1、- 1 -六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1整数指数幂的概念 奎 屯王 新 敞新 疆奎 屯王 新 敞新 疆*)(Nnaann个 )0(10a*),0(1Nnan2运算性质： ， ，,(Znmnm ),Zmnm )(Znbn3注意 可看作 = = 奎 屯王 新 敞新 疆aaa 可看作 = = 奎 屯王 新 敞新 疆nb)(nbn)(nb4、 (a0, m,nN *,且 n1) 奎 屯王 新 敞新 疆nm例题：例 1 求值： .433213)86(,0,8例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式：1） (式中 a0) 奎 屯王 新 敞新 疆 2) 3） aa,32 43a a例 3计算下列各式
2、（式中字母都是正数） );()6)(21( 65131213 bb.)(28341nm例 4计算下列各式： );0()1(32a435例 5化简： )()(4121yxyx例 6 已知 x+x-1=3,求下列各式的值： .)2(,)(2312xx二、二项式知识回顾1. 二项式定理,01()nnknnabCabCab 以上展开式共 n+1项，其中 叫做二项式系数， 叫做二项展开式的通项.n1knTCab（请同学完成下列二项展开式），01()(1)()nnknknabCabCab 1()knkkTCab1kxxx - 2 -01 1(21)(2)()(2)(2)nnnknknxCxCxx 1 10
3、nnkaaa 式中分别令 x=1和 x=-1，则可以得到 ，即二项式系数和等于 ；2nnC 2n偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即 0131nn 式中令 x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 .mnC（2）二项式系数 增减性与最大值：knC当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式系数是递减k 12nk的.当 n是偶数时，中间一项 取得最大值.当 n是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值.2nC12nC三、考试类型1、“ 展开式nba)(例 1求 的展开式；4)13x解：原式= = =4)(24)
4、3( )3()()3()(1 442414042 CCxxx = 58122x【练习 1】求 的展开式4)3(2.求展开式中的项- 3 -例 2.已知在 的展开式中，第 6项为常数项.31()2nx（1） 求 n； （2）求含 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.23.二项展开式中的系数已知 的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 10：1.*2()()nxN(1)求展开式中含 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.34、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数的展开式中， 项的系数是 ；72)(1x（ 3x5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数（04 安徽改编
5、） 的展开式中，常数项是 ；3)21(x6、求中间项- 4 -例 6求（ 的展开式的中间项；103)x解： 展开式的中间项为 即： 。,)()3101 rrrrTC53510)(xC652x当 为奇数时， 的展开式的中间项是 和 ；nnba22nnba2121nnba当 为偶数时， 的展开式的中间项是 。n)(2n7、有理项例 7 的展开式中有理项共有 项；103)(x8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例 8（00 上海）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；1)(x（2） 一般的系数最大或最小问题例 9求 展开式中系数最大的项；84)21(x9、利用“赋值法”及二
6、项式性质 3求部分项系数，二项式系数和例 11若 ， 则 的值为 ；432104)32( xaxax 2312420 )()(aa解： 432104令 ，有 ， 令 ，有1x 432104)32( aa1x )()()( 314204 aa故原式= = =)().(3142043210a4432.- 5 -【练习 1】若 ，20421024 .)( xxax则 ；)(.)( 2042010aa【练习 2】设 ， 则 ；01566.)1( axax 6210.aa10利用二项式定理求近似值例 15求 的近似值，使误差小于 ；698.001.分析：因为 = ，故可以用二项式定理展开计算。6)02.1(解： = =6 621 )02.(.).(5).( ，106.5)(22263 CT且第 3 项以后的绝对值都小于 ，01.从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。= =698.06)02.1()2.(98.01.小结：由 ，当 的绝对值与 1 相比很小且 很大时，nnn xxxC1 n等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx,.32，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，1)(若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式： 。2)()1(xnxn
