1、1,容差设计,2,10.5.1质量损失函数,按照田口提出的理论，要评价产品设计质量的好坏，只要计算损失函数就够了。本章主要介绍运用质量损失函数确定产品容差的方法。望目特性的损失函数设产品的质量特性y为望目特性，m为望目值。称下述函数为望目特性的损失函数。L(y)=k(y-m)2 （5）式中，k为与y无关的常数，它可以按下述方法确定：K=A0/02=A/2 (6)式中，0为产品的功能界限；A0为产品丧失功能时的损失；为产品的容差；A为产品不合格的损失。,3,若已知质量特性y的n个观察值：y1,y2，yn时，则产品的平均质量损失为：nL-（y）=k1/n(yi-m)2=kVT (7) I=1式中，
2、nVT=1/n(yi-m)2 （8） I=12望小特性的损失函数设产品的质量特性y为望小特性，则y不取负值，且理想值为零。此时，只要在公式（5）公式（8）中，令m=0便可得到望小特性的损失函数和平均质量损失。L（y）=ky2 (9)K= A0/02=A/2 (10)nL-（y）=k1/nyi2=kVT (11) I=1式中，nVT=1/nyi2 （12） I=1,4,3. 望大特性的损失函数设产品的质量特性y为望大特性，则y不取负值，且理想值为无限大。此时，只要将1/y视为望小特性，便可得到望大特性的损失函数和平均质量损失。L(y)=k/y2 (13)K= A002=A2 (14)nL-（y）
3、=k1/n1/yi2=kVT (15) I=1式中，nVT=1/n1/yi2 （16） I=1,5,10.5.2容差的确定方法,1.由安全系数确定容差本节引入的安全系数的定义是田口博士提出的，与通常工程技术中的安全系数不是完全相同的概念，应注意两者的区别。(1).安全系数定义设A0为达到功能界限的平均损失，主要是用户的损失；A为不合格品时的工厂损失，则安全系数=（A0/A）1/2 （17）由于A0A，因此安全系数大于1。安全系数越大，说明丧失功能时的损失也越大。因此，对于要求有很高安全性的产品，相应的安全系数比较大。一般采用安全系数=45。,6,(2)望目，望小特性情形。望目和望小特性的容差和
4、丧失功能的界限0之间具有如下关系式：=（A/ A0）1/20 （18）由公式（17）和公式（18）可知，当已知功能界限0和安全系数时，则容差为：=0/ （19）例10-8 设某电视机电源电路的直流输出电压y的目标值为120V，功能界限0=25%*m，丧失功能后用户的平均损失（包括修理费及修理后电视机仍不能使用的损失等）A0=500元，工厂内超出规格的产品，可采用改变电路中电阻值进行调整（包括电阻费用和人工费用等），A=2 元，试求安全系数和容差解：=（A0/A）1/2 =（500/2）1/2=15.8 =0/=（0.25*120）/15.8=1.9(V)合格品范围m=1201.9=(118.1
5、V 121.9V),7,（3）望大特性情形望大特性的容差和丧失功能的界限0之间具有如下关系式：=（A0/ A）1/20 （20）由公式（17）和公式（20），当已知功能界限0和安全系数时，则容差为：=0 （21）例10-9 用硬聚氯乙烯型材加工塑料门窗。当材料的拉伸强度低于31Mpa时，门窗就会断裂，此时造成的损失A0=500元；而因材料不合格，工厂作报废处理的损失A=120元，试求硬聚氯乙烯型材的安全系数与容差解：=（A0/A）1/2=（500/120）1/2=2.04=0=2.04*31=63.24(Mpa)因此所用型材的强度不限为63Mpa,8,2.下位特性容差的确定现在让我们来看一看如
6、何根据上位特性（结果特性）的容差或功能界限，确定下位特性的容差。设产品的上位特性为y，下位特性为x，考虑最简单的情况，设当下位特性x变化单位量时，相应上位特性y的变化量为b，则y与x之间存在如下线性关系：y=a+bx （22）记y为上位特性的容差；Ay为上位特性的不合格损失；0y为上位特性的功能界限；A0y为上位特性丧失功能的损失；x为下位特性的容差；Ax为下位特性的不合格损失；my为上位特性的目标值；mx为下位特性的目标值；b为x每变化一个单位时，相应y的变化量；a为x=0时，相应y的值。下位特性x的容差x有以下两个计算公式：x=（Ax/Ay）1/2*(y/ b ) （23） x=（Ax/A
