统计假设检验中小概率原理的辨析_吴启富.pdf

1、统计与决策 1 2 年第 17 期 总第 365 期 统计假设检验中小概率原理的辨析 吴启富 ， 张玉春 （ 首都经济贸易大学 统计学院 ， 北京 100070 ） 摘 要 ： 假 设 检 验 是 统 计 学 的 核 心 内 容 之 一 ， 其 基 本 逻 辑 就 是 小 概 率 原 理 ， 文 章 从 观 察 数 据 与 原 假 设 的 差 异与相应概率的联系分析中， 阐述了统计假设检验的小概率原理， 揭示了假设检验的内在方法论基础 。 关键词 ： 假设检验 ； 差异 ； 小概率原理 中图分类号： O 211 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1002 - 6487 （ 2012 ） 17

2、- 0070 - 02 作者简介： 吴启富 （1966- ） ， 山西汾阳人， 硕士 ， 教授， 研究方向： 统计基本理论 、 社会统计。 张玉春 （1974- ） ， 山西灵丘人 ， 博士， 副教授， 研究方向： 统计基本理论 、 金融工程。 0 引言 统 计 假 设 检 验 是 经 典 统 计 学 的 核 心 内 容 ， 也 是 现 代 统 计 学 各 种 方 法 的 基 础 ， 广 泛 应 用 在 医 药 、 工 程 、 经 济 学 等 众 多 领 域 。 但 其 哲 学 方 法 论 基 础 和 数 学 原 理 是 人 们 理 解 该 方 法 的 难 以 逾 越 的 门 槛 ， 使 得

3、统 计 假 设 检 验 成 为 学 习 概 率 论 与 数 理 统 计 课 程 的 难 点 之 一 ， 对 其 基 本 思 想 的 不 正 确 理 解 ， 造 成 许 多 统 计 方 法 的 滥 用 。 本 文 将 重 点 从 假 设 检 验 的 基本逻辑角度分析其小概率原理 。 对 于 假 设 检 验 的 研 究 是 统 计 教 学 研 究 的 重 点 内 容 之 一 。 但 更 多 的 学 者 是 从 检 验 假 设 的 建 立 或 针 对 检 验 中 的 两 类 错 误 等 展 开 研 究 ， 如 王 静 等 分 析 了 原 假 设 与 备 择 假 设 的 辩 证 关 系 ， 杨 少 华

4、 等 研 究 了 原 假 设 与 备 择 假 设 的 交 换 问 题 ， 甘 伦 知 探 讨 了 第 二 类 错 误 的 控 制 问 题 。 樊 明 智 等 则 从 区 间 估 计 角 度 分 析 了 假 设 建 立 的 方 法 。 而 对 于 假 设 检 验 中 最 基 本 的 小 概 率 原 理 探 讨 比 较 少 ， 从 仅 有 的 文 献 看 多 是 从 具 体 应 用 方 面 或 公 式 验 证 角 度 分 析 ， 如 史 智 才 等 从 经 济 学 角 度 分 析 了 小 概 率 事 件 的 收 敛 性 ， 徐 波 研 究 了 小 概 率 事 件的概率分布 。 从 现 有 统 计

5、学 教 材 看 ， 大 多 侧 重 于 假 设 检 验 的 操 作 和 检 验 结 果 的 正 确 理 解 方 面 。 如 国 内 比 较 通 用 的 贾 俊 平 编 著 的 统 计 学 主 要 介 绍 了 假 设 的 建 立 、 统 计 量 的 计 算 和 软 件 的 操 作 。 另 一 本 常 用 教 材 吴 喜 之 编 著 的 统 计 学 ： 从 数 据 到 结 论 在 简 要 介 绍 了 假 设 检 验 的 基 本 逻 辑 之 后 ， 主 要 讲 解 了 各 种 情 况 的 软 件 操 作 ， 而 对 统 计 假 设 检 验 的 最 基 本 原 理 小 概 率 原 理 论 述 不 够

