1、绕 z 轴旋转,yoz 面上曲线 C:,绕 y 轴旋转,总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换, 换完就得旋转面,(根号下为另两个的平方和),8.3内容回顾,已知轨迹求方程：,旋转面,已知方程问轨迹：,柱面、二次曲面,1. 椭球面,椭球面的草图为:,当 ab 时或为旋转椭球面;,当abc 时为球面.,2. 椭圆锥面,草图为:,当 ab 时为圆锥面,常见的二次曲面,3.单叶双曲面,草图为,当 ab 时为旋转单叶双曲面,4. 双叶双曲面,草图为:,当 ab 时为旋转双叶双曲面,5. 椭圆抛物面,草图为:,a=b时为旋转抛物面,6. 双曲抛物面,（鞍形曲面）,草图为:,7. 椭圆柱面,8. 双曲柱面,
2、9. 抛物柱面,绕y轴旋转一周得轨迹且方程为,空间一动点到两定点,为定值2a(ac0)的轨迹的标准方程为( ) .,解:,距离之和,在zoy面上动点的轨迹为,为旋转椭球面,若任取轨迹上一点,再化简整理则复杂的多.,由,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,8.4 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,含在圆柱面,内的,半球体,称为维维安尼立体块.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表
3、示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,M,.,(动点M:,一方面沿z向上匀速v 运动;,另一方面,绕z轴逆时针以角速度旋转),例1. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,*(3)写出曲线:,的参数方程.,由(2)得z=xy并代入(1)得:,则曲线C的参数方程为:,*例2. 求空间曲线 :,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程 .,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程 .,例如, 直线,绕 z 轴旋转所得旋转
4、曲面方程,消去 t 和 , 得旋转曲面方程为,直接选 Z为参数,绕 z 轴,最初的 点,旋转至(x,y,z)点,此过程到(0,0,z)的距离相等.,(98年考研有类似的题目),求曲线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程,绕 z 轴,最初的 点,旋转至(x,y,z)点,此过程到(0,0,z)的距离相等.,（选z为参数）,即,三、空间曲线在坐标面上的投影,从C 的一般方程中消去 z 得,(H(x,y)=0为母线平行于z轴的柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,以空间曲线 C :,柱面,称为C 在xoy 面上的投影柱面,为准线母线平行于z轴的,它包含上述投影柱面),投影柱面与z=0的,交线称为C
5、在xoy 面上的投影曲线(简称投影) .,(包含投影曲线的一曲线),例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,(包含投影曲线的一曲线),在yoz 面上的投影曲线方程为,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,投影曲线与投影柱面,(如, 圆柱螺线),P37 题1,(2),(1),答案:,思考与练习,P37 题 1，2，7（展示空间图形）,(3),
6、P37 题2 (1),表示两平面的交线,思考:,情况如何?,情况如何?,P37 题2(2),P37 题 7,但直接削去y得,在yoz面上的投影为:,(较复杂),在xoy面上的投影为:,在xoz面上的投影为:,交线在xoy面上的投影,交线在xoz 面上的投影,P37 3，4，5，6, 8,作业,求直线,在平面,上的投影直线,的方程； 并求,（98数一 5分）,绕y轴旋转一周所成,曲面的方程,求直线,在平面,上的投影直线,的方程； 并求,（98数一 5分）,绕y轴旋转一周所成,曲面的方程,1.,解:,过L的平面方程为,即,法线,已知平面的法线向量,令,则过L与平面垂直的平面为:,(有轴平面束),化为参数方程，,并选y为参数,绕y轴旋转至P(x,y,z),则,(0,y,0),P(x,y,z),知:为单叶旋转双曲面.,化为标准方程:,（为什么？）,
