1、振 动 与 冲 击第 25卷 第 3期 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK Vol. 25 No. 3 2006 希 尔 伯 特 2黄 变 换 的 统 一 理 论 依 据 研 究 33 基 金 项 目 : 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (No. 50275154) ,重 庆 交 通 学 院 博 士 基 金 资 助 项 目收 稿 日 期 : 2005204221 修 改 稿 收 到 日 期 : 2005207215第 一 作 者 钟 佑 明 男 ,博 士 ,副 教 授 , 1970年 8月 生钟 佑 明 1, 2 秦 树 人 3(1.重 庆 交 通
2、学 院 计 算 机 与 信 息 学 院 ,重 庆 400074; 2. 重 庆 大 学 博 士 后 流 动 站 ,重 庆 400030;3. 重 庆 大 学 机 械 学 院 测 试 中 心 ,重 庆 400030)摘 要 希 尔 伯 特 2黄 变 换 (HHT)是 上 世 纪 末 出 现 的 一 种 分 析 非 线 性 、 非 平 稳 信 号 的 有 效 新 方 法 ,但 其 理 论 依 据 还不 太 明 朗 ,尤 其 缺 乏 统 一 理 论 依 据 。 从 分 析 HHT的 基 本 模 式 函 数 ( IMF)定 义 入 手 ,在 H ilbert变 换 的 Bedrosian乘 积 定 理
3、基 础 上 提 出 了 H ilbert变 换 的 局 部 乘 积 定 理 ,采 用 理 论 推 导 和 物 理 意 义 分 析 相 结 合 的 方 法 对 其 进 行 了 论 证 。 然 后 应 用 这一 定 理 对 HHT中 的 IMF定 义 、 瞬 时 频 率 计 算 公 式 、 经 验 模 式 分 解 ( EMD)方 法 及 其 收 敛 性 等 问 题 给 出 了 统 一 解 释 ,从 而 初步 为 HHT提 供 了 一 个 统 一 理 论 依 据 。关 键 词 : 希 尔 伯 特 2黄 变 换 ,统 一 理 论 依 据 ,局 部 乘 积 定 理 ,经 验 模 式 分 解中 图 分 类
4、 号 : TH115 文 献 标 识 码 : A0 引 言希 尔 伯 特 2黄 变 换 ( H ilbert2Huang Transform,简 称HHT)是 美 国 科 学 家 N. E. Huang等 人 于 1998年 提 出 的又 一 种 分 析 非 线 性 、 非 平 稳 信 号 的 新 方 法 1 。 目 前 发现 它 在 机 械 、 交 通 、 海 洋 、 医 学 、 电 力 等 许 多 领 域 都 具 有很 高 应 用 价 值 226 。 但 其 理 论 依 据 还 不 太 明 朗 ,尤 其 还缺 乏 统 一 理 论 依 据 ,使 其 在 应 用 中 效 果 不 是 很 稳 定
5、 ,影响 着 其 发 展 和 应 用 。1 HHT的 主 要 内 容非 线 性 、 非 平 稳 信 号 分 析 的 主 要 目 的 是 揭 示 信 号频 率 的 时 变 规 律 。 这 种 规 律 虽 然 目 前 可 以 通 过 短 时 傅立 叶 变 换 、 W igner2V ille分 布 、 小 波 变 换 等 时 频 分 析 法 进行 分 析 ,但 这 些 方 法 都 是 通 过 幅 值 谱 来 展 示 频 率 变 化规 律 的 ,都 是 以 傅 立 叶 变 换 (简 称 FT)为 最 终 理 论 依据 ,因 而 不 可 避 免 地 会 遭 受 FT分 析 非 线 性 、 非 平 稳
6、信号 的 缺 陷 ,如 出 现 虚 假 频 率 1 ,因 此 只 能 粗 略 揭 示 信 号的 频 率 变 化 规 律 。 正 是 在 这 一 背 景 下 , N. E. Huang等人 创 造 性 地 提 出 了 基 本 模 式 函 数 ( Intrinsic Mode Func2tion,简 称 IMF)概 念 和 经 验 模 式 分 解 ( Emp irical ModeDecomposition, 简 称 EMD)方 法 ,从 而 发 明 了 HHT。 这是 一 种 以 瞬 时 频 率 为 核 心 概 念 的 方 法 ,理 论 上 能 精 确给 出 信 号 中 频 率 随 时 间 变
7、化 的 规 律 ,避 免 虚 假 频 率 等冗 余 现 象 。HHT假 设 任 何 信 号 都 由 基 本 信 号 IMF组 成 , IMF相 互 重 叠 便 形 成 复 合 信 号 。 其 中 IMF定 义 为 满 足 以 下两 个 条 件 的 信 号 : a. 整 个 信 号 中 零 点 数 与 极 点 数 至 多相 差 1; b. 信 号 上 任 意 一 点 ,由 局 部 极 大 值 点 和 局 部 极小 值 点 分 别 确 定 的 上 、 下 包 络 线 均 值 为 零 ,即 信 号 关 于时 间 轴 局 部 对 称 ,如 图 1所 示 。图 1 一 个 IMFN. E. Huang等