7、0y）1/2*(0y/ b ) （24）,9,例10-10 收录机稳压电源电路的质量特性为输出 电压y，公差为m01.5V.电路中某个电阻的中心值为m，阻值变化对输出电压的影响为b=0.5V/KQ.当输出电压超出容差，导致产品不合格的损失Ay=20元。在组装前发现电阻不合格时，工厂损失Ax=0.5元，求该电阻的容差x解：已知y=1.5V，Ay=20元，Ax=0.5元，b=0.5V/KQ.由公式（23），电阻的容差x为：x=（Ax/Ay）1/2*(y/ b )=（0.5/20）1/2*(1.5/0.5)=0.474(KQ)因此，电阻的容差为0.474KQ,10,3.老化系数容差的确定（1）老化特
8、性和老化系数。随时间推延而向同一倾向发生变化的特性称为老化特性（或劣化特性）。例如，电阻的阻值随时间的延长而逐渐变大；机械零件的磨损量随时间延长越来越大；化学电池的电压随时间的增加渐渐降低等均为老化特性。另外，像钟表的快慢，如在一个月内要快多少或慢多少。炮弹引信中火药延时机构的延时特性随温度高低而变化等质量特性，虽然不是老化特性，但也可以用下面提供的方法，类似老化特性来处理。由于特性随时间推延而老化，老化量在不同截止时间是不同的，所以必须确定设计寿命。为了简便起见，只讨论老化特性随时间呈线性变化的情况。设产品老化特性y的设计寿命为T，老化系数为B，a为初始值，y随时间t呈线性变化，即y=a-B
9、t, 0tT (25)老化系数B的容差*的含义是：在整个寿命期内，若B*，表示不合格品，此时相应的损失为A*元。本节主要讨论当老化特性y的功能界限0，丧失功能的损失A0和设计寿命T已知时，如何确定老化系数B的容差。下面分初始值等于目标值和不等于目标值两种情形进行讨论。,11,（2）初始值等于目标值的情形。设老化特 性y的目标为m，当t=0时，y=m,则公式（25）简化为： y=m-Bt, 0tT (26)其图形如图10-17所示图10-17 当y0=m时的老化特性老化系数B的容差 *的计算公式如下：*=（3A*/A0）1/2*(0/ T) （27）,t,T,m-Bt,m,12,例10-11 某
10、机械零件尺寸y的设计初始值为目标值m，设计寿命T=10年，当磨损量达到300Um时就不能正常使用，即功能界限0=300Um，此时的损失A0=80元。若每年平均磨损量B不合格，产品降级使用的损失A*=5元，求B的容差*解：*=（3A*/A0）1/2*(0/ T)=（3*5/80）1/2*（300/10）=13.0（Um/年）因此，每年平均磨损B的容差为13Um/年（3）.初始值不等于目标值的情形。设老化特性y的初始值y0m.不失一般性，设y0m,且当t=T/2时，y=m.则公式（25）简化为：y=m+BT/2-Bt, 0tT (28),13,T,T/2,m,y0,图10-18 当y0m时的老化特
11、性,14,初始值不等于目标值的老化系数B的容差*的计算公式如下：*=（12A*/A0）1/2*0/T （29）比较公式（27）和公式（29）可知，初始值大于目标值情形下老化系数B的容差*较初始值等于目标值时要大。故初始值选取得比目标值大为好。例10-12 在例10-11中，设初始值y0不等于目标值，当t=5年时，零件尺寸y等于目标值m,其他条件不变，求每年平均磨损B的容差解：=（12A*/A0）1/2*0/T=2（3A*/A0）1/2*0/T=2*=2*13=26（Um/年）因此，每年平均磨损B的容差为26Um/年,15,4下位特性的老化系数容差的确定设产品的上位特性为y，下位特性为x， y与
