1、离散数学是计算机学科的重要数学基础课之一 离散数学是以离散(即非连续)对象的数量和空间关系为研究内容的数学若干个分支的总称。 包括数理逻辑、近世代数、古典概率、组合学、图论、集合论、数论、自动机和形式语言、可计算性和可判定性、离散几何等。,18世纪以前, 数学基本上是研究离散对象的数量和空间关系的科学, 之后,因天文学,物理学的发展,如行星轨道,牛顿三大力学定律等研究,极大地推动了连续数学(以微积分,数学物理方程, 实、复变函数论为代表)的发展。 离散对象的研究则处于停滞状态,20世纪30年代, 图灵提出计算机的理论模型图灵机。 这种模型早于实际制造计算机十多年, 现实的计算机的计算能力, 本
2、质上和图灵机的计算能力一样。 这是理论指导实际的典型范例。 由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其它离散对象。 因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数学就显得重要。,离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程的主要基础 对开发大型软件、研究信息安全和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型计算机都提供了不可缺少的基础知识。 本课程是离散数学的一部分,包括： 集合论 组合学 图论,集合论初步,集合论是现代数学的基础,它已深入到各种科学和技术领域中,被广泛应用到数学和计算机科学的各分支中去。在开关理论、形式语言、数据库等领域得到了卓有成效的
3、应用。 集合论的创始人康托尔(Cantor,1845-1918),德国著名数学家 在1874年,发表了题为“关于所有实代数数所成集合的一个性质”的论文，开创了现代集合论的研究，为现代数学奠定了基础.,集合理论中出现了悖论。 为了解决集合论的悖论, 上世纪初开始了集合论公理学方向的研究,它是数理逻辑的中心问题之一。 从集合的基本概念和例子着手,对关系、函数、基数等进行讨论,并简单介绍集合论的悖论。,第一章 集合的基本概念,1.1 集合的表示 所谓集合是指具有共同性质的一些东西(对象)汇集成一个整体。 用大写英文字母表示,例如S,A等。 构成一个集合中的那些对象称为该集合的元素,用小写英文字母或数
4、字等表示。 aA表示a是集合A的元素。 aA表示a不是集合A的元素。,例：所有整数全体构成的集合，记为Z,则3Z,-8Z,6.5Z, 今后我们将用 I或Z表示整数集; I+(Z+)表示正整数集; Q表示有理数集; Q+表示正有理数集; Q-表示负有理数集; R表示实数集; R+表示正实数集。,集合中的元素可以是具体的事物,也可以是抽象的符号 一、集合的表示方法 (1)列举法：列出集合中的所有元素来表示一个集合。 例：集合A的元素为1, 3, 5, 7, 9, 则A可表示为A=1, 3, 5, 7, 9。 B=x1,x2,x3也是采用了列举法。,(2)特性刻画法(描述法)：描述集合中元素具有共同
5、性质的方法来表示某个集合。 我们用P(A)表示元素a满足特性P，则A=a|P(a)就表示集合A是所有使P(a)成立的元素所构成的集合。 例：C=x|x=y3,yZ+ D=x|-1x2 E=x|x为年龄小于20岁的人 列举法用于元素个数较少的情况, 描述法用于元素个数较多(或无限),且各对象具有共同性质的情况,(3)递归定义法：通过某规则的计算来定义集合中的元素,在此情况下的集合常称为递归定义的集合。我们将在第四章对此方法作进一步介绍。 如果一个集合元素个数有限，则称该集合为有限集，否则称为无限集。 前面例子中的集合C、D是无限集，而A、B、E则是有限集。 有限集A的元素个数称为集合A的基数,记
6、为|A|。 A=x|x是大于1小于6的质数,|A|=3。,如果一个集合不含有任何元素,称为空集,记为或 。 例：A=x|x2+1=0,x为实数是空集,|A|=|=0. 但不是空集，它是以为元素的集合 在集合中要注意， (1) 集合中的元素之间的次序是无关紧要的 例:a, b, c与b, a, c是完全相同的集合。 (2)集合中的元素是不能重复出现的 即a,b,c,b,d是不允许出现的,一个集合可以是其他集合的元素。 例:S=a,b,a,b,c,d,e a,b,a,b,c,d,e都是集合S的元素。 a,b,c本身又是集合，其元素是a,b,c。 a,b,c都不是集合S的元素。 象这种以集合作为元素