6、深 入 。 本 文 主 要 结 合 笔 者 多 年 统 计 学 教 学 体 会 从 样 本 观 察 数 据 与 原 假 设 之 差 异 及 其 对 应 概 率 的 联 系 方 面 讨 论 统 计 假 设 检 验 的 小 概 率 原 理。 1 小概率的本质含义 统 计 假 设 检 验 就 是 针 对 所 研 究 的 问 题 ， 提 出 一 个 “ 命 题 ” 或 曰 “ 假 设 ” ， 然 后 抽 取 样 本 ， 观 察 样 本 数 据 与 所 提 出 的 假 设 的 不 一 致 程 度 ， 如 果 二 者 相 差 甚 远 ， 即 二 者 差 异 已 经 达 到 “ 足 够 大 ” 的 程 度

7、， 就 说 明 原 来 提 出 的 假 设 是 不 成 立 的 。 这 种 判 断 假 设 真 伪 的 思 路 实 际 上 就 是 我 们 要 探 讨 的 “ 小概率原理” 。 所 谓 “ 小 概 率 原 理 ” 就 是 某 个 事 件 如 果 在 随 机 试 验 中 发 生 的 概 率 很 小 ， 那 么 该 事 件 在 一 次 随 机 试 验 中 是 不 应 该 出 现 的 （ 本 应 该 说 出 现 的 概 率 很 小 ， 但 如 果 小 到 一 定 程 度 ， 就可以说在很大程度上是不会发生的 ） 。 利 用 小 概 率 原 理 来 判 断 是 否 应 该 拒 绝 所 提 出 的 假

8、设 即 原 假 设 ， 主 要 在 于 判 断 所 抽 取 的 样 本 数 据 与 原 假 设 的 差 异 是 否 足 够 大 ， 对 于 二 者 差 异 大 小 的 判 断 有 两 个 表 象 不 同 但本质一致的尺度 ： 统计量和概率 。 统 计 量 是 由 随 机 抽 样 所 得 的 样 本 数 据 构 造 的 函 数 ， 可 以 测 度 来 自 某 总 体 的 样 本 长 远 而 稳 定 的 信 息 ， 如 样 本 均 值 、 样 本 方 差 、 样 本 比 率 等 ， 以 及 在 此 基 础 上 构 造 的 t 、 2 、 F 等 统 计 量 。 统 计 量 是 由 样 本 数 据

9、构 造 的 ， 而 样 本 数 据 是 随 机 抽 取 的 ， 所 以 样 本 数 据 是 不 确 定 的 、 随 机 的 ， 由 其 计 算 所 得 的 统 计 量 也 就 是 随 机 的 。 而 总 体 参 数 是 确 定 但 未 知 的 ， 假 设 的 命 题 即 原 假 设 中 关 于 总 体 参 数 的 假 定 是 确 定 而 且 明 确 的 ， 一 般 来 讲 二 者 是 不 一 致 的 。 造 成 样 本 统 计 量 数 值 与 假 定 的 总 体 参 数 数 值 不 一 致 的 原 因 有 两 个 ： 随 机 差 异 和 条 件 差 异 。 不 同 的 原 因 产 生 的 差

10、异 程 度 不 同 ， 一 般 情 况 下 ， 随 机 差 异 经 常 存 在 ， 但 差 异 程 度 不 大 ， 条 件 差 异 不 一 定 存 在 ， 但 一 旦 存 在 ， 造 成 的 差 异 就 会 比 较 大 。 所 以 ， 统 计 量 数 值 与 假 定 总 体 参 数 数 值 差 异 较 小 时 ， 不 能 判 定 原 假 设 有 错 （ 注 意 不 是 说 判 定 原 假 设 是 对 的 ） ， 如 果 二 者 差 异 较 大 ， 说 明 除 随 机 差 异 外 还 有 其 他 原 因 造 成 的 条 件 差 异 ， 即 说 明 原 来 的 假 定 存 在 问 题 ， 也 就

11、是 说 根 据 样 本 数 据 可 以 否定原假设 。 但 是 直 接 根 据 统 计 量 的 数 值 与 原 假 设 中 假 定 的 总 体 参 数 的 数 值 比 较 ， 很 难 断 定 差 异 的 程 度 大 小 ， 比 如 推 断 某 方 法 应 用 70统计与决策 1 2 年第 17 期 总第 365 期 次 学 生 考 试 的 平 均 成 绩 ， 提 出 原 假 设 ： = 8 0 。 为 了 验 证 该 假 设 是 否 确 实 ， 随 机 抽 取 36 名 学 生 的 考 试 成 绩 ， 计 算 的 平 均 成 绩 为 70 分 ， 二 者 相 差 10 分 ， 这 10 分 的

