1、1,计算机导论与程序设计基础,2,一. 回溯算法的含义 二. 用回溯算法解决问题的一般步骤 三. 回溯法解题思路应用递归函数求解,提纲,3,一. 回溯算法的含义以组合问题为例：找出从自然数1、2、n中任取r个数的所有组合(要求r个数从小到大排列)。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）1，2，3 （2） 1，2，4 （3）1，2，5 (4） 1，3，4 （5）1，3，5 （6） 1，4，5（7）2，3，4 （8） 2，3，5 （9）2，4，5 (10） 3，4，5,一. 回溯算法的含义,4,一. 回溯算法的含义,求n=5，r=3的所有组合 算法1：使用前面学的穷举算法 罗列出3个数字剔重之后
2、的54360种候选解。 利用限制条件（r个数从小到大排列）来剔除不符合要求的解。 算法评价：计算量大，可能候选解中只有一小部分解是符合要求的解。,5,一. 回溯算法的含义,求n=5，r=3的所有组合 算法2：使用回溯算法,回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是：在搜索问题的解时，从一条路往前走，能进则进，不能进则退（回溯）回来，换一条路再试。,迷宫,x1,x2,x3,6,一. 回溯算法的含义 二. 用回溯算法解决问题的一般步骤 三. 回溯法解题思路应用递归函数求解,提纲,7,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤： 针对所给问
3、题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。 确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。 问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。,8,第1步. 定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。例：求n=5，r=3的所有组合,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤,解空间中共有54360种可能的解，其中符合要求的解为（列举法）： (1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4)，(2
4、,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5) ,符合要求的解为（描述法）： E=（x1，x2，x3）xiS ， 1 i3 ， 且x1x2x3 其中：S=1，2，3，4，5,9,第1步. 定义问题的解空间。可用回溯法求解的问题P， 下述集合E中的n元组组成了问题P的解空间：E=（x1，x2，xn）xiSi ，1 in其中Si是xi的定义域，且 Si中元素个数 有限。问题P的解：E中所有满足约束集D的n元组（D是对x1xn取值的全部约束条件）。,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤,n 元组或多元组是对象个数有限的序列。多元组被数学家们用来描述确定成分的数学对象。多元组区别于集合的主要性质在于：（1）
5、它可以多次含有某个对象；（2）对象按照一定顺序出现。,10,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤,第2步.确定易于搜索的解空间结构。通常可以将解空间组织成一棵树，使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。,问题的解： (1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5) ,x1,x2,x3,11,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤,树的定义：树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次
6、结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点。,根结点,深 度,宽度,12,二. 用回溯算法解决问题的一般步骤,第3步.以深度优先的方式搜索解空间回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式
7、递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。,13,搜索问题解，建立解空间1,x1,x2,x3,深 度,14,一. 回溯算法的含义 二. 用回溯算法解决问题的一般步骤 三. 回溯法解题思路应用递归函数求解,提纲,15,三. 回溯法解题思路 就是求所有满足条件D的n元组(x1，x2，, xn ) 为求n元组(x1，x2，, xn ) ，可以先求出x1 ，然后再求n-1元组( x2，, xn ）。这样，求(x1，x2，, xn )的问题被转化为规模小一级但同性质的求( x2，, xn )的问题。 同理，求( x2，, xn )的问题可以转化为求( x3，, xn )的问题
8、，如此不断转化，问题规模不断减小。 当被转化为求一元组(xn)时，可以直接给出结果，而不需要继续转化 。 这就是递归算法实现回溯法的思想。,三. 回溯法解题思路,16,例1. 求n=5，r=3的所有组合。 问题分析：求组合其实就是求满足条件的3元组( x1,x2, x3 )。可以设计递归函数求解元组( xi, xn ) 。 递归函数参数设计考虑： i肯定是作为一个参数，那么n是作为参数还是其他采用方式（如全局变量、常量）？ xi的取值范围是递归函数必须要获得的。 求得的元组采用什么数据结构存放？采用全局变量还是使用形式参数？,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,17,递归函数设计：求元组( x
9、i，, xn )void try(int i,int n,int min,int max,int result,int size) 参数说明：i和n：表示递归函数求元组( xi，, xn )min和max：min xj maxresult：存放元组size：result的长度,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,18,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,19,void try(int i,int n,int min,int max,int result,int size) int xi,j; for(xi=min; xi=max; xi+)/依次试探xiresulti=xi; /确定xiif
