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类型初等数论§1整除.ppt

  • 上传人:11xg27ws
  • 文档编号:9833501
  • 上传时间:2019-09-10
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    初等数论§1整除.ppt
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    1、2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,1,第一章 整数的可除性,整除性理论是初等数论的基础,本章要介绍,带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公,算术基本定理以及,倍数,,它们的一些应用。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,2,中小学数学中的一些数论问题:,4.已知: 782 + 8161能被57整除,求证:783 +8163也能 被57整除。,1.狐狸在跑道上跳远,每次跳远150CM从起点开始每隔130CM设一个陷阱,问狐狸跳了几次后掉进井中?,2.已知66X1998Y,求所有满足条件的六位数X1998Y.,3.有一个自然数乘以9后,得到一个仅由数字1组成 的多位数,求这个自然

    2、数最小为多少?,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,3,5.设n为整数,求证:24n(n+2)(5n+1)(5n1).,6. 100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,4,1.1 整除的概念 带余数除法,一、整除的概念,相关概念:因数、约数、倍数、奇数、偶数。,注:显然每个非零整数a都有约数 1,a,称这四个 数为a的平凡约数,a的另外的约数称为非平凡约数。,例1 有一个自然数乘以9后,得到一个仅由数字1组成 的多位数,求这个自然数最小为多少?,12345679,2019/9/10,阜阳师范学院 数科

    3、院,5,二、整除的性质,定理1传递性,定理2,定理3,例2 (1) 已知:x和y是整数,13( 9x + 10y ), 求证:13( 4x + 3y );,(2)若 a ,b 是整数,且7( a + b ), 7( 2ab ), 证明:7|( 5a + 2b )。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,6,三、带余数除法,定理4 设a与b是两个整数,b 0,则存在唯一 的两个整数q和r,使得,定义2:(1)式通常写成,并称q为a被b除所得的不完全商; r叫做a被b除所得的余数; (2)式称为带余数除法。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,7,证明:,存在性:考虑整数序列,则a必在序

    4、列的某两项之间,,即存在一个整数q,使得,唯一性:反证略,定理4 设a与b是两个整数,b 0,则存在唯一 的两个整数q和r,使得,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,8,例3 利用带余数除法,由a, b的值求q, r .,如果允许b取负值,则要求,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,9,证明:,由带余除法有,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,10,例5 设n为整数,求证:24n(n+2)(5n+1)(5n1).,证明:f ( n ) = n ( n + 2 ) ( 5n + 1 ) ( 5n1 ),= n ( n + 2 ) ( n21) + 24n2,= ( n1 ) n

    5、 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + 24 n3 ( n + 2 ),4!( n1) n ( n + 1 ) ( n + 2 ),2424 n3 ( n + 2 ),24f ( n ).,练习:对于任意的五个自然数,证明其中必有3 个数的和能被3整除。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,11,例6 已知: 782 + 8161能被57整除,,求证:783 +8163也能被57整除。,证明:783 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 )7 8161 + 8163,= 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 57,782 + 8161和57都能被57整除,原式得

    6、证。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,12,习题选讲,P44,设a, b是任意两个整数,,证明:存在两个整数s, t,使得,并且,当b为奇数时,s, t是唯一的。b为偶数呢?,则a必在此序列的某两项之间,,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,13,存在性得证 ;下证唯一性.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,14,当b为奇数时,式中的等号不能成立,,当b为偶数时,s, t可以不唯一,举例如下:,注:该例为简化辗转相除法求最大公约数提供了依据。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,15,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,16,1.2 最大公因数与辗转相除法,

    7、一、最大公因数,例1 已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。,15与150,或30与135,或45与120, 或60与105,或75与90.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,17,练习:100个正整数之和为101101,则它们的最大 公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。,若这100个数互不相同呢?,1001,定理1:有关最大公因数的结论,注:定理1(3)给出了求最大公因数的方法,辗转相除法.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,18,二、辗转相除法,每次用余数去除除数,直到余数为0停止,这种运算,方法称为辗转相除法。即有,( * ),或,2019/

