1、2014 年中考数学复习第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果 y= （a、b、c 是常数 a0）那么 y 叫做 x 的二次函数【名师提醒： 二次函数 y=kx 2+bx+c(a0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量 x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ，按 依次排列 2、强调二次项系数 a 0】二、二次函数的同象和性质：1、二次函数 y=kx 2+bx+c(a0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式 2、在抛物 y=kx 2+bx+c(a0)中：1、当 a0 时，y 口向 ，当 x- 2ba时，y 随 x 的增大而
2、 ，当 x 时，y 随 x 的增大而增大，2、当 a0 时，开口向 当 x-ba时，y 随 x 增大而增大，当 x 时，y 随 x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 顶点坐标 2、y= ax 2 +k，对称轴 顶点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 顶点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定顶点坐标 】三、二次函数同象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然 要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】四、二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则 a 0,向下则 a 0
3、 a越大，开口越 b:对称轴位置，与 a 联系一起，用 判断 b=0 时，对称轴是 c:与 y 轴的交点：交点在 y 轴正半轴上，则 c 0 负半轴上则 c 0，当 c=0 时，抛物点过 点【名师提醒：在抛物线 y= ax2+bx+c 中，当 x=1 时，y= 当 x=-1 时 y= ,经常根据对应的函数值判考 a+b+c 和 a-b+c 的符号】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例 1 （2012常州）已知二次函数 y=a（x-2） 2+c（a0） ，当自变量 x 分别取 2、3、0时，对应的函数值分别：y 1， y2，y 3， ，则 y1，y 2，y 3的大小关系正确的是（
4、 ）Ay 3y 2y 1 By 1y 2y 3 Cy 2y 1y 3 Dy 3y 1y 2 对 应训练1 （2012衢州）已知二次函数 y=x2-7x+ 5，若自变量 x 分别取 x1，x 2，x 3，且0x 1x 2x 3，则对应的函数值 y1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 2y 3 Cy 2y 3y 1 Dy 2y 3y 1 考点二：二次函数的图象和性质例 2 （2012咸宁）对于二次函数 y=x2-2mx-3，有下列说法：它的图象与 x 轴有两个公共点； 如果当 x1 时 y 随 x 的增大而减小，则 m=1；如果将它的图象向左平移 3 个单位后
5、过原点，则 m=-1；如果当 x=4 时的函数值与 x=2008 时的函数值相等，则当 x=2012 时的函数值为-3其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与 x 轴的交点对应训练2 （2012河北）如图，抛物线 y1=a（x+2） 2-3 与 y2= 1（x-3）2+1 交于点 A（1，3） ，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C则以下结论：无论 x 取何值，y 2的值总是正数；a=1；当 x=0 时，y 2-y1=4；2AB=3AC；其中正确结论是（ ） A B C D 2 题图 例 3 图 3 题图 例
6、 4 图考点三：抛物线的特征与 a、b、c 的关系例 3 （2012 玉林）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为 x=1，有如下结论：c1；2a+b=0；b 24ac；若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x 2，则x1+x2=2，则正确的结论是（ ）A B C D对应训练3 （2012重庆）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示对称轴为 x= 2下列结论中，正确的是（ ）Aabc0 Ba+b=0 C2b+c0 D4a+c2b 考点四：抛物线的平移例 4 （2012桂林）如图，把抛物线 y=x2沿直线 y=x 平移 2个单位后，其顶点在直线
7、上的 A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）Ay=（x+1） 2-1 By=（x+1） 2+1 Cy=（x-1） 2+1 Dy=（x-1） 2-1 对应训练4 （2012 南京）已知下列函数y=x 2；y=-x 2；y=（x-1） 2+2其中，图象通过平移可以得到函数 y=x2+2x-3 的图象的有 （填写所有正确选项的序号） 【备考真题过关】一、选择题1 （2012白银）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则函数值 y0 时 x 的取值范围是（ ）Ax-1 Bx3 C-1x3 Dx-1 或 x31 题图 2 题图 5 题图 6 题图2二次函数 y=ax2+bx+c（a0 ）的图象
8、如图所示，若|ax 2+bx+c|=k（k0）有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak-3 Bk-3 Ck3 Dk33 （2012德阳）设二次函数 y=x2+bx+c，当 x1 时，总有 y0，当 1x3 时，总有y0，那么 c 的取值范围是（ ） Ac=3 Bc3 C1c3 Dc34 （2012北海）已知二次函数 y=x2-4x+5 的顶点坐标为（ ）A （-2，-1） B （2，1） C （2，-1） D （-2，1）5 （2012广元）若二次函数 y=ax2+bx+a2-2（a、b 为常数）的图象如图，则 a 的值为（ ）A1 B C- D-26 （2012西宁）如同，二次函
