1、同样,我们只研究总体是正态随机变量的情形。设 ， 是来自这个总体的样本,我们的任务是利用样本值 来给出 的置信区间。,三、 方差的置信区间,我们已经研究了期望的区间估计,找出了期望的置信区间.但有的实际问题是要求对方差(或标准差 )进行区间估计,即根据样本找出的置信区间,这在研究生产的稳定性与精度问题时是需要的。,例1 已知某地区新生婴儿的体重X,随机抽查100个婴儿,得100个体重数据,X1,X2,X100,解：这是单总体均值和方差的估计,已知,先求均值 的区间估计.,因方差未知，取,对给定的置信度 ,确定分位数,使,即,从中解得,再求方差 的置信水平为 的区间估计.,第二步,求 使得,满足
2、上式的c,d有很多对，只要使得左边图形阴影部分面积为,一般习惯选取使得左右阴影部分面积相等的c,d,从中解得,即选取,于是 即为所求.,如,查表得,代入得方差 的95%置信区间为,需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,设 是来自二点分布 的样本， 现要求p的 的置信区间。,在样本容量充分大时，可以用渐进分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p的置信区间。,大样本置信区间,的渐近分布为,由中心极限定理知，样本均值,因此有,这个u可以作为枢轴量，对给定,利用标准正态分布的,分位数,可得,括号里的事件等价于,记,，上述不等
3、式可化为,左侧的二次多项式的判别式,故此二项式是开口向上并与x轴有两个交点的曲线，记此两个交点为 ，则有,这里,是该二次多项式的两个根，它们可以表示为,由于n较大，在实际中通常略去 项，于是可将置信区间近似为,例8 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p的0.95的置信区间。,于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为,故所求的置信区间为0.218,0.382。,解 此处,解 这是关于两点分布比例p的置信区间问题， 的置信区间长度为,例9 某传媒公司欲调查电视台综艺节目收视率p，为使得p的 的置信区间的长度不超过 ，问应调查多少户？,这是一个随机变量，但由于 ，所以对
4、任意的观测值有 。这也就是说p的 的置信区间长度不超过,现要求p的 的置信区间长度不超过 ， 只需要,即可。,若取 则,从而,设 是来自 的样本 ， 是来自 的样本，且两个样本相互独立。分别是各自的样本均值和样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。,两个正态总体下的置信区间,这是历史上著名的Behrens-Fisher问题，它是Behrens在1929年从实际中提出的问题。它的几种特殊情况已经获得圆满的解决，但其一般情况至今尚有学者在讨论。下面我们对此问题分几种情况进行讨论，留意它们之间的差别及其处理方法。,一、 的置信区间,取枢轴量为,此时有,的 的置信区间为,沿用前面多次用过的
5、方法可以得到,该区间称为二样本u区间。,2,未知时,由于 相互独立， 故可构造如下t分布的枢轴量,此时有,则 的 置信区间为,记,3,此时的处理方法与2中完全类似，只需注意到,已知时,由于,相互独立，,记,则 的 置信区间为,故仍可构造如下t分布的枢轴量,4当m和n都很大时的近似置信区间,由此给出 的 置信区间为,此时可以证明有,当m，n并不都很大，可采用如下的近似方法： 令,5一般情况下的置信区间,此时T既不服从 也不服从t分布。但研究表明它与自由度 的t分布很接近，其中 由公式,取枢轴量,决定。,一般不为整数，可以取与之接近的整数代替。,从而可得 的 置信区间为,于是近似地有,例 为比较两
6、个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法做试验，结果播种甲品种的8块试验田的单位面积产量和播种乙品种的10块试验田的单位面积产量（单位：kg）分别为： 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定每个品种的单位面积产量均服从正态分布，试求这两个品种平均单位面积产量差的0.95置信区间。,解,下面分两种情况讨论。,由样本数据可计算得到,故 的0.95置信区间为,此处,(1)若已知两个品种的单位面积产量的标准差相同，则可采用二样本t区间。,（2）若两个品种
7、的单位面积产量的标准差不相同，则可采用近似t区间。此处,于是 的0.95近似置信区间为31.37,133.38。,由于 且 相互独立，故可仿照F变量构造如下枢轴量：,二、 的置信区间,对给定的置信水平 ，有,经不等式变形即可给出 的如下的置信区间,例 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下(单位：cm)： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 的0.95置信区间。,解 此处，m5，n6，由查表知,由数据算得,故置信区间的两端分别为,由此可知,的0.95置信区间为0.0544,3.7657。,作业：P353 T3,5,9,