8、 人 认 为 , IMF是 瞬 时 频 率 唯 一 的 信号 ,且 其 瞬 时 频 率 可 以 通 过 H ilbert变 换 (简 称 HT)计算 。 即 假 设 c ( t)是 一 个 IMF,对 c ( t)作 HT得H c ( t) = c ( t) 3 1 t = P. V. 2c ( t2 ) d (1)其 中 P. V. 表 示 柯 西 主 值 积 分 。 于 是 c ( t)的 解 析 信 号z ( t) = c ( t) + jH c ( t) (2)根 据 解 析 信 号 , c ( t)可 以 表 示 成c ( t) = a ( t) cos f0 时a ( f) = 0
9、;当 | f | f0 时 , q ( f) = 0,那 么 有H c ( t) = H a ( t) cos ( t) = a ( t) H cos ( t) = a ( t) sin ( t)(10)z ( t) = s ( t) + jH s ( t) = a ( t) cos ( t) + ja ( t) sin ( t)= a ( t) ej ( t) (11)式 (10)和 (11)表 明 :对 形 如 式 ( 3)的 实 信 号 c ( t) ,当 它 满 足 频 带 不 相 交 条 件 时 ,其 a ( t) , ( t)正 好 分 别是 解 析 信 号 z ( t)的 包 络
10、 信 号 和 相 位 函 数 ,因 而 对 其 应用 公 式 (6)计 算 出 的 瞬 时 频 率 具 有 合 理 物 理 意 义 。 这说 明 IMF定 义 与 HT的 Bedrosian乘 积 定 理 确 有 某 种联 系 。213 HT局 部 乘 积 定 理 的 提 出 和 论 证由 前 述 可 知 ,如 果 实 信 号 c ( t)满 足 频 带 不 相 交 条件 ,则 式 (10)成 立 ,从 而 应 用 公 式 (6)计 算 出 的 瞬 时 频率 具 有 合 理 物 理 意 义 。 但 这 里 的 频 带 不 相 交 是 指 全 局频 带 不 相 交 ,这 种 全 局 性 条 件
11、使 得 对 一 般 的 IMF应 用公 式 (6)总 能 得 到 合 理 结 果 以 及 EMD的 正 确 性 均 难 以得 到 解 释 。 但 注 意 到 频 带 不 相 交 只 是 式 (10)成 立 的 充分 条 件 ,而 不 是 必 要 条 件 ,因 此 式 (10)有 可 能 在 更 宽 松的 条 件 下 也 成 立 。 作 者 经 过 研 究 发 现 :在 一 定 的 误 差范 围 内 ,只 需 当 c ( t)在 任 意 局 部 范 围 内 满 足 频 带 不 相交 ,式 ( 10 ) 就 能 成 立 。 这 一 结 论 称 为 H ilbert变 换(HT)的 局 部 乘 积
12、定 理 ,它 包 括 两 方 面 的 含 义 : (1)在 一定 误 差 范 围 内 ,若 c ( t)在 某 一 局 部 范 围 内 满 足 频 带 不相 交 条 件 ,则 式 (10)在 该 局 部 范 围 内 成 立 ; ( 2)在 一 定误 差 范 围 内 ,若 c ( t)在 考 察 区 间 内 任 一 局 部 范 围 内 均满 足 频 带 不 相 交 条 件 ,则 在 整 个 考 察 区 间 上 应 用 HT式(10)成 立 。这 一 定 理 目 前 还 难 严 格 证 明 ,但 可 以 粗 略 证 明 。首 先 证 明 在 一 定 误 差 范 围 内 , c ( t)在 任 一
13、时 刻 的HT值 c ( )仅 与 其 有 限 邻 域 内 的 信 号 有 关 。据 式 (1) , c ( )是 乘 积 积 分 ,如 图 2所 示 ,其 中h ( t) = 1 / ( t) (12)由 此 可 知 ,假 设 对 给 定 某 小 数 ,当 | h ( t) | 时 认 为 h( t) = 0,则 c ( )仅 与 有 限 邻 域 | 2t| F 1 / ( )内 的 信 号数 据 有 关 。图 2 时 刻 的 希 尔 伯 特 变 换 值现 在 证 明 定 理 的 两 个 结 论 。 由 刚 才 证 明 ,在 一 定的 误 差 范 围 c ( )仅 与 其 有 限 邻 域 内
14、 的 信 号 有 关 ,因 此14第 3期 钟 佑 明 等 : 希 尔 伯 特 2黄 变 换 的 统 一 理 论 依 据 研 究只 要 在 此 范 围 内 c ( t)满 足 频 带 不 相 交 条 件 ,对 时 刻 式 (10)成 立 。 同 样 ,在 另 外 任 意 时 刻 1 ,只 要 在 其 局 部范 围 内 , c ( t)满 足 频 带 不 相 交 条 件 ,对 1 式 ( 10)也 成立 。 而 由 c ( ) = 2 c( t) h ( 2t) d t , c ( ) = 2 c( t) h ( 1 2t) d t可 知 : c ( )与 c ( 1 )的 值 并 不 会 相
