1、第 27卷 第 8期 大 学 物 理 Vol. 27 No. 82008年 8月 COLLEGE PHYSICS Aug. 2008收 稿 日 期 : 2007- 02- 16;修 回 日 期 : 2007- 10- 18作 者 简 介 :李 复 (1945 ) ,男 ,辽 宁 北 镇 人 ,清 华 大 学 物 理 系 教 授 ,主 要 从 事 基 础 物 理 教 学 和 研 究 工 作 .可 压 缩 流 体 的 伯 努 利 方 程李 复(清 华 大 学 物 理 系 ,北 京 100084)摘 要 :引 入 适 用 于 可 压 缩 流 体 的 伯 努 利 方 程 ,讨 论 了 储 液 器 内
2、的 峰 值 气 压 .关 键 词 :可 压 缩 流 体 ;伯 努 利 方 程 ;储 液 器中 图 分 类 号 : O 35, O 354 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 100020712 (2008) 0820015204在 普 通 物 理 教 材 1 和 教 学 中 ,仅 讨 论 不 可 压 缩流 体 的 伯 努 利 方 程 . 由 此 讨 论 液 体 和 低 速 气 体 的 运动 是 可 以 的 ,但 是 不 能 处 理 快 速 和 高 速 气 体 的 流 动问 题 . 本 文 利 用 可 压 缩 气 体 的 伯 努 利 方 程 讨 论 一 个涉 及 高 速 气 流 的
3、实 际 问 题 .1 注 液 过 程 中 储 液 器 内 的 极 值 气 压工 业 生 产 中 常 用 的 储 液 器 通 常 有 一 个 进 液 口 和一 个 排 气 口 . 以 储 水 容 器 为 例 ,如 图 1所 示 . 开 始 容器 内 有 一 个 大 气 压 的 空 气 ,在 注 水 过 程 中 容 器 内 气压 会 升 高 . 容 器 内 气 压 的 最 大 值 是 很 重 要 的 参 量 ,决定 了 容 器 的 强 度 设 计 .下 面 讨 论 储 水 容 器 内 气 压 的 极 值 . 首 先 建 立 储水 容 器 内 气 压 变 化 所 满 足 的 微 分 方 程 . 设
4、储 水 容 器容 积 为 V0 ,开 始 容 器 内 充 满 与 环 境 大 气 相 同 的 空气 ,气 压 、 温 度 、 密 度 分 别 为 pa、 Ta、 a. 设 t时 刻 容 器内 的 气 压 、 体 积 、 温 度 、 密 度 分 别 为 p、 V、 T、 .图 1 储 水 容 器设 t t + dt时 间 内 注 入 的 水 的 体 积 为 dV水 ,排出 的 空 气 体 积 为 dV ,并 设 整 个 排 气 过 程 为 等 熵 过程 ,把 空 气 当 作 理 想 气 体 ,则 对 于 留 在 容 器 内 t时 刻体 积 为 (V - dV )、 压 强 为 p的 那 些 空