12、x之间具有线性关系。此处介绍下位特性x的老化系数B的容差的确定方法，具体符号如下：y为上位特性的容差；Ay为上位特性的不合格损失；my为上位特性的目标值；x为下位特性的容差；Ax为下位特性的不合格损失；mx为下位特性的目标值；b为x每变化一个单位时，相应y的变化量；a为x=0时，相应y的值。T为下位特性的设计寿命B为下位特性的老化系数；*为下位特性的老化系数的容差；A*为B不合格时的损失。上位特性y与下位特性x之间具有下列关系式：y=a+bx (30)由公式（23）可知，下位特性x的初期容差可由下式公式给出：=（Ax/Ay）1/2*(y/ b ) （31） 下位特性x的老化系数B的容差的计算公
13、式为： *=（3A*/Ay）1/2*(y/ （b T）) （32）,16,例10-13 在车间照明中，当灯泡的照度变化y=50lx（勒克司）时，因质量方面发生故障的修理费用Ay=150元。而当灯泡的发光强度变化1cd(坎德拉)时，相应照度要变化0.8lx, 即b=0.8lx/cd.灯泡的初期发光强度超出规格时可进行调整，调整费用Ax=3元。对于老化情形，当超出规格时则报废处理，损失A*=32元。设计寿命为T=20000h,试求灯泡初期发光强度的容差及发光强度老化系数的容差*解：初期发光强度的容差为：=（Ax/Ay）1/2*(y/ b )=（3/150）1/2*50/0.8=8.8(cd)发光强
14、度老化系数的容差为：*=（3A*/Ay）1/2*(y/ （b T）)=（3*32/150）1/2*（50/0.8*20000）=0.0025(cd/h),17,10.5.3 望目，望小特性的容差设计容差设计的主要工具是质量损失函数。运用质量损失函数计算产品的质量损失，并按照“使社会总损失（即质量损失与成本之和）最小”的原则来确定合适的容差。例10-14 设计某机械产品，其材料可从A1，A2，A3三种材料中任选。三种材料的线性膨胀系数bi(温度每变化10C时Ai的延伸量)，每年磨损量Bi和价格Pi如表10-15所示。设产品功能界限0=6Um,丧失功能时的损失A0=702元，设计寿命T=20年，温
15、度标准差x=150C,试问选择哪种材料最合适？,18,表10-15,19,解：设产品在标准温度下出厂时的尺寸等于目标值，因此三种材料由于温度变化和老化引起的质量特性波动的均方偏差VTi为：VTi=bi2x2+(1/3)T2Bi2 i=1,2,3 (33)而三种材料的质量水平Li为：Li=(A0/02)*VTi=19.5VTi材料A1的VT1和L1计算如下：VTi=bi2x2+(1/3)T2Bi2 =0.082*152+(202/3)*0.152=4.44(Um)L1=19.5VT1=19.5*4.44=86.58(元),20,可以类似计算出VT2，VT3，L2，L3等，具体结果见表10-6,2
16、1,表10-6中，总损失为：LTi=Pi+Li, i=1,2,3 从表10-6中可看出，材料A2的总损失LT2最小，是最佳材料。而且采用A2时，质量损失和成本之间达到平衡，两者之比接近1。通过容差设计，我们得到产品的成本，即不合格品损失A为：A=A2=13.65(元)因此，最佳条件下的安全系数为：=（A0/A）1/2=（702/13.65）1/2=7.2,22,10.5.4望大特性的容差设计例10-15 某系统的设计中需选用一种树酯管，希望其强度越大越 好。设树酯管的强度和价格均与管子的截面积成正比，单位截面积强度b=80N/mm2,单位截面积价格a=40元/mm2.又当应力0=5000N时，
17、树酯管会断裂，此时的损失A0=30万元，试设计这种管子的最佳截面积。解：设截面积为x,其价格P=ax,其强度y=bx,相应损失函数为：L=L（y）=（A002）/y2=(A002)/(bx)2 (36)因此，总损失LT为：LT=P+L=ax+(A002)/(bx)2 (37)因x的最佳解是使LT达最小值，故有dLT/dx=0,即a=(2A002)/(b2x3) (38)可得管子的最佳截面积为：x=(2A002)/(ab2)1/3,23,将a=40元/mm2,b=80N/mm2,A0=30万元，0=5000N代入上式，得到，x=(2*300000*50002)/(40*802)1/3=388(m
