1、1,第二章 自动控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型,2-2 控制系统的复数域数学模型,2-3 控制系统的结构图与信号流图,2-4 数学模型的实验测定法,2,基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。,返回子目录,3,6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及
2、误差传递函数的概念。,4,自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的基尔霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。,5,如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量方程和向量的状态方程。 本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对描述的线性定常微分方程进行积分变换，得出传递
3、函数，方框图，信号流图，频率特性等数学描述。 线性系统实际上是忽略了系统中某些次要因素，对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨论的系统，除第七章外，均指线性化的系统。,6,分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法,7,解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。,实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,8,总结：
4、解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,9,2-1控制系统的时域数学模型,基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程,返回子目录,10,列写微分方程的一般方法,例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。,R,11,解：由基尔霍夫定律得：,式中： i为流经电阻R和电容C的电流，消去中间变 量i，可得：,令 （时间常数），则微分方程为：,12,【例2】 求RLC电路的微分方程,解:(1)确定输入: ui(t) 输出: u0(t),(2) 列原始方
5、程,令: T1 = L/R, T2 = RC 则,(3)消去中间变量 并标准化,13,例3 设有一弹簧质量 阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。,14,解：分析质量块m受力，有 外力F, 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力 惯性力 由于m受力平衡，所以,将各力代入上等式，则得,15,式中：ym的位移（m）；f阻尼系数（Ns/m);K 弹簧刚度（N/m)。,将式(2-4)的微分方程标准化,16,T称为时间常数， 为阻尼比。显然， 上式描述了mKf系统的
6、动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。,令 ， 即,， 则式 可写成,17,【例4】他励直流电动机电枢控制的微分方程,解: (1) 确定输入输出量: 输入量: 给定输入-电枢电压ua 扰动输入-负载转矩Mc 输出量: 电动机转速n,(2) 列写原始方程,18,(3)从式(2-7) (2-10)中消去中间变量并标准化,可见，数学模型是由系统结构，元件参数以及基本运动规律所决定的。,19,用解析法建立运动方程的步骤是：,1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；,2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，
7、列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。,2控制系统微分方程的建立,20,3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。 所谓标准方程包含三方面的内容： 将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边； 各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。,21,线性系统的基本特性,叠加原理,叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。,22,例： 设线性微分方程式为,若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性
8、。,23,上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。,若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。,24,线性定常微分方程的求解,微分方程微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。,25,微分方程的一般形式,式中 r(t)输入量 c(t)输出量 ai ，bj 常量 m、n 输入量、输出量导数的最高阶次,26,为什么分母的阶数一定高于分子的阶数 ？,有惯性元件和受到功率的限制,客观物理世界的基本属性，它反映了一个基本事实：一个物理系统的
9、输出不能完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。,27,2-4-1. 拉氏变换,2.常用函数的拉氏变换 L(t)=1 Ltn=n!/sn+1 L1(t)=1/s Le-at=1/(s+a) Lt=1/s2 Lsint=/(s2+2) Lt2/2!=1/s3 Lcost= s/(s2+2）,1.定义,28,(1)线性定理 若 Lf1(t)=F1(s) Lf2(t)=F2(s)，则 La f1(t)+b f2(t)=a F1(s)+b F2(s) (2)微分定理 若 Lf(t)=F(s) 则 Lf(t)=sF(s)-f(0)Lf (t)=s2F(s)-sf(0
