1、 辽宁省大连市 2010 年高三第一次模拟考试数 学 试 题（文）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第 2224 题为选做题，其它题为必考题。共 150 分。考试时间 120 分钟。考生作答时，将答案答大答题纸上。在本试卷上答题无效。参考公式：如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率knknnPCP)1()(锥体体积公式 其中 S 为底面面积，h 为高柱体体积公式ShV3其中 S 为底面面积，h 为高第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的。1 已知集合， 全体 ，则集合 中的元素共有,9874,2,964BABAU)(BACU（ ）A B C D),0(,1),(1,02已知某几何体的三视如图 1，则这个几何体是 （ ）A三棱锥 B四棱锥C四棱柱 D四棱台3已知复数 和复数 ，则复数 = （ ）iz31iz63221zA B C Di2i1i3i2134在等差数列 中，若 则 的值为 （ ）na,8018642aa6A4 B 6 C8 D165平面 平面 的一个充分条件是 （ ）/A存在一条直线 a，a/ ，a/B存在一条直线 a， /,C存在两条平行直线 a、b， /,baD存在两条相交直线 /,bab6不
3、等式 表示的平面区域是以直线 06)42(ymx 06)42(ymx为界的两个平面区域中的一个，且点（-1，-1 ）不在这个区域中，则实数 m 的取值范围是 （ ）A B)3,1( ),3()1,(C D 7在可行域内任取一点 ，如果执行如下图 2 的程序框图，那么输出数对 的概率是),(yx ),(yx（ ）A B C D84628已知三点 A（a，0） 、B （0，b） ，C （4，1）共线，其中 ，则 a+b 的最小值为0ba（ ）A8 B C9 D 27 219化简 的结果是 （ ）6sin1siA B3co2 3sin2C Di co10已知抛物线 上的动点 P 在 x 轴上的射影为
4、点 M，点 A（3，2） ，则|PA|+|PM|的最小值为yx42（ ）A B1010C D211过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线)0,(12bayx上，则双曲线的离心率为 （ ）2abA B C D253212若关于 x 的不等式 在闭区间 上恒成立，则实数 a 的取值范围是xasin|2co|6,3（ ）A B1,20,1C D0 ，10,3第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13学校为了调查学生在
5、课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图 3 所示，其中支出在 元的同学有 30 人，则 n 的值为 。50,14已知 a、b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a-4b 与 7a-2b垂直，则 a 与 b 的夹角为 。15函数 的单调递增区间为 。|1|log)(2xf16给出下列四个命题： 的否定是 ；“0,“2Rx “0,2xR对于任意实数 x，有 ,0)(,)(,),()()( xgfgff 时且则 ;)(,0gfx时函数 是偶函数；)1,0(3loaxa若对 函数 f（x）满足 ，则 4 是该函数的一个周期，,Rx)(2xff其中所有
6、真命题的序号为 （注：将真命题的序号全部填上）三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）现有 7 名世博会志愿者，其中志愿者 A1、A 2、A 3 通晓日语，B 1、B 2 通晓俄语，C 1、C 2 通晓韩语。从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组。已知每个志愿者被选中的机会均等。（I）求 A1 被选中的概率；（II）求 B1 和 C1 至少有一人被选中的概率。18 （本小题满分 12 分）如图 4，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ，P 为 A1C1 的中点，AB=BC=kPA。（I）求三棱锥
7、 PAB1C 与三棱锥 C1AB1P 的体积之比；（II）当 k 为何值时，直线 PA .19 （本小题满分）数列 的前 n 项和为a.23,nSn且（I）求 的通项公式；n（II）若数列 ，且 的前 n 项和为满 足nc为 偶 数为 奇 数nan,2c.,nT求20 （本小题满分 12 分）已知函数 .,1)(Rxkexfx（I）若 k=2e，试确定函数 f（x）的单调区间；（II）若 且对于任意 恒成立，试确定实数 k 的取值范围。,0k|)(,21 （本小题满分 12 分）设椭圆 的离心率 ，右焦点到直线 的距离)0(1:2bayxC21e1byaxO 为坐标原点。,721d（I）求椭圆
8、 C 的方程；（II）过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，证明点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求弦 AB 长度的最小值。请考生在题 22、23、24 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做题时用 2B 铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。选修 41：几何证明选讲22 （本小题满分 10 分）如图 6，AB 是O 的弦，C 、F 是O 上的点，OC 垂直于弦 AB，过 F 点作O 的切线交 AB的延长线于 D，连结 CF 交 AB 于 E 点。（I）求证：DE 2=DBDA。（II）若 BE=1，DE=2AE ，求 DF 的长。选修 44：坐