18、m2)因此，成本，质量损失及总损失分别为：成本P=ax=40*388=15520(元)质量损失L=L（y）=(300000*50002)/(80*388)2=7784(元)总损失LT=P+L=15520+7784=23304（元）这样就得到最佳截面积x=388mm2,它是使生产成本与质量损失之和达到最小的截面积。最佳条件下，成本P等于不合格品的损失A，因此安全系数为：=（A0/A）1/2 =（300000/15520）1/2=4.4从而可得到强度y的容差，有=0=4.4*5000=22000(N),24,10.5.5贡献率法1.单因素情况例10-15设乳剂黏度x(单位：P)与涂布厚度y（单位：
19、Um）之间存在线性关系，涂布厚度的目标值m=24Um,容差=10Um.当涂布厚度为不合格品，此时损失每单位面积A=16元。现引进某种自控装置，对黏度进行自动控制，将使黏度的容差x减小一半。该自控装置的价格为50万元，每年经费（利息，偿还，运转费等）占其40%，涂布每年产量为6万个单位面积，问引进黏度自控装置是否可行？为了进行贡献率分析，现每隔2小时，把黏度为x的乳剂涂布一次，共涂15次，测得涂布厚度y的数据如表10-7所示。,25,表10-7,26,解：（1）回归直线的确定。对表10-7中的数据进行计算，得x平均值=8.37y平均值=26.4Lxx=17.77Lxy=120.6b=Lxx/Lx
20、y=6.79a=y平均值-b*x平均值=-30.43因此，所得回归直线为：y=a+bx=-30.43+6.79x (41),27,(2)试验数据的统计分析（见表10-8）,28,(3)系统偏差的校正由于m=24Um,y平均值=26.4Um,故存在系统偏差y平均值-m=26.4-24=2.4(Um)由公式（41）可得：X平均值=（m-a）/b=（24+30.43）/6.79=8.02(p)上式说明，只要将黏度x的均值从原来的8.37p调整到8.02p,则可望使涂布平均厚度y=m=24Um,从而使贡献率pm=0(4)损失函数与平均质量损失函数的确定由条件m=24Um,=10Um,A=16元，则损失
21、函数L（y）和平均质量损失函数L（平均）分别为：L（y）=(A/2)*(y-m)2=0.16(y-24)2nL=(A/2)1/n( yi-m)2=(A/2)VT=0.16*75.87=12.14I=1,29,(5)容差设计。引进自控装置后x=x/2,又pm=0.06,px=0.704,于是新的质量水平LN为： LN=L1-pm-px1-(x/x)2 =12.14*1-0.06-0.704*0.05=5.00（元） 可得到容差设计表（见表10-9）,说明引进自控装置后，每件产品可减少3.81元。以年产6万件计， 年增益22.86万元，因此是可行方案。,30,2.多因素情况 例10-16 要设计一
22、个电感电路，此电路由电阻R（单位：Q）和电感L（单位：H）组成，线 路图如图10-19所示。,R,L,V, f,图10-19 电感电路图,31,当输入交流电压为V（单位：V）和电源频率为f（单位：Hz）时，输出的强度为：y=V/R2+(2元fl)21/2 (42)质量特性y的单位为安培A设质量特性y的目标值m=10A,用户对输出电流强度的容许范围为m4A,即0=4A； 超出此范围后的善后服务等损失为A0=160元。 设以最佳参数R=9.5Q,L=0.01H进行容差设计，原方案采用三级品的电阻和电感，问是否存在更好的容差设计方案？试验方案的设计。本例有4个误差因素，即电源电压V，电源频率f,电阻
23、R和电感L。可利用正交表来设计试验方案误差因素都取三个水平，误差因素V和f根据外界客观条件确定：V1=90V V2=100V V3=110Vf1=50Hz f2=55Hz f3=60Hz电阻R和电感L以最佳参数为第二水平，即R2=9.5Q, L2=0.01H,都采用三级品，波动范围为10%，则可得到误差因素表10-10,32,表10-10,33,选用正交表L9（34），将误差因素V，f, R，L顺序上列，得到试验方案见表10-11,再由公式（42）计算表10-11中19号条件下的质量特性y,其结果见表10-12,34,表10-12,35,注意：第j列的部分和T1j,T2j,T3j是对yi求和，