    8、9/10,阜阳师范学院 数科院,19,定理2 在上面的表达式( * )中,有,证明:,另一方面,,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,20,证明:先考虑两个数的情形,,一方面,,另一方面,由辗转相除法可以得到,,对于多个整数的公因数,利用,可以证明.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,21,例2 求下面各组数的最大公因数。,解:,1859 1573,1,1573,286,5,1430,143,2,286,0,注:亦可通过分解因数的方法求最大公因数.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,22,补充说明:利用1.1习题4的结论,可以使得辗转 相除法求最大公因数更为快速一些。每次

    9、除得余数 的绝对值不超过除数的一半,余数可以为负。,例3 求(76501,9719).,76501 9719,8,77752,1251,8,10008,289,4,1156,95,3,285,4,24,96,1,4,4,0,=1.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,23,定理4,说明:,(1)在 ( * )式中,所有各项都乘以m可以得证。,(2)由(1)即可得证。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,24,定理5,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,25,例4 求最大公约数 :,方法一:利用定理5.,方法二:分解因数.,48 72 108,2,24 36 54,2,12 1

    10、8 27,3,4 6 9,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,26,例5 利用辗转相除法计算 (27090, 21672, 11352).,27090 21672 11352,2,22704,(2),22704,4386,1032,11,11352,4,4128,0,258,4,1032,0,所以,(27090, 21672, 11352)=258.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,27,例6 证明:若n是正整数,则,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,28,定理6 设a,b不全为0,则存在整数 s, t,使得,证明:利用P4习题1-3的结论.,一方面,,另一方面,,20

    11、19/9/10,阜阳师范学院 数科院,29,特别地,,证:必要性的证明由定理6直接可得。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,30,推论1,证明:,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,31,推论2,证明:,另解:利用推论1,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,32,.,思考题:用辗转相除法求x,y,使得,125x 17y = (125, 17).,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,33,习题选讲,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,34,4、证明:在辗转相除法中的n满足:,证:由P31习题4知:,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,35,2019/9/10

    12、,阜阳师范学院 数科院,36,1.3 最小公倍数,定义1 : 整数a1, a2, , ak的公共倍数称为a1, a2, , ak 的公倍数。a1, a2, , ak的正公倍数中的最小的一个叫 做a1, a2, , ak的最小公倍数,记为a1, a2, , ak.,定理1: 下面的等式成立: () a, 1 = |a|,a, a = |a|; () a, b = b, a; () a1, a2, , ak = |a1|, |a2| , |ak|; () 若ab,则a, b = |b|。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,37,定理2 对任意的正整数a,b,有,证明: 设m是a和b的一个公

    13、倍数,,那么存在整数k1,k2,使得m = ak1,m = bk2,,因此 ak1 = bk2 .,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,38,推论1 两个整数的任何公倍数一定是,最小公倍数的倍数。,推论2 设m,a,b是正整数,则ma, mb = ma, b。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,39,定理3,注:把多个整数的公倍数化为两个数的公倍数来计算。,推论 若m是a1, a2, , an的公倍数,则a1, a2, , anm 。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,40,定理4 整数a1, a2, , an两两互素, 即(ai, aj) = 1,1 i, j n,i

    14、j 的充要条件是,a1, a2, , an = a1a2an .,例3 设a,b,c是正整数,证明 a, b, c(ab, bc, ca) = abc 。,证:a, b, c = a, b, c =,(ab, bc, ca) = (ab, (bc, ca) = (ab, c(a, b),代入即得证.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,41,多项式的带余式除法,称为n次多项式.,注:整数的带余数除法推广到多项式的带余式除法, 其他方面的性质整除的性质、辗转相除法、约数、 倍数等也可以作类似地推广。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,42,习题讲解:,2019/9/10,阜阳师范学