5、气 ,在 t + dt时刻 体 积 压 缩 为 (V - dV水 )、 压 强 为 ( p + dp) ,于 是 由等 熵 过 程 的 泊 松 ( Poisson)公 式 有p (V - dV ) = ( p + dp) (V - dV水 )即p (1 - dV /V ) = ( p + dp) (1 - dV水 /V )于 是 得dp = p ( dV水 - dV ) /V (1)其 中 为 比 热 容 比 .设 t时 刻 注 入 水 和 排 出 空 气 的 体 积 流 量 分 别 为q水 、 q,则dV水 = q水 dt, dV = qdt由 于 容 器 内 空 气 进 入 排 气 管 后
6、 体 积 膨 胀 ,所 以 这 里的 排 出 空 气 体 积 流 量 q不 等 于 排 气 管 中 的 空 气 体 积流 量 qe.将 上 式 代 入 式 (1)得dpdt = pV ( q水 - q) (2)其 中V =V0 - V水 =V0 - t0q水 dt (3)定 义 气 压 极 值 pm 为 使 dp /dt = 0的 气 压 . 由 式(2)可 知 ,当 q水 - q = 0时 容 器 内 气 压 达 到 极 值 pm ,即q水 = q (4)为 容 器 内 气 压 为 极 值 的 条 件 .体 积 流 量 取 决 于 进 水 管 和 排 气 管 中 流 体 的 流速 . 流 速
7、 要 用 伯 努 利 方 程 计 算 . 排 气 管 中 空 气 的 流 速16 大 学 物 理 第 27卷可 以 达 到 声 速 ,因 此 要 应 用 适 用 于 可 压 缩 流 体 的 普遍 伯 努 利 方 程 .2 普 遍 的 伯 努 利 方 程普 通 物 理 教 材 中 一 般 不 讲 普 遍 的 伯 努 利 方 程 .下 面 简 要 介 绍 如 何 由 欧 拉 方 程 推 导 普 遍 的 伯 努 利 方程 2 . 适 用 于 理 想 流 体 (无 粘 滞 性 的 流 体 )的 欧 拉 方程 为 d vdt = 5v5t + v v = f - p (5)其 中 f为 流 体 所 受
8、单 位 质 量 的 保 守 体 积 力 . 对 定 常流 动 ,有5v5t = 0, 55t = 0, 5p5t = 0于 是 式 (5)为 v v = vx 5v5x + vy 5v5y + vz 5v5z = f - p讨 论 同 一 条 流 线 上 各 点 的 参 量 关 系 . 用 dr = vdt点 积 方 程 的 两 边 得 f dr - ( p) dr = vx 5v5x + vy 5v5y + vz 5v5z v dt = 5v5x dx + 5v5y dy + 5v5z dz v化 简 为- d c 时 ,由 流 体 力 学 收 缩 管 实验 结 论 ,排 气 管 内 空 气
9、 流 速 一 直 保 持 为 声 速 ,不 可 能超 声 速 (如 果 想 获 得 超 声 速 气 流 ,必 须 用 一 种 截 面积 先 减 小 后 增 大 的 拉 瓦 尔 喷 管 5 ). 此 时 排 气 管 内气 压 pe 要 随 之 升 高 ,保 持 与 p不 变 的 比 值 关 系 ,即pe p / c. 排 气 管 内 气 压 不 再 与 环 境 气 压 相 同 而 是高 于 环 境 气 压 ,空 气 从 排 气 管 进 入 大 气 后 还 要 再 一次 膨 胀 . 虽 然 空 气 流 速 一 直 等 于 声 速 ,但 是 由 于 pe在 增 加 因 此 声 速 也 在 提 高 .
