1、从积分和式到求积公式 插值型求积公式 求积公式的代数精度 复合梯形公式 MATLAB求积分命令,第五章 数值积分与数值微分,椭圆周长计算:,x =a cos t y =b sin t,0 t 2,椭圆积分,x = a sin cos y = b sin sin z = c cos ,D= (，) |0 2, 0 ,思考题: 椭球面的面积计算,椭球面积的积分表达式？ 对二重积分的计算问题？ 三维体积的离散数据计算？,积分和式的计算: f (x)Ca, b单增, 令 h = (b a)/n, xk = a + kh, (k = 0,1,2,n),近似计算,4.8612e+0044.8660e+00
2、44.8683e+0044.8695e+0044.8701e+0044.8704e+0044.8706e+0044.8707e+0044.8707e+004,4.8803e+0044.8755e+0044.8731e+0044.8719e+0044.8713e+0044.8710e+0044.8709e+0044.8708e+0044.8708e+0044.8708e+004,a=7782.5 c=972.5,P.170人造卫星的轨道长度计算,数值求积公式的一般形式(机械求积公式),Rf 为数值求积公式余项, x0, x1, , xn为求积 结点; A0, A1, , An为求积系数.,矩形公
3、式:取A0 =(b a ),特别地， 时分别称为左矩公式，中矩公式，右矩公式。,梯形公式:取A0 =A1 =(b a )/2,Simpson 公式 取A0 = A3 =(b a )/6， A1 =2(b a )/3，,插值型求积公式: 在 a，b上取 a x0 x1 x2 xnb作Lagrange插值,令,插值求积法,插值型求积公式的余项,例2 梯形公式的误差余项,即,例3取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b a ),A0= (b-a)/6 A1=2(b-a)/3 A2= (b-a)/6,著名的 Simpson 公式,定义: 若一个求积公式对f(x)
4、= xi(i=0,1,.,m)能精确成立，但对f(x)= xm+1不精确成立，则称该公式具有m次代数精度。 令机械求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,n)精确成立，那么得线性方程组当节点xk (k=0,1,.,n)给定且互异时，系数Ak可由上式确定。,定理：(n+1)个节点的求积公式为插值型的充要条件是该公式至少有n次代数精度.,类似有: Simpson公式具有3阶代数精度,例. 矩形公式代数精度为0,解: 取f(x)= 1, x, x2 令求积公式准确成立,容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立. 因此这一公式只具有2次代数精度,取等距结点xj = a + jh时
5、,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度。,Newton-Cotes公式代数精度至少为n,复合梯形求积公式,将积分区间a,b n 等分.令h=(b-a)/n . xj=a+jh,取,递推，得,给定允许误差界0,当,时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值.,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); t=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2); n=1;h=pi/2;e=1;k=0; while e0.01s=0.5*(t+h*sum(f(.
6、5*h:h:pi/2);e=abs(s-t);t=s;n=2*n;h=h/2;k=k+1 end 4*t,ans=4.8707e+004, (循环次数k= 2),复合梯形公式计算,将程序第二行改为t=0.5*pi*f(pi/2)用积分部分和式计算,循环次数k=13,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); T=4*quad(f, 0, pi/2) Ans=4.8707e+004,MATLAB求定积分命令quad(fun, a, b),高阶求积分命令q = quad8(fun,a,b) 重积分计算命令dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax),