15、互 影 响 ,又c ( t)在 任 意 时 刻 的 HT值 也 是 唯 一 的 。 因 此 ,只 要 在考 察 区 间 内 的 任 一 时 刻 的 局 部 范 围 内 c ( t)均 满 足 频 带不 相 交 条 件 ,则 在 整 个 考 察 区 间 上 应 用 HT,式 (10)成立 。 证 毕 。下 面 以 信 号 c ( t) = a ( t) b ( t)为 例 说 明 以 上 定 理的 正 确 性 ,其 中 a ( t) = 5 3 sin ( 2 0. 4 t2 ) + 2. 0 ,b ( t) = sin 2 ( 0. 2 t + t2 ) 。 其 波 形 和 包 络 如 图 3
16、( a)所 示 。 c ( t)在 整 个 时 间 轴 上 局 部 对 称 ,其 理 论 瞬 时频 率 和 通 过 公 式 (6)求 得 的 瞬 时 频 率 及 两 者 之 间 的 误 差分 别 如 图 3 ( b)、 ( c)、 (d)所 示 。 由 图 可 知 ,除 边 界 外 ,在采 样 点 1 000 9 000之 间 误 差 几 乎 为 零 。 再 观 察 信 号b ( t)和 信 号 a ( t)在 采 样 点 1 000 9 000区 间 上 的 傅 里叶 频 谱 (分 别 如 图 3 ( e)、 ( f)所 示 ,频 带 明 显 相 交 ,因 而即 使 在 采 样 点 1 00
17、0 9 000区 间 上 信 号 c ( t)也 不 满 足频 带 不 相 交 的 条 件 。 但 分 析 a ( t)与 b ( t)的 理 论 瞬 时 频率 变 化 (分 别 为 2 0. 4 t, 0. 2 + 2 t) ,可 以 估 计 信 号 c ( t)在 采 样 点 1 000 9 000区 间 上 任 意 一 点 的 局 部 满 足 频带 不 相 交 条 件 。 事 实 上 通 过 计 算 机 计 算 容 易 验 证 这 一估 计 。 以 考 察 信 号 c ( t)在 采 样 点 9 000的 邻 域 (采 样 点8 000 10 000区 间 )为 例 ,傅 里 叶 频 谱
18、 分 别 如 图 3 ( g)、( h)所 示 ,可 见 ,除 由 于 矩 形 窗 截 断 产 生 的 能 量 泄 漏 因素 外 ,可 以 认 为 c ( t)基 本 满 足 不 相 交 条 件 。 而 当 采 样点 位 于 8000 10000之 外 时 ,式 ( 13)中 的 | h ( t) | 0.16,这 相 对 于 h ( t)在 原 点 附 近 的 值 基 本 上 可 以 忽 略 不计 。 由 此 验 证 了 HT局 部 乘 积 定 理 的 正 确 性 。图 3 H ilbert变 换 的 局 部 乘 积 定 理 的 验 证214 局 部 乘 积 定 理 对 IMF定 义 的 解
19、 释需 指 出 的 是 ,由 于 对 任 意 实 数 a, 2 1 /( t) d t =2 , a1 / ( t) d t = ,因 此 在 式 (16)中 ,并 不 是 任 何时 候 都 能 假 设 当 h ( t) 时 h ( t) = 0。 要 使 这 样 的 假设 成 立 的 前 提 条 件 是 21 /2 c( t) h ( 2t) d t 0 且 +1 / c ( t) h ( 2t) d t 0不 难 理 解 , Huang等 人 定 义 的 IMF的 两 个 条 件 使其 容 易 满 足 以 上 条 件 ,从 而 对 一 般 的 IMF应 用 式 (6)总能 得 到 合 理
20、结 果 。 因 此 Huang等 人 定 义 IMF的 理 论 依据 正 是 HT的 局 部 乘 积 定 理 。3 局 部 定 理 对 EMD正 确 性 及 收 敛 性 的 解 释考 察 实 信 号 s ( t)的 一 个 EMD局 部 分 解 情 况 ,如 图4所 示 。 将 图 中 的 时 刻 tC 作 为 考 察 对 象 ,由 图 可 以 看出 ,在 tC 的 局 部 范 围 tA tB 内 ,信 号 s ( t)振 动 了 两 次 ,而 包 络 线 e+ ( t)和 e2 ( t) 均 只 振 动 了 不 到 一 次 。 将s ( t)、 e+ ( t)和 e2 ( t)同 时 减 去
