1、第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,第五章 极限定理,第一节 大数定律 第二节 中心极限定理,一、问题的引入,实例:假设电站电网有10000 盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开关之间彼此独立，估计夜晚开着的灯数在6800与7200之间的概率。,解法一: 因为，所以,于是：,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,契比雪夫,得,例1：一正常男性成人每毫升的血液中，含白细胞平均数是7300，均方差是700。使用切比雪夫不等式估计每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率。,设随机变量X服从参数为 的泊松分布
2、，使用切比雪夫不等式证明：,课堂练习：,课堂练习：,定理一 切比雪夫大数定律,定理一（契比雪夫大数定律的特殊情况）,表达式的意义,证明,由契比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1, 则,关于定理一的说明:,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.,1.依概率收敛定义,定理一的另一种叙述:,证明,引入随机变量,伯努利,定理二（伯努利大数定律）,显然,根据定理一有,关于伯努利定律的说明:,故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,关于辛钦定理的说明:,(1) 与定理一相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.,辛钦资料,定理三（辛钦定理）,三、典型例题,解,独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？,例1,说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？,说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫大数定律的条件.,四、小结,三个大数定律,契比雪夫大数定律,伯努利大数定律,辛钦定律,频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.,