7、所组成的集合称为集合族。 S=,的元素是,。,1.2 集合的子集,用平面上封闭曲线包围点集的图形来表示集合,该图形称为文氏图(Venn Diagrams)。 文氏图还能表示集合之间的相互关系,集合A中元素全部是集合B的元素,可用下图表示:,定义1.1:设A和B是两个集合。A的每一元素都是B的元素,则称A是B的子集,记为AB或BA,分别读作A包含在B中或B包含A。特别,AA。 若存在元素aA,但aB,则A不是B的子集. 例:x|-1x2,0.5是该集合的元素,不是整数集的元素,故集合x|-1x2不是整数集Z的子集.,(1)空集是任何集合的子集 (2)若AB,BC,则AC 证明: (1)假设不成立
8、。 (2)分析：要证明AC，则要证明A中任意一个元素都是C中的元素。即出发点是对aA,而最终目标是aC,如何达到此目标，那就是利用条件AB,BC 证明：对aA，因为AB，所以有aB。 又因为BC，所以当aB时，必有aC 因此AC。,定义1.2:集合A和B的元素全相同, 则称A和B相等,记为A=B,否则称A和B不相等,记为AB。 定理1.1:设A和B是两个集合,则A=B当且仅当AB,且BA。 证明：(1)A=B，AB,且BA (2)AB,且BAA=B,定义1.3:若AB,且AB ,则称集合A是集合B的真子集, 记为AB。也可以说,A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A。,例:aa,b。 例
9、:S1=a,S2=a,S3=a,a 定义1.4:在取定一个集合U以后,对于U的任意子集而言,称U为全集。 全集是一个相对的概念. 实数集对于整数集、有理数集而言是全集,而整数集对于偶数集、奇数集而言也是全集。,定理1.2:对于任何集合A,必有 (1)A ,(2)AA,(3)AU。 对于集合A=1,2,3, ,1,2,3,1,2, 1,3,2,3和1,2,3都是集合A的子集。 这些子集全体也可构成集合， 这个集合称为1,2,3幂集。 定义1.5：设A是任意集合,A的所有子集所组成的集合,称为集合A的幂集,记为P(A), 或记为2A,即P(A)=B|BA。 有限集合S，|S|=k，则|P (S)|
10、=? 定理1.3:设A是有限集, 则|P(A)|=2|A|。,1.4 集合的运算,一、运算的定义 定义1.10：设A和B是两个集合,U是全集, (1)A和B的并, 记为AB, 它是由A和B中所有元素所组成的集合,即AB=x|xA 或xB。,(2)A和B的交, 记为AB, 它是由A和B中公共元素所组成的集合,即AB= x|xA且xB。,(3)A和B的差, 记为A-B, 它是由在A中而不在B 中的元素所组成的集合, 即A-B=x|xA且xB。,集合的并,交,差,补也分别称为集合的并运算,交运算,差运算, 补运算。 例:A=1,2,3,4,5,B=1,2,4,6,C=7,8, U=1,2,3,4,5
11、,6,7,8,9,10。,定义1.11：设集合A1,A2,An,定义: A1A2An=x|至少有某个i,1in,xAi,称为A1,A2,An的并,记为,A1A2An=x|对每个i,1in, xAi,称为A1,A2,An的交,记为,二、运算的基本性质 定理1.4：设A,B,C是任意集合,U为全集,下列等式成立: (1)AA=A； AA=A (幂等律) (2)AB=BA; AB=BA (交换律) (3)A(BC)=(AB)C;A(BC)=(AB)C (结合律) (4)A(BC)=(AB)(AC)(分配律)A(BC)=(AB)(AC) (5)AU=U;AU=A;A=A;A=(恒等律),例：设A和B为
12、两个集合，则P(A)P(B)=P(AB) 证明：先证P(A)P(B)P(AB) 再证P(AB)P(A)P(B) 证明集合相等，除了用定理1.3外，还可利用定理1.4给出的基本等式来证明。,例：(AB)-C=(A-C)(B-C),在集合的并、交、差运算都是不满足消去律的。 即AB=AC不能得到B=C 例:A=1,2,3,B=3,4,5,C=4,5, AB=AC不能得到B=C 例:A=1,2,3,B=3,4,5,C=3, 同样A-B=A-C不能得到B=C,下面引进的运算则具有消去律的性质. A和B的对称差,记为AB,AB=(A-B)(B-A)。,事实上有(AB)-(AB)=(A-B)(B-A),对
13、称差运算则是满足消去律的，即有 定理：若AB=AC，则B=C 证明留作习题 对于多个集合运算,除了并和交具有结合律和交换律外,还有分配律和狄摩根律: B(A1A2An)=(BA1)(BA2)(BAn) B(A1A2An)=(BA1)(BA2)(BAn),随着数学的发展，人们发现单凭直观经验建立起来的集合概念是靠不住的。 在1895年康托尔本人举例说明朴素集合论将导致的矛盾,其中最有名的例子是英国哲学家和数学家罗素(1872-1970) 在1901年给出的, 在数学史上称为罗素悖论,1.5 罗素悖论,命题：能区别真假的陈述语句。 例：我是学生。 今天不下雨。 上述两个都是命题。它们都能判别真假。
