1、计算方法,主讲人: 陶亮课时量: 16学时,2008-10-6,2019/9/8,2/99,目录,第一章：绪论 第二章：方程的近似解法 第三章：线性代数方程组的解法 第四章：矩阵特征值和特征向量 第五章：插值法 第六章：最小二乘法与曲线拟合 第七章：数值积分与数值微分 第八章：常微分方程初值问题的数值解法 第九章：偏微分方程的差分解法,第六章 最小二乘法与曲线拟合,学时：2个学时 内容：1. 用最小二乘法求解矛盾方程组、2. 多项式拟合及误差分析,2019/9/8,4/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,6.1用最小二乘法求解矛盾方程组,1.基本思想：从一组测量数据（xi，yi）（i=0,N）
2、中寻找变量函数关系的近似表达式 y =f (x). 最小二乘法：给定的一组数据要求找一类函数y = S* (x)使误差 （2范数、欧氏范数）平方和最小。矛盾方程组：方程组系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时，方程无解。,2019/9/8,5/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2.设线性方程组：的矩阵形式为：求解矛盾方程组的前提： 上述方程组的秩rankA = n 时，必须有N n前提，才能够求解矛盾方程组,2019/9/8,6/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,定理6.1：P131类似于高等数学中的极值定理：（1）驻点条件；（2）极大值或极小值判定条件。 定理6.2：P131构造n阶线性方程组的
3、方法；方程组有唯一解的形式（正则方程组）： 定理6.3：P133矛盾方程组的解存在；构造n阶线性方程组的解唯一，且是最小二乘解。,2019/9/8,7/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,8/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,9/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,10/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,6.2 多项式的曲线拟合,1.基本思想：拟合曲线不一定要通过测量数据（xi，yi点，只要保证该点偏差的平方和达到最小值，就是最小二乘解，也是正则方程组的解。 正则方程组的形式 均方差的计算 与插值多项式的区别,2019/9/8,11/9
4、9,第六章:最小二乘法与曲线拟合,已知一组测量数据：可以用一个次数低于N-1的多项式来拟合这组数据，使之能够最好地反映实验规律。此时的问题就转化为求（mN-1）（其中ai是待定系数）使其能“最好”的拟合这组实验数据。如果选择“最好”的标准为 使得在 xi的偏差的平方和最小,2019/9/8,12/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,将各测量点代入 可得关于待定系数ai的矛盾方程组写为矩阵形式 ， 其中：,2019/9/8,13/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,正则方程组 求得的系数向量ai的方法就是 拟合曲线的最小二乘法。 其中：,定理6.4 设向量ai互异，且Nm+1，则正则方程组有 唯
5、一解。（证明略）,2019/9/8,14/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,例6.2 试用最小二乘法求一个多项式，使得下列数据向拟合 （计算取4位小数）,2019/9/8,15/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,16/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,例6.3 试用最小二乘法求一个经验公式，使下列数据向拟合 （计算取4位小数）,2019/9/8,17/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,18/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,19/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,2019/9/8,20/99,第六章:最小二乘法与曲线拟合,第六章
6、的基本要求最小二乘法的基本原理和求解矛盾方程组的方法 掌握运用最小二乘法进行多项式拟合的基本方法 了解多项式插值和多项式拟合的区别 作业：1、2、6,第七章 数值积分与数值微分,学时：2个学时 内容：1. 牛顿-柯特斯求积公式、2. 复化求积公式、3. 高斯型求积公式、4. 数值微分,2019/9/8,22/99,第七章: 数值积分与数值微分,7.1 牛顿柯特斯求积公式,方法背景：牛顿布莱尼兹定积分公式面临的问题 求积公式： 代数精确度： 截断误差： 方法的稳定性：,2019/9/8,23/99,第七章: 数值积分与数值微分,面临的问题：如果函数f (x)在区间a, b上连续，且原函数为F(x
7、)，则可用牛顿莱布尼兹公式来求得定积分。但在实际应用中原函数难求解。积分中值定理：在区间a, b上 存在一点u使下式成立。则直观地出现梯形公式和矩形公式,2019/9/8,24/99,在积分区间a, b上取一系列点xk (k=0,1,n)，设ax0x1xnb被积分函数f(x)在该点的函数值f(xk)的线性组合作为积分近似值的算式称作求积公式。其中， xk称作求积节点；Ak称作求积系数。 则记求积公式的截断误差 R f 为:,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,25/99,牛顿-柯特斯求积公式 利用插值多项式Pn(x)构造插值型求积公式。由于Ak与f(x)无关，只与节点xk(k=0,