21、 均 值 曲 线 m ( t) = e+ ( t)+ e2 ( t) /2所 得 信 号 c ( t) (即 IMF分 量 或 其 近 似 )以及 其 上 、 下 包 络 线 e+ ( t)和 e2 ( t)也 有 几 乎 相 同 的 振 动情 况 ,因 此 可 以 认 为 , c ( t)在 时 刻 tC 的 局 部 满 足 频 带 不相 交 条 件 。 由 于 tC 的 任 意 性 ,可 以 认 为 c ( t)在 时 间 轴上 的 任 意 时 刻 均 满 足 频 带 不 相 交 条 件 。 又 EMD显 然保 证 了 c ( t)在 整 个 时 间 轴 上 局 部 对 称 ,因 此 ,根
22、 据 HT24 振 动 与 冲 击 2006年 第 25卷局 部 乘 积 定 理 ,用 EMD分 解 出 的 IMF分 量 对 式 ( 10)均 成 立 ,这 就 说 明 了 EMD的 正 确 性 。图 4还 说 明 ,在 时 刻 tC ,均 值 曲 线 m ( t)中 的 频 率 均小 于 c ( t)的 频 率 即 m ( t)所 包 含 的 尺 度 均 大 于 c ( t)的尺 度 ,而 下 一 个 IMF分 量 设 为 c ( t) 是 从 m ( t)中 分离 出 来 的 ,因 此 其 在 时 刻 tC 的 频 率 小 于 c ( t)的 频 率 ,即EMD具 有 多 分 辨 性 和
23、 频 率 递 减 性 。 而 频 率 的 下 界 为零 ,因 此 EMD收 敛 。图 4 EMD对 信 号 的 局 部 分 解4 结 论初 步 提 出 并 论 证 了 HHT的 统 一 理 论 依 据 HT局 部 乘 积 定 理 ,用 该 定 理 对 HHT中 的 IMF定 义 、 瞬 时频 率 计 算 公 式 、 EMD方 法 及 其 收 敛 性 等 问 题 给 出 了 粗略 的 统 一 解 释 。参 考 文 献1 Huang N E et al. The emp irical mode decomposition and the H il2bert spectrum for nonline
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36、变 换 的 统 一 理 论 依 据 研 究DY NAM IC CHARACTER IST ICS AND APPL ICAT IO N RANGE O F FBG STRA IN SENSO RSu L i L i Hongnan Zhu Tong Ren L iang D ong Rubo( School of Civil and Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024)Abstract this paper investigates dynam ic characteristics of a
37、 Fiber B ragg Grating ( FBG) strain sensor by analyzingtransm it course of strain waves, and gives the lag time for strain waves to transfer to bare FBG. The highest working fre2quency of FBG is also estimated. The result shows that the FBG strain sensor is app licable to the measurement of low fre2
38、quency vibration in engineering. In the end, FBG strain sensors are sticked on an offshore p ipeline model for a shake tabletest and the result shows their good capability in monitoring dynam ic characteristics of vibration system s with low frequen2cy.Key words: FBG ( Fiber B ragg Grating) , strain
39、 sensor, dynam ic characteristics, measurement of dynam ic strain,test frequency, shake table testO RD ER RED UCT IO N FO R STRUCTURAL DY NAM IC MOD ELUS ING MODAL VAL UE ANALY S ISW ang Feng Tang Guojin L i D aokui( School of Aerospace and Material Engineering, National University of Defense Techno