10、 容 器 内 压 强 为 p ( pc )时 排 气 管 内 的 声 速 (流 速 )为ve =ce = pee= RTeM = 2 +1ppe - 1 RTaM =2 +1( - 1) /2 ca其 中 R = 8. 31 J / (mol K)为 气 体 普 适 常 量 , M =28. 9 10 - 3 kg/mol为 空 气 的 摩 尔 质 量 , Te 为 排 气 管内 温 度 . 由 理 想 气 体 的 等 熵 关 系 p - 1 T - =常 数 ,得p - 1e T -e = p - 1 T - = p - 1a T -a所 以 由 式 (12)得Te = Ta pepa( -
11、 1) /= Ta pep ppa( - 1) /=Ta - ( - 1) /c ( - 1) / = 2 + 1 ( - 1) / Ta于 是 容 器 内 压 强 为 p (气 压 比 为 c )时 排 气 管 内的 声 速 (流 速 )为ve = ce = 2 + 1 ppe - 1 R TaM =2 + 1( - 1) /2 ca(14)其 中 Ta 为 环 境 温 度 , ca = R TaM . 若 取 Ta = 293 K,则 ca = 343 m / s.4 注 水 和 排 气 的 体 积 流 量 以 及 气 压 极 值容 器 内 的 水 和 注 水 管 中 的 水 其 密 度
12、相 同 ,所 以注 水 的 体 积 流 量 为 (设 注 水 管 截 面 积 为 S水 )q水 =V水 S水 = 2 ( p水 - p)水S水 = 2pa水( - ) S水(15)其 中 定 义 注 水 压 强 比 = p水pa排 气 管 里 空 气 的 体 积 流 量 (设 排 气 管 截 面 积 为 Se )qe = ve Se如 前 所 述 ,排 出 气 体 的 体 积 流 量 q不 等 于 排 气管 里 气 体 的 体 积 流 量 qe. 但 是 由 于 是 定 常 流 动 ,在同 一 流 管 中 质 量 流 量 q质 量 是 相 同 的 ,于 是 q = q质 量 = e qe =
13、e ve Se由 式 (8)得q = e ve Se / = pep1 /ve Se (16)若 p pc ( c )时 , pe = pa ,则q = - 1 / 2 - 1 ( - 1 - 1) ca Se (17)若 p pc ( c )时 , pe /p = - 1cq = 2 + 1 - 1 /c ( - 1) /2 ca Se (18)这 样 ,气 压 极 值 条 件 式 ( 4)就 是 关 于 极 值 气 压所 对 应 的 气 压 比 m 的 方 程 . 解 出 m ,就 得 到 气 压 pm极 值pm = m pa问 题 是 采 用 式 ( 17)和 式 ( 18)两 个 关
14、系 式 中 的哪 一 个 ? 这 可 以 用 尝 试 的 方 法 解 决 . 例 如 先 用 式(17)计 算 ,如 果 结 果 m c ,那 么 计 算 正 确 ;否 则 就要 改 用 式 (18)计 算 . 下 面 先 由 式 (17)计 算 极 值 气 压比 m.假 设 m c. 将 式 (15)、 式 (17)代 入 式 (4)得2pa 水 ( - m ) S水 =- 1 / 2 - 1 ( - 1 - 1) ca Se18 大 学 物 理 第 27卷设 进 水 管 、 排 气 管 半 径 分 别 为 r水 、 re ,则 有 m = - 1 - 1c2a 水parer水4 - 2 /
15、m ( ( - 1) /m - 1)取 = 1. 4、 ca = 343 m / s、 水 = 1. 00 103 kg/m3、 pa = 1. 013 105 N /m2 ,得 m = - 2 90315 rer水4 - 10 /7m 2 /7m - 1 (19)如 果 re / r水 较 大 ,极 端 情 况 是 容 器 敞 口 ,则 m 1.取 = 10计 算 不 同 re / r水 比 值 情 况 下 的 m ,结果 如 下 :re / r水 40 /40 30 /40 25 /40 15 /40 m 11011 11036 4 11081 7147pm / (105 N m - 2
16、) 11024 11050 11095其 中 re / r水 = 15 /40的 情 况 ,已 经 不 属 于 式 (19)解 决的 问 题 . 取 re / r水 = 12. 5 /40,计 算 不 同 情 况 下 的 m ,结 果 如 下 : 3 413 513 7 10 m 1135 2104 3124 5147 8195由 此 可 见 ,在 re / r水 = 12. 5 /40情 况 下 ,从 = 4. 3起 m c 都 超 出 式 (19)解 决 的 问 题 的 范 畴 .假 设 m c. 将 式 (15)、 式 (18)代 入 式 (4)得2pa 水 ( - m ) S水 =2