8、n)有关，得：求积公式变化为如下的牛顿-柯特斯公式，Ck(n)是柯特斯系数。其截断误差记作Rnf,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,26/99,柯特斯系数算法当n=1柯特斯系数下的求积公式就是梯形公式。当n=2柯特斯系数下的求积公式是辛浦生公式。当n=4柯特斯系数下的求积公式是柯特斯公式。,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,27/99,例7.1 试用梯形公式和辛浦生公式计算定积分 (计算结果取5位有效数字)解（1）用梯形公式计算（2）用辛浦生公式，柯特斯系数为1/6，46，1/6（3）积分的精确解,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,28/99,2. 求
9、积公式的代数精度 定义7.1 如果求积公式（7.1）对任何不高于m次的代数多项式都准确地成立（即Rn(f) 0），而对于某个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式代数精度为m。对牛顿-柯特斯公式，其代数精确度不低于n。 当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式具有n+1次代数精确度 当n为奇数时，牛顿-柯特斯公式具有n次代数精确度。 梯形公式的代数精确度为1 辛浦生公式代数精确度为3 柯特斯公式代数精确度为5,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,29/99,第七章: 数值积分与数值微分,例7.2 试确定求积公式 的代数精度 解：设f(x)分别取1、x、x2、xm，计算求积公式是否能够精确成
10、立。 取f(x)=1,有：左边 右边2取f(x)=x,有：左边 右边0 类似导出f(x)=x2、 x3时 有左边=右边、 取f(x)=x4,有：左边=2/5右边=2/9当m3求积公式精确成立，因此，该求积公式具有3次代数精度。,2019/9/8,30/99,第七章: 数值积分与数值微分,3. 求积公式的截断误差 定理7.1 设f(x)求积区间a, b上 具有连续2阶导数，则梯形公式的截断误差为（证明用第二积分中值定理）定理7.2 设f(x)求积区间a, b上 具有连续2阶导数，则辛普生公式的截断误差为（证明下去练习）,2019/9/8,31/99,第七章: 数值积分与数值微分,4. 求积公式的
11、稳定性从前面的讨论，容易形成一种固定的思路：n越大，牛顿-柯特斯公式的精度越好，但事实并非如此。在实际中，n越大，计算过程中产生的误差累积越严重，容易导致数值求积公式的稳定性和收敛性没有保证。因此，在实际计算中很少用到n较大的牛顿-柯特斯公式,2019/9/8,32/99,5. 求积公式的待定系数法 给定n+1个节点xk，构造至少具有n次代数精度的求积公式对求积公式（7.1）的f(x)都准确成立，则得到求积系数Ak的代数方程组： 求出待定系数Ak，即可求的求积公式。 （例题7.3P154）,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,33/99,第七章: 数值积分与数值微分,7.2 复化求
12、积公式,复化梯形、复化辛普生、复化柯特斯求积公式 复化梯形求积公式复化辛普生求积公式复化柯特斯求积公式,2019/9/8,34/99,第七章: 数值积分与数值微分,2. 复化求积公式的截断误差 复化梯形求积公式截断误差复化辛普生求积公式截断误差,2019/9/8,35/99,例7.4 用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 的近似值，若要求误差不超过0.5x10-4至少要多少节点。解：由f(x)ex, f /(x)= f (4)(x)= ex得：,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,36/99,高斯求积公式节点适当选择，提高求积公式代数精度，最高达到2n+1定义7.2 把具有n+1
13、个节点的具有2n+1次代数精度的插值型求积公式称为高斯型求积公式，节点xk是高斯点，Ak是高斯系数高斯型求积公式的关键在于确定高斯点，由n+1个高斯点构造基函数Lk(x)，最后用下式计算高斯系数Ak。,第七章: 数值积分与数值微分,7.4 高斯（Gauss）型求积公式,2019/9/8,37/99,第七章: 数值积分与数值微分,定理7.4 对于插值型求积公式（7.2），其节点xk(k=0,1,n)是高斯点的充要条件是以该点为零点的多项式 与次数不超过n的任意多项式P(x)在区间a,b上正交证明：必要条件充分条件（证明略）,2019/9/8,38/99,第七章: 数值积分与数值微分,对定理7.4
14、 的说明（1）具有n+1个节点的差值型公式（7.2）的代数精度最高是2n+1，因此高斯型求积公式的代数精度最高（2）高斯点的求解方法。就是任意不超过n次的多项式P(x)在a,b区间上正交多项式n+1(x)的零点为高斯点（3）插值型求积公式（7.2）的代数精度为2n+1的充分必要条件是多项式n+1(x)与P(x)在区间a,b上正交,2019/9/8,39/99,2. 勒让德多项式 n次勒让德多项式为：其性质 （1）n次勒让德多项式与任意次数不超过n-1的多项式在区间-1，1上正交 （2） n次勒让德多项式的n个零点都在区间-1，1。 例如： n=1的一次勒让德多项式x的零点为 n=2的一次勒让德
15、多项式3x2/2-1/2的零点为 n=3的一次勒让德多项式5x3/2-3x/2的零点为,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,40/99,第七章: 数值积分与数值微分,3. 高斯-勒让德求积公式积分区间-1，1上的插值型求积公式的代数精度为2n+1的充要条件是多项式n+1(x)与(x)在区间-1,1上正交。取：用n+1次勒让德多项式零点左为高斯点的高斯求积公式：求积系数：,2019/9/8,41/99,第七章: 数值积分与数值微分,经过零点和求积系数计算，有具体的高斯-勒让德求积公式 一点高斯-勒让德求积公式（n=0）两点高斯-勒让德求积公式(n=1)三点高斯-勒让德求积公式(n=2
16、)容易求得它们的代数精度分别为1，3，5。,2019/9/8,42/99,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,43/99,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,44/99,第七章: 数值积分与数值微分,4. 高斯型求积公式截断误差定理7.5 设f (x)在积分区间-1，1内具有2n+2阶导数，则高斯型求积公式的截断误差为：式中：证明略,2019/9/8,45/99,第七章: 数值积分与数值微分,7.5 数值微分,数值微分目的：对于给定的函数表，求函数在某一点的导数值 微分公式的几何意义 常用微分公式 数值微分的稳定性,2019/9/8,46/99,第七章: 数值积分与数值
