1、一、知识梳理1内角和定理：在 中， ； ；ABCsin()ABsiCcos()ABcosC面积公式:11sinsii22Sabcac在三角形中大边对大角，反之亦然.2正弦定理：在一个三角形中 ,各边和它的所对角的正弦的比相等 .形式一： (解三角形的重要工具 )RCcBbAasinisin形式二： (边角转化的重要工具)Rcbsin2形式三： :i:sinabABC 形式四：sin,si,sin22abcABCRR3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一： (解三角形的重要工具)22cos22cosbca22cosab形式二： 2cos
2、baABC二、方法归纳(1)已知两角 A、B 与一边 ,由 A+B+C= 及 sinisinabcAB，可求出角 C，再求 、 .a bc(2)已知两边 、 与其夹角 A，由 2= 2+ 2-2 cosA，求出 ，再由余弦定理，求出角 B、C.bcbca(3)已知三边 、 、 ，由余弦定理可求出角 A、B、C.(4)已知两边 、 及其中一边的对角 A，由正弦定理 sinibB，求出另一边 的对角 B，由 C=-(A+B)，求a b出 ，再由 sinicAC求出 C，而通过 siia求 B 时，可能出一解，两解或无解的情况c= sinA 有一解 sinA 有两解 有一解 有一解abbbab三、课
3、堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例 1】在 中，若 ， , ，则 .ABC5b4B1sin3Aa523【例 2】在ABC 中，已知 = , = ,B=45,求 A、C 和 .a32c2【解析】 B=4590且 sinBb ,ABC 有两解.由正弦定理得 sinA= = = ,a bBasin245si33则 A 为 60或 120.当 A=60时，C=180-(A+B)=75,c= = = = .BCbsin45si7245sin)30(26当 A=120时，C=180-(A+B)=15,c= = = = .ii1ni2故在ABC 中，A=60,C=75,c= 或 A=120,C=15
4、, = .26c26【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA = ,在 (0)上显然有两个解。 sinyx在 (0,)上的值域为23（0,1 】 ， sin1x在 (0,)只有 2x一解。【适时导练】1.（1）ABC 中， =8,B=60,C=75,求 ; （2）ABC 中，B=30, =4,c=8,求 C、A、a.abb【解析】 （1）由正弦定理得 .B=60,C=75,A=45,b= =4 .BAasini 45sin608siBa（2）由正弦定理得 sinC= =1.又30 C150,C=90. 4308bcA=180-(B+C)=60, = =4 .a2问题二：利用余弦定理解三
5、角形【例 3】设 的内角 所对的边分别为 .已知 ， ， .ABC、 cba、 1a2b41cosC（）求 的周长；（）求 的值.CAcos【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【解析】 （） 的周长为 .41s22 abc 2cABC521cba（） ， ，41osC5cos1sin22C8524sinic ， ,故 为锐角，caA 871in22A . Cos CAsincos 645817【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincsisiincos令 3 22222coscossincossinc1sitat
6、 +tan1 ossintanta1令 【例 4】 （2010 重庆文数） 设 ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ,且 3 2b+3c-3 2a=4 .acbc() 求 sinA 的值；()求sin()si()441co2的值.【适时导练】2 在ABC 中， 、 、 分别是角 A，B，C 的对边，且 =- .abcCBcoscab2（1）求角 B 的大小；（2）若 = ， + =4，求ABC 的面积.13ac【解析】 （1）由余弦定理知：cosB= ，cosC= .将上式代入 =- 得:b22abc22CBcoscab2 =- 整理得: 2+ 2- 2=- cosB= = =-
7、acb22222cbaca a221B 为三角形的内角，B= .3（2）将 = , + =4,B= 代入 2= 2+ 2-2 cosB,得 2=( + )2-2 -2 cosB13c2bcabcc 2=16-2 , =3.S ABC = sinB= .baa144问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】 （2011 山东文数）在 ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 ， ，c已知 osA-2cC-a=Bbab（I）求 sinCA的值； （II）若 cosB= 14， ABC 的周长为 5，求 的长。【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。【解析】 （I）由正弦定