    15、院 数科院,43,构造方程,其有理根只能为,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,44,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,45,1.4 质数 算术基本定理,一、质数与合数,定义:若整数a 0,1,并且只有约数 1和 a,则 称a是素数(或质数);否则称a为合数。,注:本书中若无特别说明,素数总是指正素数。,定理1 设a是大于1的整数,则,(1)a 除1外的最小正因数q是质数;,(2)若a是合数,则,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,46,求质数的方法,例1 求30以内的质数.,划去2、3、5的倍数,得到不能被2、3、5整除的数有,7、11、13、17、19、23、29.,所

    16、以30以内的质数有,2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.,该方法称为幼拉脱斯展纳筛法,利用该方法可以 构造质数表,祥见教材P17-18.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,47,分析:利用定理2反证即得.,注意:在推论中,若p不是质数,则结论不能成立。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,48,二、算术基本定理,定理3算术基本定理任一大于1的整数n能表示成 质数的乘积,且其分解的结果是唯一的不考虑次序.,即有: n = p1p2pm (1) 其中pi(1 i m)是素数.,证明 当n = 2时,结论显然成立。,由于2 d k,由归纳假定知存在素数q1, q2, ,

    17、 ql, 使得d = q1q2ql,从而k 1 = pq1q2ql。,假设对于2 n k,式(1)成立,下证式(1)对于 n = k 1也成立,,从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。,如果k 1是素数,式(1)显然成立。,若k 1是合数,则存在素数p与整数d,使得k 1 = pd。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,49,推论3.1标准分解式,推论3.2 a的正因数可以表示为a的分解式中的部分 因数的乘积。,推论3.3 设a,b是任意两个正整数,且,推论3.3是分解质因数方法求最大公因数和最小公倍数的依据。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,50,定理4 质数的个

    18、数是无穷的。,证:假设质数的个数有限,记为,所以存在质数p,所以,质数的个数是无穷的。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,51,例2 写出51480的标准分解式。,解:51480 = 225740,= 2212870,= 2351287,= 2353429,= 23532143,= 233251113。,= 236435,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,52,例3 证明:(a, b)a, b = ab.,其中p1, p2, , pk是互不相同的素数,,i,i(1 i k)都是非负整数。,(a, b)a, b =,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,53,2019/9/1

    19、0,阜阳师范学院 数科院,54,三、费马数及其他,费马数,尺规作图问题:,正n边形可尺规作图的充要条件是 n的最大单因数是不同的费马质数的乘积。 例如:正3、5、15、17边形等。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,55,证:(反证法),2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,56,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,57,1.5 函数x与x及其在数论中的应用,定义: 设x是实数,以x表示不超过x的最大整数,,称它为x的整数部分,称x = x x为x的小数部分.,一、函数x与x及其性质,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,58,定理1 对于x与x,有下列结论成立,2019

    20、/9/10,阜阳师范学院 数科院,59,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,60,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,61,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,62,二、函数x与x的一个应用,定理2 在n!的标准分解式中质因数,例1 求 20!分解式中质因数2的个数。,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,63,定理2的证明:,下面以15!为例说明.,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,64,考虑15!含有质因数2的个数.,在2,3,15中,含有1个因子2的数有4个;,2,6,10,14.,含有2个因子2的数有2个;,4,12.,含有3个因子2的数有1个;,8.,另一方面,能被2整除的有N1=4+2+1=7个;,能被4整除的有N2=2+1=3个;,能被8整除的有N3=1个;,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,65,例2 求12!的标准分解式。,解:12以内的质数有2,3,5,7,11.,其标准分解式中,各质因数的个数如下:,所以 12!的标准分解式为,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,66,推论2 贾宪数,证明:由定理2,对于任意的质数p,整数n!,k! 与(n k)!的标准分解式中所含的p的指数分别是,利用定理1(4)可知,2019/9/10,阜阳师范学院 数科院,67,

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