10、(i=n) /若本次是求一元组，则递归结束，输出结果for(j=1;j=size-1;j+)printf(“%-5d“,resultj);printf(“n“); elsetry(i+1,n,xi+1,max,result,size); /继续求解(xi+1, xn )resulti=0;/清空xi ,组合问题递归函数,20,组合问题主函数,#include #define N 3 main() int resultN+1=0;/*记录一个N元组,ai记录xi*/try(1,3,1,5,result,N+1); /*调用递归函数求3元组*/system(“pause“);return 0; ,
11、21,例2. 跳马问题有一块n*n的格子的棋盘，一位骑士放在初始坐标为的格子里, 并按照象棋的移动规则移动。提出的问题是：是否可以找到可以走遍整个棋盘的方案。即经过一个n*n-1次移动的巡游，使得棋盘上每一个格子恰好被访问一次。输出各方案及总方案数。,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,22,从(x,y)出发，下一步可以走的八种选择：,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,23,第1步：定义解空间 假设是55的棋盘,则本题实际就是求解由25元组组成的状态空间E。E=（x1，x2，,x25）xiS ， 1 i25其中：S是棋盘上的25个坐标组成的集合xi代表第i步的坐标约束集D为：x1x25互不相
12、等,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,24,三.回溯法解题思路应用递归函数求解,第2步. 采用一棵树描述解空间，树的深度为25。第3步. 动态搜索并建立解空间。,共25个结点,25,解题思路： 1）元组的存放（即旗盘路线）：用一个全局二维数组存储int boardSIZESIZE;/SIZE表示棋盘的行和列数,三. 回溯法解题思路,1 16 21 10 25 20 11 24 15 22 17 2 19 6 9 12 7 4 23 14 3 18 13 8 5,表示第22步走到此位置,26,三. 回溯法解题思路,2）递归函数设计：用于求元组(xixn )。由于必须在xi-1基础上根据移动规则
13、确定xi，因 此需要将xi的坐标作为参数传入。 void try(int i,int n,int x,int y),27,三. 回溯法解题思路,28,3）如何在xi-1坐标 基础上确定xi的各个可能坐标：int row8=1,2,2,1,-1,-2,-2,-1;/*8个方向上的x增量*/int col8=-2,-1,1,2,2,1,-1,-2; /*8个方向上的y增量*/for(dir=0;dir=7;dir+) /*依次试遍8个方向*/u=x+rowdir; /*得到的新坐标*/ v=y+coldir; 4）递归结束条件： 第i步有位置可走且i等于25,三. 回溯法解题思路,29,s,/函数
14、功能：从stepi-1出发，求(stepistepSIZE*SIZE)。stepi-1坐标为（x，y） void try(int i,int n,int x,int y)int dir,u,v; for(dir=0;dir=0) /清空位置 。不可少！/ end of if /end of for ,跳马问题 递归函数,30,#include #define SIZE 5 int row8=1,2,2,1,-1,-2,-2,-1;/*8个方向上的x增量*/ int col8=-2,-1,1,2,2,1,-1,-2; /*8个方向上的y增量*/ int boardSIZESIZE=0;/*记录走
15、的路径*/ int num;/*记录方案总个数*/ main() int row,col;/*初始化*/num=0;board00=1; /*占据位置（0,0）*/ try(2,SIZE*SIZE,0,0); /*从(0,0)出发，寻找后续位置*/ /*输出总方案数*/ printf(“总方案数为%d“,num); system(“pause“); ,跳马问题 主函数,31,三. 回溯法解题思路,例3. 背包问题有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。,weight=16,15,15 value
16、=45,25,25 weightLimit=30 则最优解是(0,1,1),32,33,背包问题1,void try(int i,int n,int weight,int value,int weightLimit,int solution,int bestSolution) int xi;for(xi=0;xigetValue(bestSolution,value,n)saveSolution(solution,bestSolution,n);/将当前方案作为最大值方案 elsetry(i+1,n,weight,value,weightLimit,solution,bestSolution)
17、; solutioni=0; ,34,#define SIZE 4main() int i,weightLimit=50;int solutionSIZE+1=0;int bestSolutionSIZE+1=0; int weightSIZE+1=0,16,15,15,20;int valueSIZE+1=0,45,25,25,30;try(1,SIZE,weight,value,weightLimit,solution,bestSolution);for(i=1;i=SIZE;i+)printf(“%dt“,bestSolutioni);system(“pause“);return 0;
18、,背包问题2,35,void saveSolution(int solution,int bestSolution,int size) int i; for(i=1;i=size;i+)bestSolutioni=solutioni; int getWeight(int solution,int weight,int size) int totalWeight=0,i;for(i=1;i=size;i+)totalWeight+=solutioni*weighti;return totalWeight; ,背包问题3,36,int getValue(int solution,int value,int size) int totalValue=0,i;for(i=1;i=SIZE;i+)totalValue+=solutioni*valuei;return totalValue; ,背包问题4,37,例4. 迷宫问题,
