直线与方程(经典例题).doc

1、 共 6 页 第 1 页直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank当 时， ； 当 时， ； 当 时， 不存90,18,90k90k在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；1(2)k 与 P

2、1、 P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且过点)(11xky1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 bbky两点式： （ ）直线两点 ，1221212,1,2,yx截矩式： xab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。

3、l(0)ay(0)blxy,ab一般式： （ A， B 不全为 0）CByAx注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： （ b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： （ a 为常数） ； x（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系：00yx0,（ C 为常数）0yBxA（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系： ，直线过定点 ；00xk0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线系方:11yxl :22CBAl程为 （ 为参数） ，其中直线 不在直线系中。221BAyxl（6）两直线平行与垂直当 ，

4、 时，1:bkl:bkl共 6 页 第 2 页；212121,/bkl1221kl注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交0:11CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标即方程组 的一组解。1方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合21/l 1l2（8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),xy， （ ）则 22|()ABx（9）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,P0:1CByAxl20Cyd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题例 1. 已知直线过点 P（-5，-4）

5、 ，且与两坐标轴围成三角形面积为 5，求直线 l 的方程。解： 设 直 线 的 截 距 式 方 程 为 ：xayb1则 有 5412ab52， 或 ，54直 线 方 程 为 或8010xyxy例 2 已知两点 A(-3，4)， B(3，2)，过点 P(2，1)的直线 l 与线段 AB 有公共点（1）求直线 l 的斜率的取值范围 （2）求直线 l 的倾斜角的取值范围分析：如图 1，为使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB 的倾斜角与直线 PA 的倾斜角之间，所以，当 l 的倾斜角小于 90时，有 ；当 l 的倾斜角PBk大于 90时，则有 PAk解：如图 1，有

6、分析知1， PAk23)(43PB)( （1） 或 k3（2）arctan3 4说明：容易错误地写成1 k 3，原因是或误以为正切函数在 上单调递增,0O图 1AyxP共 6 页 第 3 页例 3 若三点 ， ， 共线，求 的值A)3,2(B)2,(C),1(m分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在解答：由 、 、 三点共线，则 CABk ，解得 213m21说明：由三点共线求其中参数 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求 的方法最简便例 4. 在 直 线 上 求 一 点 ， 使 点 到 两 点 （ ， ） ， （ ， ） 的3101

7、20xyP距离相等。分析：（1）设 P（x，y） ，则有 y3x1，故点 P 的坐标为（x，3x1） ，由距离公式得 x 的方程，解得 x0。（2）设 P（x，y） ，求出两点（1，-1） ， （2，0）的中垂线方程为 xy10，再解方程组得 P（0，1） 。解法 1：设 P（x，y） ，则有 y3x1故点 P 的坐标为（x，3x1）由 距 离 公 式 得 ： xx32312 22解之得：x0所求的点为 P（0，1）解法 2：设 P（x，y） ，两点（1，-1） ， （2，0）所连线段的中垂线方程为： 又 312xy解由、组成的方程组得：P（0，1）练习:1. 直线 axby10()与两坐标轴

8、围成的三角形的面积是（ ）A. 2B. aC. 2bD. 1a2. 过点 A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）A. xy5 B. xy5C. 或 y40 D. 或 xy40共 6 页 第 4 页3. 已知直线 AxByC0的横截距大于纵截距，则 A、B、C 应满足的条件是（ ）A. AB B. AB C. BD. 04. 直线 laxyblxyab1200： ， ：()的图象只可能是下图中的（ ）5. 直线 270xy在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 a、b 的值是（ ）A. ab， B. b72，C. 72，D. a，6. 若直线 l的倾斜角为 ar

9、ctn12且过点（1，0） ，则直线 l的方程为_。7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。（1）直线经过点 P1203， 、 ， ；（2）直线在 x 轴上的截距为 2，在 y 轴上的截距为 3。共 6 页 第 5 页8. 设直线 l的方程为 mxmy2231620，根据下列条件分别确定实数 m 的值。（1） 在 x 轴上的截距是 ；（2）斜率是 1。9. 过点 P（2，1）作直线 l交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点，当 PB取最小值时，求直线 l的方程。10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为 3，且在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 5，求这样的直线的条数。11. 已知点 P（

10、-1，1） 、Q（2，2） ，直线 lykx： 1与线段 PQ 相交，求实数 k 的范围。12已知 中， A(1, 3)， AB、 AC 边上的中线所在直线方程分别为 和BC xy210共 6 页 第 6 页，求 各边所在直线方程y10ABC参考解题格式： 9. 解：设直线 l的方程为 ykxk210()分别令 x0， 得： BA2， ， ，PABkk121248422k0，当且仅当 k1时， PAB取得最小值 4故所求直线的方程为 xy3011. 解：直线 l的纵截距为 直线过点 M（0，-1） l与线段 PQ 相交 kkMQP或kMQP2103k2或12分析： B 点应满足的两个条件是： B 在直线 上； BA 的中点 D 在直线01y上。由可设 ，进而由确定 值.01yx1，xBx解：设 则 AB 的中点 D 在中线 CD： 上，B2，B 012y，2解得 ， 故 B(5, 1).5Bx同样，因点 C 在直线 上，可以设 C 为 ，求出012yxCy，12.31，y根据两点式，得 中 AB： ， BC： ， AC： .AB7yx04yx02yx