12、 差 异 算 不 算 大呢？这就需要借助概率来分析 。 在 正 常 条 件 下 ， 即 原 假 设 成 立 的 前 提 下 ， 样 本 统 计 量 与 总 体 参 数 之 间 的 差 异 比 较 小 ， 即 该 差 异 较 小 的 概 率 较 大 ， 而 该 差 异 较 大 的 概 率 很 小 ， 也 就 是 说 在 一 次 试 验 中 ， 样 本 统 计 量 与 假 定 的 总 体 参 数 的 差 异 如 果 较 大 ， 则 说 明 产 生 差 异 的 原 因 不 只 是 随 机 因 素 ， 应 该 还 有 其 他 原 因 。 但 这 种 判 断 不 是 绝 对 正 确 ， 有 可 能 是

13、错 误 的 。 犯 这 种 错 误 的 可 能 性 大 小 取 决 于 事 先 规 定 的 小 概 率 事 件 “ 小 ” 的 程 度 。 这 种 判 断 小 概 率 的 标 准 就 是 统 计 假 设 检 验 中 所 谓 的 显 著 性 水 平 。 这 种 显 著 性 水 平 就 为 我 们 判 定 差 异 的 大 小 提 供 了 标 准 。 这 样 就 产 生 了 判 断 差 异 大 小 的 第 二 个 尺 度 概 率 。 如 果 在 原 假 设 成 立 的 前 提 下 计 算 的 出 现 样 本 数 据 的 概 率 （ 即 统 计 检 验 中 所 谓 的 P 值 ） 小 于 所 规 定

14、的 显 著 性 水 平 （ 一 般 用 表 示 ） ， 即 P ， 表 明 在 原 假 设 成 立 的 前 提 下 ， 出 现 样 本 这 种 情 况 是 很 正 常 的 ， 二 者 的 差 异 仅 仅 是 由 于 随 机 原 因 产 生 的 ， 样 本 数 据 不 足 以 否 定 原 假 设 ， 我 们 不 能 说 原 假 设 是 错 的 。 差 异 大 小 与 相应概率的关系如下图所示 ： 在 实 际 抽 样 中 ， 我 们 抽 到 的 是 对 客 观 现 象 度 量 的 客 观 数 据 ， 如 上 例 所 说 的 考 试 分 数 ， 或 者 其 他 的 如 重 量 （ 千 克 ） 、 距

15、 离 （ cm ） 等 等 ， 并 不 是 概 率 。 为 了 将 观 察 到 的 数 据 即 统 计 量 的 数 值 转 换 成 能 够 判 断 差 异 大 小 的 概 率 ， 需 要 将 其 标 准 化 ， 如 上 例 学 生 考 试 的 成 绩 ， 我 们 假 定 总 体 平 均 成 绩 为 80 分 ， 而 抽 样 的 样 本 平 均 成 绩 为 70 分 ， 二 者 相 差 10 分 ， 如 果 原 假 设 是 正 确 的 ， 那 么 样 本 均 值 离 开 总 体 均 值 达 到 10 分 及 10 以 上 差 距 的 概 率 多 大 呢 ？ 为 求 其 概 率 ， 我 们 首 先

16、 要将该差异标准化 ， 即 ： z = | | x - 0 n 其 中 ， x 为 样 本 均 值 ， 即 x = 7 0 ; 0 为 假 定 的 总 体 均 值 ， 即 0 = 8 0 ; n 为 样 本 容 量 ， 即 n = 3 6 ; 为 总 体 数 据 的 标 准 差 ， 若 未 知 时 可 用 样 本 标 准 差 s 替 代 。 如 果 假 设 s = 3 0 ， 则 ： z = | | x - 0 n = | | 7 0 - 8 0 3 0 3 6 = 2 由 抽 样 分 布 的 知 识 可 知 z 为 服 从 标 准 正 态 分 布 的 统 计量， 即 z N ( 0 , 2

17、n ) ， 由此可知 ： p ( | | z 2 ) = p ( z 2 ) + p ( z - 2 ) = 1 - 9 5 . 4 5 % = 4 . 5 5 % 上 式 表 明 ， 样 本 均 值 离 开 总 体 均 值 的 距 离 达 到 或 超 过 10 分 的 概 率 仅 为 4 . 55 % ， 也 就 是 说 如 果 总 体 均 值 确 实 是 80 分 的 话 ， 我 们 重 复 抽 取 100 个 样 本 ， 仅 有 4 到 5 个 样 本 的 均 值 会 达 到 相 差 10 分 的 程 度 。 如 果 我 们 规 定 5 % 为 小 概 率 的 标 准 ， 那 么 4 .