24、而不是对y求和。（2）试验数据的统计分析。由于因素的水平是等间隔的，所以可利用正交多项式回归理论把因素引起的波动平方和分解为一次项，二次项引起的波动平方和，并求出相应的贡献率。具体步骤如下：1）偏差平方和n 9 ST=(yi-m)2=(yi)2=(-0.01)2+(0.9)2=10.28I=1 i=12)均值偏差平方和nSm=n(y-10)2=1/n(yi)2=(-0.6)2/9=0.04I=13)各因素一次项，二次项引起的波动平方和。本例采用正交表L9（34），总试验次数n=9,水平重复数Y=3。从正交多项式表中可查出：W11=-1 W21=0 W31=1 入12S1=2W12=1 W22=
25、-2 W32=1 入22S2=6,36,因此，可算出Swl=(W11T11+W21T21+W31T31)2/Y入12S1=(-1*26.90+32.74)2/(3*2)=5.68Swq=(W12T11+W22T21+W32T31)2/Y入22S2=(26.9-2*29.76+32.74)2/(3*6)=*10-4可类似计算Sfl Sfq,SRl SRq,SLl,SLq,将这些结果整理成下面的统计分析表（见表10-13）本例有4个误差因素，选用L9（34）时没有空列作为误差列。为了估计试验误差的方差，把方差较小的项，即V0.01有“”记号的项合并成误差项，并得到误差平方和Se,37,表10-13
26、,38,(3)正交多项式回归方程的确定。从表10-13中可以看出，Ve和R1的贡献率较大，均为显著项。根据正交多项式回归理论，质量特性y与显著项之间的回归方程为：Y预测值=y平均值+b1v(V-V平均值)+b1R(R-R平均值)上式中，ny平均值=1/9（yi）=89.4/9=9.93i=1V平均值=100, R平均值=9.5回归系数b1v=(W11T11+W21T21+W31T31)/Y入1S1hvb1R=(W11T13+W21T23+W31T33)/Y入1S1hR,39,从附表正交多项式中可查出入1S1=2，而水平间隔hv=10V,hR=0.95Q,因此有b1v=（-1*26.90+1*3
27、2.74）/(3*2*10)=0.097b1R=(-1*32.45+1*27.26)/(3*2*0.95)=-0.910所以回归方程为：Y预测值=9.93+0.097(V-100)-0.910(R-9.5)当V=100V，R=9.5Q时，质量特性y的估计y预测值=9.93A,它与目标值m=10A相差不大，可以不进行调整。说明在参数设计阶段已对系统偏差进行校正。,40,(4)损失函数与质量水平的确定由已知条件0=4A，A0=160元，m=10A，可得到电流强度y的损失函数为：L（y）=(A/02)(y-m)2=(160/42)(y-10)2n件产品y1,y2.，yn的质量水平为：L平均值=（0/
28、02）VT=10*1.14=11.4(元)说明在原方案中，当R和f都采用三级品时，每件产品的平均质量损失为11.4元。(5)容差设计。本例中只有Pv1=0.5522,PR1=0.4363较大，且电压为环境因素，不易压缩容差。所以只考虑对电阻R的容差进行压缩。,41,现有两个容差设计方案：电阻R采用二级品，容差R=R/2，增加成本P=3元；电阻R采用一级品，容差R=R/10,增加成本P=5元。对第一方案，其质量水平为：LN=L1-pm-PRL(R/R)2=11.4*1-0.0035-0.4364*0.75=7.6（元）对第二方案，其质量水平为：LN=L1-pm-PRL(R/R)2=11.4*1-0.0035-0.4364*0.99=6.4（元）于是可得到容差设计表（见表10-14）,42,表10-14,可见，第一方案为最佳容差设计方案。综上所述， 我们选取电阻R的中心值为9.5Q的二级品， 电感L的中心值为0.01H的三级品，以此组装 电感电路，输出电流强度的期望值为10A，达到目标值，且总损失最少。,