8、理，设 则,sinisinabckABC2sini2sin,cakCACAbBB所以 即 ，cos2.CB(os)i(i)coA化简可得 又 ，所以 因此in()si()n2si2.nA（II）由 得 由余弦定得及 得s2iA.ca1cs4B22os14.baB所以 又 从而 因此 b=2。ba5,c1,a【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”【例 6】 （2009 全国卷理）在 ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、 b、 c，已知 2acb，且sinco3sin,AC求 b 【解题思路】对已知条件(1) 2ac左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条
9、件(2) sicsi,化角化边都可以。【解析】解法一：在 ABC中 sinco3sin,AC则由正弦定理及余弦定理有:2223,abcabcA化简并整理得： 22()acb.又由已知 2acb24.解得40(或 舍 ）. 解法二:由余弦定理得: 22cosacbA.又 2acb, 0.所以 2cosbA 又 sin3inC， sisin4osinCAC()4，即 4coB由正弦定理得 siibBc，故 sA 5由，解得 4b.【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。【适时导练】3 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 8 s
10、in2 2 cos 2A7BC（1 ）求角 A 的大小；（2）若 a ，bc3 ，求 b 和 c 的值解: （ 1） ABC180， 90 sin 22os2由 8sin2 2cos2A7，得 8cos2 2 cos2A7 4(1cos A)2(2 cos2A1 )7，即(2cos A1 )20 cos A 0A 180 ， A60 1（2 ） a ，A60，由余弦定理知 a2b 2c 22bc cos A， 3b 2c 2bc(bc) 23bc93bc3 bc2又 bc 3， b1 ，c2 或 b2 ，c1问题四：三角恒等变形【例 7】 （08 重庆） 设 的内角 A，B ，C 的对边分别为
11、 ,b,c，且 A= ，c=3b.求：a60（） 的值；（）cotB +cot C 的值.ac【解题思路】求 的值需要消去角和 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系;b【解析】 （）由余弦定理得 Acaos22 故22971331ccc .3a（）解法一： cotBCcosiniCBsin()sin,CAB由正弦定理和（）的结论得 227si11439.nsi 93cAab故143cot.9BC解法二：由余弦定理及（）的结论有 725372)1(92cos2cacbB6故253sin1cos1.827B同理可得 721329cs2 cabC 213sincos.827C从而osc54cot
12、.ini9BC【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦” ， 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sicos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： inota,tcssi【适时导练】4.（ 2009 江西卷理） ABC中， ,所对的边分别为 ,abc， sintcoABC,sin()cosAC.（1）求 ,；（2）若 3S,求 c. 【解析】(1) 因为 sintacoB，即 sinisocAB，所以 sincoiiciCACA，即 sss，得 i()i()B. 所以 B,或 ()C(
13、不成立).即 2A, 得 3，所以. 23A又因为 1sin()cos2C，则 6，或 56（舍去） 得 5,41B(2) 6sin328ACSacac， 又 sii, 即 2， 得 2,3.ac问题五：判断三角形形状7【例 8】在ABC 中，在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，bcosA cosB，试判断 三角形的形ABCa,bc aABC状.【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理【解析】方法 1：利用余弦定理将角化为边 .bcosA cosB a2
14、22bcacb 222bc2a故此三角形是等腰三角形.方法 2：利用正弦定理将边转化为角.bcosA cosB 又 b2 RsinB， 2RsinAaa2 RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB ） 0 0A ，B， ABAB0 ，即 AB 故三角形是等腰三角形.【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.【例 9】. 在ABC 中，在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若 ，Ca,bccosAcosB ba试判断 三角形的形状 .C【解析】：方法 1：利用余弦定理将角化为边由已知 及正弦定理
15、得 sin2A=sin2B2A 2B 或 2A2B ，即 AB 或 AB ，cosAcosB ba cosAcosB sinBsinA 2故ABC 为等腰三角形或直角三角形.方法 2：利用正弦定理将边转化为角.acosAbcosB 222bcacb222()0abca=b 或者 220a故ABC 为等腰三角形或直角三角形.【适时导练】5.在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等边三角形【解析】2sinAcosBsin（AB）sin （A B）又2sinAcosBsinC，sin（AB ）0，A B6.