17、+ 1- 1 /c ( - 1) /2m ca Se m = - 1 + 1 - 2 /c c2a 水parer水4 ( - 1) /m取 = 1. 4、 c = 1. 892 9、 ca = 343 m / s、 水 = 1. 00 103 kg/m3、 pa = 1. 013 105 N /m2 ,得 m = - 19415 rer水4 2 /7m (20)考 虑 一 个 实 际 的 例 子 : r水 = 40 mm、 re = 12. 5 mm, = 4. 3、 5. 3、 7、 10. 将 r水 、 re 代 入 计 算 得 4. 3 5. 3 7 10 m 2. 03 2. 81 4
18、. 20 6. 80pmax / (105 N m - 2 ) 2. 05 2. 85 4. 25 6. 89可 见 都 有 m c ,所 以 计 算 有 效 .5 结 论1) 以 储 液 罐 排 气 管 内 空 气 流 速 的 计 算 为 例 ,说明 在 气 体 相 对 压 差 较 小 时 ,用 不 可 压 缩 流 体 的 式(7)和 等 熵 气 体 的 式 (9)来 计 算 流 速 近 似 相 等 . 按 式(7)计 算 流 速ve = 2 ( p - pa )a= 2 ( - 1) ca = 2 ca其 中 相 对 压 差 为 = - 1. 当 n 1时 , ( - 1) / =(1 +
19、 ) ( - 1) / 1 + - 1 . 于 是 按 式 ( 9)计 算 的流 速 (见 式 (13) )可 以 近 似 为ve = 2 - 1 ( - 1 - 1) ca 2 ca两 式 的 计 算 结 果 近 似 相 等 .2) 由 上 述 计 算 可 知 ,决 定 气 压 极 值 的 是 注 水 压强 p水 (即 )、 排 气 管 半 径 re 与 注 水 管 半 径 r水 的 比值 ,与 容 器 的 容 积 无 关 . 由 式 (19)或 式 ( 20)可 以 很容 易 地 计 算 出 气 压 极 值 .3) 关 于 储 水 容 器 注 水 过 程 中 容 器 内 气 压 的 最大
20、值 . 由 式 ( 2)可 以 定 性 讨 论 注 水 过 程 中 容 器 内 气压 变 化 的 规 律 . 开 始 注 水 时 , q水 最 大 、 V最 大 而 q =0, dp /dt 0,容 器 内 气 压 p增 加 ;随 p增 加 q水 减 少而 q增 加 ,但 如 果 q仍 然 小 于 q水 则 仍 然 有 dp /dt 0,于 是 p继 续 增 加 . 这 时 可 能 有 两 种 情 况 . 第一 种 情 况 是 直 到 容 器 充 满 时 q仍 然 小 于 q水 ,于 是容 器 即 将 充 满 的 瞬 时 气 压 即 为 最 大 气 压 ,最 大 气压 小 于 上 面 计 算
21、的 气 压 极 值 . 这 种 情 况 下 ,整 个 注水 过 程 中 容 器 内 气 压 一 直 增 加 ,不 可 能 出 现 减 少现 象 . 第 二 种 情 况 是 容 器 充 满 前 达 到 q水 = q,这 时容 器 内 气 压 达 到 最 大 值 也 就 是 气 压 极 值 pm ax. 由 于q水 、 q都 是 p的 单 值 函 数 ,在 气 压 达 到 极 值 pm ax后dp /dt = 0,气 压 p不 变 , q水 、 q也 都 不 变 ,即 仍 然 保持 q水 = q状 态 . 所 以 气 压 p达 到 极 值 后 就 不 再 改变 ,直 到 将 容 器 注 满 ,也
22、不 会 出 现 气 压 减 少 的 现象 . 综 上 所 述 ,容 器 内 气 压 不 会 超 过 气 压 极 值 . 因此 气 压 极 值 可 以 作 为 储 液 容 器 强 度 计 算 的 重 要 参考 数 据 .4) 要 想 了 解 注 水 过 程 中 容 器 内 气 压 变 化 的 详细 情 况 ,就 要 将 式 ( 3 )、 式 ( 15 )、 式 ( 17 ) 或 者 式(18) 代 入 式 (2) ,得 到 一 个 完 整 的 关 于 p随 时 间 变化 的 微 分 方 程 . 可 以 用 数 值 积 分 的 方 法 得 到 p ( t) - t函 数 图 形 . 但 是 要 注
23、 意 ,由 式 ( 2)可 知 ,在 注 水 快 结束 时 V 0,必 须 提 高 计 算 的 精 度 ,否 则 会 出 现 错 误的 结 果 .5) 上 述 气 压 极 值 的 计 算 还 有 一 个 重 要 结 果 :比值 re / r水 对 气 压 极 值 的 影 响 很 大 . 按 上 面 的 计 算 ,当re / r水 25 /40时 ,即 使 注 水 压 强 达 到 10个 大 气 压 ,气 压 极 值 也 小 于 1. 1个 大 气 压 . 所 以 避 免 储 液 器 内气 压 过 高 的 最 简 单 办 法 是 加 大 比 值 re / r水 .(下 转 27页 )第 8期 马
