3) 不符合算律,反例如下:A=1,AA=,但是A. (4) 命题不为真. AB=B的充分必要条件是 BA,不是A=E. (5) 命题为真,因为 x 既是 A 的元素,也是 A 的子集,34,练习4,4证明 AB = AC AB = AC B = C,解题思路 分析命题:含有3个命题:AB = AC , AB = AC, B = C 证明要求前提:命题和结论:命题 证明方法:恒等式代入反证法利用已知等式通过运算得到新的等式,35,解答,方法一:恒等变形法 B
16、= B(BA) = B(AB) = B(AC) = (BA)(BC)= (AC)(BC) = (AB)C = (AC)C = C,方法二:反证法. 假设 B C,则存在 x (xB且xC), 或存在 x (xC且xB). 不妨设为前者. 若x属于A,则x属于AB 但x不属于AC,与已知矛盾; 若x不属于A,则x属于AB但x不属于AC,也与已知矛盾.,36,解答,方法三:利用已知等式通过运算得到新的等式. 由已知等式和可以得到(AB) (AB) = (AC) (AC) 即 AB = AC 从而有A(AB) =A(AC) 根据结合律得(AA)B = (AA) C 由于AA = , 化简上式得B =
17、 C.,37,练习5,5设A,B为集合,试确定下列各式成立的充分必要条件: (1) AB=B (2) AB=BA (3) AB=AB (4) AB=A,38,分析,解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明如下:(1) 化简给定的集合等式(2) 求解方法如下: 利用已知的算律或者充分必要条件进行判断 先求必要条件,然后验证充分性 利用文氏图的直观性找出相关的条件,再利用集合论的证明方法加以验证,39,解答,解 (1) AB=B A=B=. 求解过程如下: 由AB=B得(AB)B = BB 化简得B=. 再将这个结果代入
18、原来的等式得A= . 从 而得到必要条件A=B=. 再验证充分性. 如果A=B=成立,则AB=B也成立.,(2) AB=BA A=B. 求解过程如下: 充分性是显然的,下面验证必要性. 由AB=BA得(AB)A=(BA)A 从而有A=AB, 即AB. 同理可证BA.,40,解答,(3) AB=AB A=B. 求解过程如下: 充分性是显然的,下面验证必要性. 由AB=AB得A(AB) = A(AB) 化简得A =AB,从而有AB. 类似可以证明BA.,(4) AB=A B=. 求解过程如下: 充分性是显然的,下面验证必要性. 由AB = A得A(AB) = AA 根据结合律有(AA)B = AA 即 B = , 就是B = .,