16、在ABC 中， 、 、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果（ 2+b2）sin （A -B）=（ 2-b2）sin（A+B ） ，ab aa判断三角形的形状.8【解析】方法一 已知等式可化为 2sin（A-B）-sin （ A+B） =b 2-sin（A+B）-sin(A-B)a2 2cosAsinB=2 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin2BcosBsinAabsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin 2A=sin2B,由 02A,2B2 得 2A=2B 或 2A= -2B,即 A=B 或 A= -B,ABC
17、为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB 由正、余弦定理,可得2b = b2 2(b2+c2- 2)=b2( 2+c2-b2)即( 2- 2)( 2+ 2-c2)=0aca2caab = 或 2+ 2=c2ABC 为等腰或直角三角形.问题六：与其他知识综合【例 10】已知向量 ，其中 A，B，C 是ABC 的内角， , ,c 分别是角(,)(,)0abacb且mnmnabA，B，C 的对边 .（1）求角 C 的大小；（2）求 的取值范围.siA【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。【解析】 （1）由 得0n22()()0acbabca
18、由余弦定理得 221cosCC3C（2） 33AB222sinsin()sincossin33ABA1ico(i)3sin()6A20A51sin()126A3sin()326A即 . 3sin3B【思考】坐标运算：设 ，则： 向量的加减法运算： ， 。12(,)(,)axyb 12(abx12)y实数与向量的积： 。 平面向量数量积： =11,xycosab【适时导练】7（2009 浙江文）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且满足 25osA， 3BAC （I）求 的面积； （II）若 1c，求 的值9【解析】 （） 531)2(1cos2A 又 ),0(A， 54in2，而 3
19、5cos bACBA，所以 5bc，所以 ABC的面积为： 1si2bc（）由（）知 5，而 c，所以 b所以 52312cos22 ba问题 7：三角实际应用【例 11】 要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，3ADC=30，ADB=45，求 A、B 之间的距离.【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。【解析】如图所示在ACD 中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.3在BCD 中，BCD =45，BDC=75，CBD =60.BC= = .60sin7532ABC 中，由余弦定理，得 AB2=
20、+ -2 cos752（326=3+2+ - =5，AB= (km).A、B 之间的距离为 km. 355课后自我检测A 组1.已知 ABC 中， 12cot5A，则 cos ( )【答案】 1232.在 BC中。若 b， 3c， ，则 a= 。【答案】 13.已知 , , 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 =1, = 3, A+C=2B,则 sinC= .ac ab【答案】 1【解析】由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180知， B =60由正弦定理知， 1sini60A，即 1sin2A由 ab知，60，则 3，101801803690CAB， sini901C3.在
21、 中， =15, =10,A=60，则 coB=abA 2 B 3 C D 3【答案】D【解析】根据正弦定理 siniabAB可得 150sin6iB解得 3sin，又因为 ba，则 BA，故 B 为锐角，所以26cos1i3B，故 D 正确.4某人朝正东方向走 x千米后，向右转 o150并走 3 千米，结果他离出发点恰好 3千米，那么 x的值为 （ ）A 3 B 32 C 或 2D3【答案】C5.（2008 福建)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 、 、 ,若( 2+ 2-b2)tanB= 3ac,abca则角 B 的值为 （ ）A. 6 B. 3 C. 6或 5 D. 3或【答
22、案】 D6已知 ABC 的周长为 21，且 sin2sinABC（I）求边 的长；（II）若 C 的面积为 16，求角 的度数【解析】 （I）由题意及正弦定理，得 ， 2AB，两式相减，得 1AB（II）由 C 的面积 ,sin61i2C，得 31B，由余弦定理，得 cosC= BA2= 212)( AB，所以 60C7在 中，角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ，且满足 BBCabcsin3cosbAaB11（I）求角 的值；（II）若 ， 求 的值B25cosAsinC【解析】 （I）由正弦定理得 ， BBco3in，即 ，0sinA为ta由于 ，所以 B3（II） ， 512cos因为
23、 ，故 ， 0sinA4in所以 1034cos23si13ii AC8 在 AB中， cba,分别为内角 CB,的对边，且 1sin4)cos(2CB 来源:Zxxk.Com（）求 ；（）若 3， 12sin，求 b来源:学科网 ZXXK【解析】 （）由 i4)cos(2，得 1sinin(cos2 CBCB， 即 1)si从而 )cos(2，得 2)co( 3CB,故 A （）由 12sin，得 32cosB， 94ii AaBbsini， 2394，解得 68b 9. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟文科)已知向量 ,函数1(sin,1)(3cos)2axbx.)()2fxa()求函数 的最小正周期 ;T12()已知 、 、 分别为 内角 、 、 的对边, 其中 为锐角, ,且 ,求 和abcABCA234ac()1fAb的面积 .ABCS【解析】