17、微分,2019/9/8,47/99,第七章: 数值积分与数值微分,2. 差商型求导公式的余项,从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确； 从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。,2019/9/8,48/99,第七章: 数值积分与数值微分,3、插值型求导公式,2019/9/8,49/99,4. 常用微分公式：一阶两点公式,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,50/99,5. 常用数值微分公式：一阶、二阶三点公式,第七章: 数值积分与数值微分,2019/9/8,51/99,第七章: 数值积分与数值微分,第七章的基本要求牛顿-柯特斯求积公式和算法 一些常用的求积公式和截断误差 数值微分
18、的一些基本概念和常用方法作业：1、2、4、5（1）、9,第八章 常微分方程初值问题的数值解法,学时：2个学时 内容：1. 欧拉法与梯形法、2. 泰勒展开法与龙格-库塔方法,2019/9/8,53/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,54/99,微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间是a,b，令a= x0 x1 xn =b,其中hk=xk+1-xk , 如是等距节点h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk)的近似值，用yk表示，即yky(xk)，这样y0 , y1
19、 ,.,yn称为微分方程的数值解。,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,55/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,56/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,57/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,58/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,59/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,60/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,61/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,二、梯形公式,2019/9/8,6
20、2/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,三、欧拉预估-校正公式,2019/9/8,63/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,64/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,65/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,66/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,67/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,定义8.3 方法收敛性：P187 如果某一数值方法对于任意固定的 当h0时（同时n）时，有 则称该方法是收敛的。定义8.4 方法稳定性：P187 用某一数值方法求解初值问题时，
21、如果步长h固定，仅在一个节点ym上产生大小为的扰动时，如果由这个扰动引起的以后各节点值yk（km）的变化均不超过，则称该数值方法是稳定的。 为了讨论稳定性问题，我们通常将满足李普希兹条件的微分方程模型化。即设 ，此时微分方程是线性方程，通常为保证稳定性进一步假定0。（非线性如何的特例说明）,2019/9/8,68/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,欧拉法、梯形法与欧拉预估校正法的稳定性,2019/9/8,69/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,70/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,71/99,第八章: 常微分方程初值问题
22、的数值解法,一、泰勒展开法,2019/9/8,72/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,二、龙格-库塔(RK)法 间接利用泰勒展开的思想，避免高阶偏导数的计算困难。,2019/9/8,73/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,龙格-库塔(RK)法在p=1时就是欧拉法，当p2和3时就是二阶和三阶RK方法，具体表述如下：,2019/9/8,74/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,75/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,76/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,2019/9/8,77/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,龙格库塔法的稳定性,2019/9/8,78/99,第八章: 常微分方程初值问题的数值解法,第八章的基本要求两种常微分方程解法：欧拉方法和龙格-库塔方法 收敛性和稳定性的概念，能分析一些基本公式的收敛性和稳定性。作业：2、4,课程结束，感谢大家！,西北工业大学航空学院,