9、数 y=ax2+bx+c 的图象过（1，1） 、 （2，1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ）A当 x=0 时，y 的值大于 1 B当 x=3 时，y 的值小于 0C当 x=1 时，y 的值大于 1 Dy 的最大值小于 07 （2012巴中）对于二次函数 y=2（x+1） （x-3） ，下列说法正确的是（ ）A图象的开口向下 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线 x=-1 8 （2012天门）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（-1，0） ， （3，0） 对于下列命题：
10、b-2a=0；abc0；a-2b+4c0；8a+c0其中正确的有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个8 题图 9 题图 13 题图 14 题图9 （2012乐山）二次函数 y=ax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0） 设 t=a+b+1，则 t 值的变化范围是（ ）A0t1 B0t2 C1t2 D-1t110 （2012扬州）将抛物线 y=x2+1 先向左平移 2 个单位，再向 下平移 3 个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）Ay=（x+2） 2+2 B y=（x+2） 2-2 Cy=（x-2） 2+2 Dy=（x-2） 2-211 （2012宿迁）在
11、平面直角坐标系中，若将抛物线 y=2x2-4x+3 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）来源:学_科_网 Z_X_X_KA （-2，3） B （-1，4） C （1，4） D （4，3）12在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-x-6 向上（下）或向左（右）平移 m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则 |m|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D6二、填空题13 （2012玉林）二次函数 y=-（x-2） 2+ 94的图象与 x 轴围成的封闭区域内（包括边界） ，横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用下面 的备
12、用图画出图象来分析） 14 （2012长春）在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x-3） 2+k 与 y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 15二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的对称轴是直线 x=1，其图象的一部分如图所示对于下列说法abc0：a-b+c0；3a+c0；当-1x3 时，y0其中正确的是 （把正确的序号都填上） 14 题图 20 题图16 （2012苏州）已知点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）在二次函数 y=（x-1） 2+1 的图象上，若x1x 21，则
13、（填“” 、 “”或“=” ） 16 （2012成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于 x 的一元二次方程 x2-2（a-1）x+a（a-3）=0 有两个不相等的实数根，且以 x为自变量的二次函数 y=x2-（a 2+1）x-a+2 的图象不经过点（1，0）的概率是 17 （2012上海）将抛物线 y=x2+x 向下平移 2 个单位 ，所得抛物线的表达式是 18把二次函数 y=（x-1） 2+2 的图象绕原点旋转 180后得到的图象的解析式为 19 （2012贵港）
14、若直线 y=m（m 为常数）与函数 y= 的图象恒有三个不同的交点，则常数 m 的取值范围是 20如图，把抛物线 y= 12x2平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（-6，0）和原点O（0，0） ，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= 12x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 三、解答题21 （2012柳州）已知：抛物线 y= 34（x-1） 2-3（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数 y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与 y 轴的交点为 P，与 x 轴的交点为 Q，求直线 PQ 的函数解析式22 （2012佛山）规律是数学研究的重要内容之一初
15、中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数 a 用整数 n 表示的式子；（2）写出有理数 b 用整数 m 和整数 n 表示的式子；（3）函数的研究中，应关注 y 随 x 变 化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律） 下面对函数 y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi 0 1 2 3 4 5 yi 0 1 4 9 16 25 来源:学|科|网yi+1y i 1 3 5 7 9 11 由表看出，当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时，y 的值依次增加 1，3，5请回答：当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值变化规律是什么？当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值变化规律是什么？
