1、第 4 章 不定积分第一类换元积分法 【教学目的】：1. 理解第一类换元积分法；2. 会用第一类换元积分法计算不定积分。【教学重点】：1. 用第一类换元积分法计算不定积分。【教学难点】：1. 凑微分技巧。【教学时数】：2 学时【教学过程】：4.2.1 第一类换元积分法我们先看这样一个例子，求不定积分 ，因为被积函数 是 的复合dxe2 xe2函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：(令 )duexdex21)(21x2C(将 代回)ex2ux因为 ，所以 确为 的原函数，说明上述解法正xxCe2)1(1e2确于是有下述定理：定理 1（第一类换元积分
2、法）设函数 在所讨论的区间上可微，又设)(xu，CuFdf)()(则有 CxFdxfx)()( 第一类换元积分法的解题步骤：设要求 如果被积函数 可化为 的形式，则,)(dg)(g)()(xf= = 。x)( dufxdfxf CF注 第一换元积分法的关键是如何选取 ，并将 凑成微分)(xdx)(的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法)(xd（1）利用 ， 均为常数，且 凑微分)(1axdbaxd、，)(10a例 1 求 2sin解 令 ，则 即 所以1xu,2xu,1duCd cos2sin)si(再将 代入上式，得 2x xx)1()1(熟练之后，可以省略设 这一步，直接进行凑微分
3、u（2）利用 （ ） ，)(1axdnxZn， xdxdln2，d1， xdxdxdxx cotcstansecincossin 22 等微分公式凑微分，dari12art12例 5 求 xtn解 Cxdxd coslnsco1csia（3）利用三角函数恒等式来凑微分例 7 求 x3in解 xdxdxdd cos)1(cosinsis 222Cxco31当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分例 8 求 xd2sin解 )2cos(21cos1xdx)2cos1(xdCin42当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式（， ）对被积函数进行降幂，然后再利用凑微2cos1cs2xx2cos1in2x分进行积分例 10 求 dsi解 方法一 11n2sin2cos2xxdxC方法二 2si insindx方法三 sicccoxdxxC在例 10 中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数 中，由此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的【教学小节】：本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。【课后作业】：无