24、 超 ,等 :几 类 粒 子 密 度 算 符 和 粒 子 流 密 度 算 符 的 讨 论 27 的 具 体 的 函 数 表 达 式 (4)、 (5).参 考 文 献 : 1 张 永 德 . 量 子 力 学 M . 北 京 :科 学 出 版 社 , 2002: 22. 2 周 世 勋 . 量 了 力 学 教 程 M . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1979: 29 - 30. 3 马 涛 ,倪 致 祥 ,张 德 明 . 国 内 研 究 生 入 学 量 子 力 学 考 题选 析 (上 ) J . 大 学 物 理 , 1984, 3 (9) : 17 - 20. 4 王 良 溥 . 量
25、子 力 学 中 的 力 学 量 算 符 J . 福 建 师 大 学报 , 1983, 2: 167. 5 戴 显 熹 ,吴 天 刚 ,等 . 电 流 密 度 算 子 、 对 应 原 理 和 W ey1规 则 J . 大 学 物 理 , 1984, 3 (1) : 1 - 4. 6 咯 兴 林 . 高 等 量 子 力 学 M . 2版 . 北 京 :高 等 教 育 出 版社 , 2001: 194.D iscussion on the particle density and granule currentdensity opera tors of severa l kindsMA Chao1
26、, MA Tao2(1. Department of Physics, East China Normal University, Shanghai 200062, China;2. Department of Physics, Fuyang Normal College, Fuyang, Anhui 236041, China)Abstract: The related operators of several kinds are analyzed and their nature and recip rocity are discussedfrom the particle and gra
27、nule current densities. The app rop riate form s of the particle density and granule currentdensity operators are determ ined according to the concrete physical significance.Key words: density operator; current density operator; particle density operator; granule current density opera2tor(上 接 18页 )参
28、 考 文 献 : 1 郑 永 令 ,等 . 力 学 M . 2版 . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2002: 321 - 323. 2 江 洪 俊 . 流 体 力 学 (上 册 ) M . 北 京 :高 等 教 育 出 版社 , 1985: 54, 63. 3 P. A. 汤 普 森 . 可 压 缩 流 体 动 力 学 M . 北 京 :科 学 出 版社 , 1986: 33 - 35, 58. 4 江 洪 俊 . 流 体 力 学 (下 册 ) M . 北 京 :高 等 教 育 出 版社 , 1985: 11 - 13. 5 L. 普 朗 特 ,等 . 流 体 力 学 概 论 .
29、M . 北 京 :科 学 出 版社 , 1984: 368, 372 - 375.Bernoulli s equa tion for compressible flowL I Fu(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China)Abstract: The extreme volume of air p ressure in liquid storage tank during injection p rocess is derived basedon the Bernoulli s equation for comp ressible flow.Key words: comp ressible flow; Bernoulli s equation; liquid storage tank
