1、计算方法讲义,主 讲：佘红伟Email：,第一章 绪 论,内容提要1.1 引 言1.2 误差的度量与传播1.3 选用算法时应遵循的原则,1.1 引 言,课程特点数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法。对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时有十分有效。,鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和
2、微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法；等等,本课程主要内容,计算机解决科学计算问题的主要过程实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机运行求出解。其中：实际问题数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应用数学的任务.数值计算方法程序设计计算结果：根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。,算法分类分类方法1：若算法包含有一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。本课程介绍数值型串
3、行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）,算法的可靠性 可靠性：可靠性包括原问题的适定性算法的收敛性、稳定性等。适定性：是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖 收敛性：是研究当允许计算步越来越多时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大。,本课程的学习方法,尽管我们所学算法有限，但许多仍有学多学生会觉得公式多，理论分析复杂。我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。 1、以算法的理论分析为基础，理解记忆公式； 2、理解每章算法建立的数学背景、数学
4、原理和基本线索； 3、熟练掌握所学基本算法； 4、从算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。,1.2 误差知识,内容提要： 一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播,一、误差来源及其分类,1)模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。,2）观测误差数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。,在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。,3）截断误差（方法误差）数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限
5、步内执行结束而导致的。,例如：,4）舍入误差在实现数值方法的过程中，由于计算机表示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。例如：利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部分：,二、误差的度量,绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系,1. 绝对误差,绝对误差定义：近似值减准确值,绝对误差限：,2.相对误差,Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值
6、不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏 。,3.有效数字,为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。,有效数：当x* 准确到末位，即n=p，则称x*为有效数。 举例：x=, x1*=3.141, x2*=3.142,3位有效数字，非有效数,4位有效数字，有效数,Remark1: 有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。 Remark2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。 Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，
7、估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。,4.误差度量间的联系,绝对误差与相对误差,绝对误差与有效数字,相对误差与有效数字,定理证明,证毕,Remark 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。 2、仅从 并不能保证x*一定具有n位有效数字。如 设其近似值a=0.484，其相对误差为：我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为,例题,解：,三、误差的传播,概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差
8、传播的表现： 算法本身可能有截断误差； 初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差； 每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差； 误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长； 运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算。,初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。 研究方法： 泰勒（Taylor）方法 n元函数,复习泰勒公式,泰勒公式分析初值误差传播,相对误差：,进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：,对于一元函数，有如下初值误差传播近似计算公式：,二元
9、函数算术运算误差传播规律,绝对误差限,相对误差限,尽量避免相近的数相减 例 x=52.127 x*=52.129 四位有效数字y=52.123 y*=52.121 四位有效数字A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位有效数字 结论：避免相近数相减,1.3 数值试验与算法性能比较,一些避免相近数相减示例 当|x|1时,当|x|1时,两种算法的相对误差图比较,尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。,当a,b中有近似值时，由,若 ，则 可能很大。当a,b都是准确 值时，由于 很大，会使其它较小的数加不到 中而引起严重误差，或者会发生计算机“溢出”，导致计算无法进行下去。,算
10、例 用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组,算法1：顺序消去法，分别保留4位和7 位小数进行计算； 算法2：将第1个和第2个方程交换次序后，使用消去法分别保留4位和7位小数进行计算； 准确解：,计算结果,选用数值稳定性好的算法。,定义：一个算法, 如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制, 或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果, 则称该算法是数值稳定的, 否则称其为数值不稳定.,例：计算如下积分近似值的两种方案比较,方法1：,方法1计算结果,方法一结果分析,方法一分析：计算结果表明, 舍入误差的传播近似依5的幂次进行增长, 因而是一种不稳定的方法。,方法二：,由此分析知，该方法是稳
11、定的。关于初值的近似可由下面式子得到：,方法2计算结果,总之, 除了算法的正确性之外, 在算法设计中至少还应:,1 尽量避免两个相近的近似数相减; 2 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序, 防止大数“吃掉“小数; 3 尽可能避免绝对值很小的数做分母; 4 防止出现溢出; 5 简化计算步骤以减少运算次数; 6 选用数值稳定性好的算法.,本章知识结构图,本章典型例题,例1: 指出如下有效数的有效数字位数并计算绝对误差限和相对误差限。,解: 1）x*有2位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,2）y*有3位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,3）z*有5位有效数字，,绝对误差限为：,相对误差限为：,解: 由题意知，近似数x*的绝对误差限 ，相对误差限 。,例2: 已知 试求 的相对误差限。,注意：此处正好有：,解:,例3: 已知桌子长宽近似值 ，并且已知 ，求近似面积 的绝对误差限和相对误差限。,例4: 下列公式如何变形才能使数值计算得到比较精确的结果。,