14、 祝你一帆风顺！ 你明天下午出去吗？ 上述两个都不是命题。,所谓悖论, 是指对于命题Q,如果从Q为真, 可以推导出Q为假, 又从Q为非真推导出Q为真, 我们就说命题Q是一个悖论。 显然如果从命题P可引出一个命题Q, 而Q是一个悖论, 那么P也是一个悖论。 说谎悖论 有一个人断言:“我正在说谎”。 我们要问: 这个人是在说谎还是在讲真话? 如果他在说谎, 这表明他的断言“我正在说谎”是谎话,也就是说他在讲真话。即他说谎, 推出他是讲真话(即没有说谎)。 另一方面, 如果他讲真话, 这表明他的断言“我正在说谎”是真话, 也就是说他正说谎话, 即他讲真话, 推出他在说谎(即没有讲真话)。,断言“我正
15、在说谎”就是一个悖论,因为我们无法断言它的真伪。 理发师悖论 一个村上,有一个理发师公开宣布他给而且只给村子中所有自己不替自己理发的人理发。 现在要问: 谁给这个理发师理发? 如果理发师的头由别人给他理,也就是说理发师自己不替自己理发,那么按照规定,这位理发师应该给自己理发。 另一方面,如果理发师的头由自己理,那么按照规定, 理发师不能给自己理发。 也是一个悖论：理发师的头由别人来理, 不行；理发师的头由自己理, 也不行。,罗素悖论 将集合分成两类,一类是集合A本身是A的一个元素, 即AA,另一类是集合A本身不是A的一个元素, 即AA。 现构造一个集合S: S=A|AA也就是说S是由满足条件A
16、A的那些A组成的一个新的集合。 我们要问:S是不是它自己的一个元素? 即SS,还是SS。 即既不是SS,也不是SS, 这个悖论就是著名的罗素悖论。,集合所有课程全体和集合所有教室这两个集合之间就存在着某种联系。 事实上，在计算机中，离散对象之间总存在着各种各样的联系，这就是我们下面要介绍的关系。 首先将引进笛卡儿积的概念,1.3 笛卡尔积,定义1.6：两个对象a,b依一定次序组成一对, 称为有序对,记为(a,b)。两个有序对相等(a,b)=(c, d), 当且仅当a=c和b=d同时成立。 对于集合有a,b=b,a， 而对于有序对则在ab时，(a,b)(b,a)。 (a,a)是有意义的,定义1.
17、7：对n0, n个对象的序列形如a1,a2,an组成一组称为有序n元组, 记为(a1,a2,an),其中ai称为第i个分量。两个有序n元组相等当且仅当它们的每个对应分量相等。 定义1.8：设A和B是两个集合, 定义A与B的笛卡尔积为AB=(a, b)| aA且bB,又称AB为A与B的直积。 例:设A=1,2, B=x,y,C=a,b,c,则 AB=(1,x),(1,y),(2,x),(2,y); BA=(x,1),(x,2),(y,1),(y,2); BAAB 由此可知A与B的直积是不满足交换律的。,AC=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c); AA=(1,1
18、),(1,2),(2,1),(2,2)。 A=A= 定义1.9:设A1,A2,An是任意n个集合, 定义笛卡尔积A1A2An为 (a1,a2,an)|aiAi,i=1,2,n。 例:ABC=(1,x,a),(1,x,b),(1,x,c),(1,y,a),(1,y,b), (1,y,c),(2,x,a), (2,x,b),(2,x,c),(2,y,a),(2,y,b),(2,y,c)。,A=1,2, B=x,y,C=a,b,c,若对所有i,Ai=A, 则A1A2An记为An。 例：A=a,b,c为学生集合，B=x,y,z,w为课程集合，则笛卡儿积AB就是学生与课程所组成的有序对全体。 AB=(a
19、,x),(a,y),(a,z),(a,w),(b,x),(b,y),(b,z), (b,w),(c,x),(c,y),(c,z),(c,w) 若(a,x)表示学生a选修课程x，则当a,b,c三个学生选定课程，其情况是： (a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)，而c什么课也没选， R=(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w) 反映了学生与课程的联系。 RAB,即R是AB 的子集。 集合A到集合B的关系。,作业:P11 1,2,3,4,6,7,9(1)(3)(4)(6)(7)(8)(10), 11(2), 12, 13, 16(1) 补充: 证明:若AB=AC，则B=C,