40、logy, Changsha 410073)Abstract A modal value analysis method is p resented to obtain a reduced2order dynam ic model with modal coordi2nates for structures with small damp ing or without damp ing. Giving the full order dynam ic model or a structural system,modal analysis is carrid out firstrly. Net,
41、the value of each mode is calculated using modal parameters and input and out2put matries. Finally, the modal vectors with relative high value are selected to form a transformation matrix used in modelreduction. Two examp les are given to show that order reduction technique based on modal value anal
42、ysis method is superi2or to the common technique which simp ly selects the modal vecors associated with the lower modal frequencies.Key words: structural dynam ics, model order reduction, modal value analysisRESEARCH O N THE UN IFO RM THEO RET ICAL BAS IS FO RH IL BERT2HUANG TRANSFO RM ( HHT)Zhong Y
43、oum ing1, 2 Q in Shuren3(1. Department of Computer 2. Postdoctoral station of Chongqing University, Chongqing 400030;3. Test Center, school ofMechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030)Abstract H ilbert Huang transform (HHT) is a new effective method developed at the end of last
44、century for analy2zing nonlinear and non2statgionary signal. However, its theoretical basis is not clear until now, especially it is short of itsuniform theoretical basis. Starting from analyzing the definition of Intrinsic Mode Function ( IMF) of HHT, this paper p res2ents a local p roduct theorem
45、of H ilbert Transform based on its Bedrosian p roduct theorem. The theorem is p roved in theway of combining theoretica deduction and physical meaning analysis. Some p roblem s such as the definition of IMF, theformula for calculating instantaneous frequency, Method of Emp ircal Mode Decomposition ( EMD ) and its convergencep roperty are congruously exp lained by this theorem. Thus a p rimary uniform theoretical basis is p rovided for HHT.Key words: HHT, uniform theoretical basis, local p roduct theorem, EMD402 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK Vol. 25 No. 3 2006
