1、问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 我们把要研究问题中每一个对象叫做元素 实质：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法,问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 实质:从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？,一、排列 1、定义：从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 特征：
2、1、互异性：元素不能重复2、有序性：“按一定顺序”就是与位置有关,3、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列,2、排列数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 说明（1） （n的阶乘或n的全排列数）（2）规定：0！=1,探究：3、排列数公式：,例1、 （1）若 则m=_,n=_ (2)若 ，则n25, 用排列符号表示为_,问题3：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？实质：从3个不同的元素a,b,c中任取2个并成一组，共有多少种不同的组合方法？,问题4：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个组
3、成一个集合，共可得到多少个不同的集合？ 实质:从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个并成一组，共有多少种不同的组合方法？,二、组合 1、定义：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 特点(1)互异性 （2）无序性 2、组合数： 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。记作注意（1） （2）规定,思考：判断下列问题是组合问题还是排列问题? （1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？
4、 (3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?(4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价？ 共需准备多少种车票? 结论：组合是选择的结果（一步到位） 排列是先选择再排序的结果.（两个步骤）,组合问题,排列问题,排列问题,组合问题,组合问题,3、组合数公式（1）（2）,例2、在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？,解答：,（1）,（2）,（3）,（5）,（6）,例3、（1）8人排成一排，有多少种排法？ （2） 8人排成一排，要求甲乙都不在
5、两头，有多少种排法？ （3） 8人排成一排，要求甲乙相邻且丙丁相邻，有多少种排法？ （4） 8人排成一排，要求甲乙丙三人不相邻，有多少种排法？,小结： 1、 “至少”“至多”的问题，通常用分类法 或间接法求解。 2、对有约束条件的排列问题，应注意如下类型 (1)某些元素不能排在或必须排在某一位置（特殊元素优先法）。 (2)某些元素要求相邻（捆绑法）： 第一步：先将要求相邻的元素看作一个元素，然后再与其他元素排列；第二步：相邻元素的内部排列。 (3)某些元素要求相隔（插空法）： 先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡。,续例3、 （5）8人围成一圈，有多少种排法？ （6） 8人排成一排，要求甲
6、乙丙顺序一定，有多少种排法？ （7）8人排成一排，要求甲在乙的右边，有多少种排法？ （8）8人均排成两排，甲在前排，乙在后排，有多少种排法？,例4、用09 这十个数字,组成没有重复数字的五位数。问： （1）偶数共有多少个? （2）被5整除的有多少？ （3）比23456大的数有多少？,相同元素隔板法 例6、（1）将10封信投入7个邮筒，有多少种不同的投法？(2)有10封信投入7个邮筒， ，每个邮筒至少有一封信,有多少种不同的投法？ （3）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？,分组问题 例7、 将6本不同的书按下列要求分发，求各有多少种不同的
7、方法： （1）按1，2，3的本数分成3份； （2）按1，2，3的本数分发给3个人； （3）平均分发给3个人； （4）平均分成3组； （5）按1，1，4的本数分成3组； （6）按1，1，4的本数分发给3个人.,构造模型策略 例8、（1）某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ （2）马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,例9、（1）四位同学各写一张名片，再互相赠送，有多少种不同送法？ （2）5个相同小球放入4个盒子中，每个盒子至少一个，问有多少放法？,附加练习,组合数性质 例5、求证： （1）（2）,