18、 55 % 就 为 小 概 率 ， 据 此 我 们 就 可 以 说 如 果 原 假 设 正 确 ， 即 总 体 均 值 确 实 为 80 分 ， 出 现 这 样 的 样 本 是 小 概 率 事 件 ， 在 一 次 抽 样 中 是 不 应 该 出 现 的 ， 但 现 实 是 我 们 确 实 抽 到 了 这 样 的 样 本 ， 在 此 情 况 下 ， 我 们 是 相 信 原 先 的 假 定 呢 ， 还 是 相 信 眼 前 的 事 实 呢 ？ 很 显 然 我 们 只 能 相 信 事 实 ， 即 认 为 原 先 的 假 定 是 不 成 立 的 ， 理 所 当 然 做 出 否 定 原假设的结论 。 2

19、结论 综 上 所 述 ， 假 设 检 验 的 依 据 是 小 概 率 原 理 ， 其 具 体 判 断 方 法 有 两 种 ： 一 是 直 接 根 据 样 本 观 测 值 与 假 设 之 间 的 距 离 大 小 判 断 ， 距 离 越 大 ， 拒 绝 原 假 设 的 理 由 越 充 分 ； 二 是 将 二 者 之 间 的 距 离 转 换 成 概 率 来 判 断 ， 概 率 越 小 ， 拒 绝 原 假 设的理由越充分 。 那 么 根 据 样 本 数 据 我 们 否 定 原 假 设 是 不 是 100 % 的 正 确 呢 ？ 不 是 ， 因 为 正 如 上 文 所 言 ， 样 本 数 据 是 随 机

20、 抽 取 的 ， 是 不 确 定 的 ， 有 其 偶 然 性 。 即 即 使 关 于 总 体 参 数 的 原 假 设 是 正 确 的 ， 远 离 其 假 定 值 的 样 本 数 据 也 有 可 能 出 现 ， 只 不 过 是 在 一 次 抽 样 中 出 现 的 可 能 性 很 小 ， 我 们 根 据 样 本 数 据 做 出 拒 绝 原 假 设 的 结 论 是 有 可 能 犯 错 误 的 ， 但 犯 这 种 错 误 的 概 率 很 小 ， 小 到 我 们 所 认 为 的 “ 小 的 程 度 ” 。 如 果 出 现 了 小 概 率 事 件 而 我 们 不 拒 绝 原 假 设 ， 那 么 犯 错 误

21、 的 概 率 就 会 很 大 ， 两 害 相 权 取 其 轻 ， 我 们 自 然 会 选 择 拒 绝 原 假 设 的 结 论 。 由 此 也 可 以 发 现 ， 对 于 统 计 检 验 的 结 论 ， 只 有 在 概 率 的意义上是成立的 ， 不能教条地理解 ， 要灵活的应用。 参考文献 ： 1 王静, 史济洲. 设立原假设中的辩证分析J. 统计研究,2010,(6). 2 杨 少 华, 杨 林 涛. 参 数 假 设 检 验 中 原 假 设 与 备 择 假 设 的 交 换 问 题J. 统计与决策,2009,(5). 3 甘 伦 知. 假 设 检 验 中 控 制 第 二 类 错 误 的 探 讨J

22、. 统 计 与 决 策,2011, (22). 4 樊明智, 王芬玲. 区间估计与假设检验J. 统计与决策,2006,(12). 5 史智才, 肖诗顺. 基于小概率事件的方法论J. 统计与决策,2012,(1). 6 徐 波. 假 设 检 验 中 的 小 概 率 事 件J. 黔 西 南 民 族 师 范 高 等 专 科 学 校 学报,2009,(3) 7 贾俊平. 统计学 （ 第3 版 ） M. 北京 ： 中国人民大学出版社 ， 2008. 6 吴 喜 之. 统 计 学 ： 从 数 据 到 结 论 （ 第2 版 ） M. 北 京 ： 中 国 统 计 出 版 社， 2006. （ 责任编辑/ 亦 民 ） 方 法 应 用 71