1、椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学 海平一、 椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。例 1 的三边 、 、 成等差数列且满足 ， 、 两点的坐标分别是 、 。求顶点 的轨迹。分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。解析： 、 、 成等差数列， ，即 ，又 ， 。根据椭圆的定义，易得点 的轨迹方程为 。又 ， ，即 ， ， 。故点 的轨迹是椭圆的一半，方程为 （ ）。又当时，点 、 、 在同一条直线上，不能构成三角形， 。点 的轨迹方程为 。评
2、注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略 这一条件，因此易漏掉 这一限制；由于 、 、 三点构成三角形，故应剔除使 、 、 共线的点 。例 2 、椭圆 上一点 到两焦点 、 的距离之差为 2，试判断 的形状。分析：由椭圆定义知， 的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出 的两边。解析：由 ，解得 。又 ，故满足 。 为直角三角形。评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。例 3、已知椭圆
3、的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点, ,求椭圆的方程. 1(6)P2()【解析】设椭圆方程为 （m0,n0 且 mn）. 2xny1椭圆经过 ， 点， ， 点坐标适合椭圆方程，12P12P则6m+n=1， 3m+2n=1，两式联立，解得 m= , n= .193所求椭圆方程为2xy193评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于 a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为 mx2+ny2=1（m 0,n0,mn ） ，由题目所给条件求出 m，n 即可. 三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，
4、向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解 2410,14()()212| yxMlABOPOABNMN例 、 最 值 问 题设 椭 圆 方 程 为 ， 过 点 的 直 线 交 椭 圆 于 、 两 点 ， 是 坐 标 原 点 ，点 满 足 ， 点 的 坐 标 为 ， 当 绕 点 旋 转 时 ，求 ： 动 点 的 轨 迹 方 程 ；的 最 大 值 与 最 小 值 1222122121220,11.()()430.844()()()2lMklykxAxyBkxkxyxykOPAB直 线 过 点 ，当 斜 率 存 在 时 ， 设 其 斜 率 为 ， 则
5、的 方 程 为记 ， ， ， ，由 ， 得 ，所 以解 ，： ，析则 22222240.0,11.647|()()3(11|66| .4).4PxykxNxyyPxx点 的 轨 迹 方 程 为当 时 ， 取 得设 点 的 坐 标 为 ， ， 则 ，消 去 得当 斜 率 不 存 在 时 ， 的 中 点 为 原 点 ， 也 满 足 上 述方 程 所 以由 点 的 轨 迹 方 程 知 ， 即所 以故 最 大 值 为 ；当 时 ， 取 得 最 小 值 为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系例 5、参数范围问题
6、(01), |()12 |GABCBxMACMRkl PQPQk 已 知 点 是 的 重 心 ， ， ， ， 在 轴 上 有 一 点 ， 满 足 ，求 点 的 轨 迹 方 程 ；若 斜 率 为 的 直 线 与 点 的 轨 迹 交 于 不 同 的 两 点 、 ， 且 满 足 ， 试 求 的 取 值 范 围 2222() ()3(0)3|()01)()30131(0)xyCxyGABCGMRMAxxyyxCy设 ， ， 为 的 重 心 ， 则 ， 因 为 ， 所 以 ，而 点 在 轴 上 ， 则 ， 由 ， 得 ，整 理 得 所 点 的 轨 迹 方析 ： 程 为以解2222120|.13(1)63
7、()0*(41130*)klCPQAPQlykxmxykmlkkPxyQy 当 时 ， 与 椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点 、 ，由 椭 圆 的 对 称 性 知 当 时 ， 可 设 的 方 程 为 ，代 入 ， 整 理 得 ， ，因 为 直 线 与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 ，所 以 ，即 ，设 ， ， ， ，1222112002 22()()63()()313|1-3ANPxyQykmxkxNkyxkPQPmkk设 ， ， ， ，则 ， ，则 中 点 ， 的 坐 标 为， ，又 ， 所 以 ，所 以 ，221*1,0,k得 ， 代 入 得 ，所 以 的 取 值 范 围得 ， 是综 合 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ，通过解不等式(组) 得出参数的取值范围；函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围