9、标系与参数方程23 （本小题满分 10 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴。已知点 P 的直角坐标为（1，-5） ，点 M的极坐标为 若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 M 为圆心、4 为半径。).2,(3（I）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；（II）试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。选修 45：不等式选讲24 （本小题满分 10 分）已知对于任意非零实数 a 和 b，不等式 恒成立，试|)2|(|2| xaba求实数 x 的取值范围。参考答案一、选择题ABADDCBCBACD二、填空题1310014 6015 ),1(16 三、解答题17解
10、：（I）从 7 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为 分2),(),(),(),( , 23123213132 1CBACBA由 12 个基本事件组成。由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的。用 M 表示 A1“恰被选中”这一事件，则4 分),(),(),(),( 212121 CBACB事件 M 由 4 个基本事件组成，因而 6 分.3)(P（II）用 N 表示“B 1，C 1 至少有一人被选中”这一事件，则其对立事件 表示“B 1，C 1 全未被选中”这一事件，由于 ，),(),(),( 23221 BAA事件 由有
11、3 个基本事件组成， 9 分N所以 ,412)(P由对立事件的概率公式得12 分.3)()(N18解：（I）由 B1P面 A1C，得 B1P 是三棱锥 B1PAC 的高，又 面 A1B1C1，是三棱锥 AB1PC1 的高。12 分PSVACPCABP311 4 分1111 BC,2311111 PCASBVPCAPABC所以三棱锥 PAB1C 与三棱锥 C1AB1P 的体积之比是 2。 6 分（II）要使直线 ，只需 面 B1PC。因为 面 A1C，1所以 .P所以只需 9 分,2,AA所 以 只 需又 2kPBCC11 分.1k反知，当 k=1 时， 面 B1PC，所以 成立。 11 分AP
12、119解：（1） )1(2)(3)1(23,21 nnSannn时又 5 分)(,*1 NSan也 满 足 上 式（2） 为 偶 数为 奇 数nc2为偶数时，当)()(42131 nnn cccT8 分4)12(341(2)( 242nnn当 n 为奇数时，n-1 为偶数， 1)(2)(11 ncTnn10 分43)12(432nn12 分)(43)12(32为 奇 数为 偶 数nTnn20解：（I）由 k=2e 得 ,(exxf所以 2 分.2)(exf由 ，1ln0得故 的单调递增区间是)(xf ),2ln,(由 ，2l得故 的单调递减区间是 4 分)(xf ),l1(（II）由 |),|
13、xf可知 是偶函数。|)(xf于是 成立等价于 成立。Rx对 任 意1| 01)(xxf对 任 意由 6 分.ln0)( kkexfx得当 ).(0)(, xefkx时此时 上单调递减，)(在xf故 ，符合题意。 8 分10当 时，当 x 变化时 变化情况如下表：),(k )(,xfx ln(kkln),(lnk)(f- 0 +x单调递增 极大值 单调递减由此可得，在 10 分 .1ln)(ln),0lkekfxfk上依题意， .1,1lnl ekkek 又综合，得，实数 k 的取值范围是 12 分021解：（I）由 .3,22cbac即得由右焦点到直线 的距离为1byx,71d得： ,72|
14、2abc解得 .3,所以椭圆 C 的方程为 4 分.142yx（II）设 ，),(),(21ByA直线 AB 的方程为 mkx与椭圆 联立消去 y 得1342yx ,012)2(432 mkx.1,822121 kxk.0)(,2121 mxyOBA即 ,21xkk,04384)1(222 整理得 )1(7km所以 O 到直线 AB 的距离8 分.721|2kd，OBABA, 22当且仅当 OA=OB 时取“= ”号。由 ,2ABOABdOABd得 ,7214即弦 AB 的长度的最小值是 12 分.注：其他解法相应给分。选修 41：几何证明选讲：22解：（I）连结 OF，OC=OF，OCF=F
15、OC，DF 是O 的切线，垂直于弦 AB，CDF又,DFEEADE=DF，DF 是O 的切线，8 分ABBF22,（II）设 AE=x，则 DE=2x，DF=2x ， ),1(3)(,22 xDA解得 2x=3， 的长为 3。 10 分选修 44：坐标系与参数方程：23解（I）直线 的参数方程为 （t 为参数）l ,2351yx圆 C 的极坐标方程为 6 分.sin8（II）因为 对应的直角坐标为（0，4）)2,(M直线 化为普通方程为l 0353yx圆心到 ,4291| dl的 距 离所以直线 与圆 C 相离。 10 分选修 45：不等式选讲：24解：由题知，恒成立，|2|2| abx故 不大于 的最小值 4 分| |，|4|2|2| ababa当且仅当 时取等号，0)(的最小值等于 4。 8 分|a的范围即为不等式 的解。x|2|x解不等式得 10 分.2x