10、)-f(0),3. 拉氏变换的基本定理,29,(3)积分定理,(4)实位移定理,(5)复位移定理,(6)终值定理,(7)初值定理,30,2-4-2. 拉氏反变换,定义式,通常用部分分式法将复杂函数展成简单函数之和,1. A(s)=0无重根,其中待定系数,31,2、 A(s)=0有重根 设s1为m阶重根,重根待定系数,32,2-4-3. 用拉氏变换法求解微分方程,步骤: (1)方程两边取拉氏变换,并代入初始条件; (2)写出输出量的拉氏变换C(s); (3)取拉氏反变换求出 c(t)。,33,例：用拉氏变换法求y(t),解（1）方程两边取拉氏变换,（2）写出输出量的拉氏变换,34,（3） y(t
11、)= L-1 Y1(s) + Y2(s) = y1(t) + y2(t) =零初始(条件)响应 + 零输入响应 研究系统动态特性一般只研究零初始响应。 y=y1(t)=稳态解（强迫解）+暂态解（自由解）,35,5 非线性微分方程的线性化,返回子目录,控制系统可分为三种： 1. 线性系统：输入输出特性为直线；有成熟理论。 2. 拟（近似）线性系统：在一定条件（在某工作点附近），可近似线性化，两种方法：1） 、小偏差法（增量法）：xy；即在工作点处用斜率直线代替非直线；2）、用代数方法：Taylor（泰勒）级数展开法，去掉2次以上项，近似。 3. 非线性系统,36,线性化的方法,（1） 单变量系统
12、 对连续的非线性系统 y = f(x),在工作点y0=f(x0)附近展成Talor级数:,37,在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。,38,可得 ，简记为 y=kx。 若非线性函数由两个自变量，如zf（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）,经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。,39,（2）双变量的非线性系统y =
13、f（x1，x2） 同样方法可得 Dy = K1 Dx1 + K2 Dx2 式中 在一定条件下，将非线性系统数学模型化为线性模型 常用方法：小偏差法（小增量法） 3、本质非线性系统： 等。可采用局部线性化或分段线性化。,40,注意： (1)线性化方程中的系数k与工作点有关。 (2)线性化模型在小偏差情况下成立。 (3)非线性函数需满足连续可微条件。 (4)线性化后得到的是增量化的微分方程。,41,运动的模态,42,2-2 控制系统的复数域数学模型,一.传递函数的定义和性质,1.定义 在线性定常系统中,当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,43,这里，“初始条件为零”有两方面
14、含义：,一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t= 时的值为零。,二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t= 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。,许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。,44,设系统微分方程,当初始条件均为零时，两边取拉氏变换,45,2.性质, G(s)只取决于系统的结构和参数,与输入无关; G(s)可以与微分方程相互转换; G(s)只适用于初始条件为零的线性定常系统; G(s)只表明输入与输出的动态联系,不能反映系统内部信息; G(s)是复变量 s 的有理分式,故总有 nm; G(s) 是单位脉冲响应 g(t)的拉氏变换。,已知r(t)(
15、t)时，R(s)=1C(s) G(s) R(s)= G(s)Lc(t)=Lg(t),46,二. G(s)的两种标准形式, 零、极点表达式,47, 时间常数表达式, 不同形式间的变换 Ti = -1/pi , j = -1/zj,48,传递函数举例说明,例1.如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。,49,解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、
16、电容、电感的复阻抗分别为R、1Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。,则传递函数为,50,例：直流电动机传递函数,电枢电势平衡方程：,反电势方程：,电磁转矩方程,电机轴上转矩平衡方程,当Mc(s)=0时,机电时间常数,电磁时间常数,忽略Ta,51,直流电动机动态方框图,当Mc(s)=0时,52,例：直流电动机转速闭环控制系统,53,直流电机传函,对放大器,对测速机,闭环系统的传递函数,54,B点为虚地,例：比例积分控制器,55,例：比例微分控制器,静态放大系数,56,4. 典型环节及其传递函数,计算电气网络传递函数的简便方法复阻抗法,57,1. 比例环节,c(t) = Kr(t) , t0
17、,传递函数,58,2. 惯性环节,T-时间常数 K -比例系数,59,对惯性环节输入单位阶跃信号并且具有零初始条件时，其输出量y(t)为：,60,3. 积分环节,61,3、积分环节 积分环节的动态方程为,积分环节在单位阶跃输入下的响应,K比例系数，T积分时间常数。,62,输入是单位阶跃响应，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为：,几个实际微分的例子,RC串联电路,RC 时间常数,63,4. 振荡环节,当r(t) = 1时,64,例 RLC电路,65,振荡环节的单位阶跃响应,66,5. 微分环节,理想:,一阶:,二阶:,G(s) = Ks,G(s) =K(ts+1),67,例: 微分调节器,实际微分环节,68,6. 延迟环节:,c(t) = r(t-),69,三控制系统传递函数的求取,复阻抗,Z1(s)= R1 , Z2(s) = R2 + 1/C2s ,例2-6 求比例积分调节器的传递函数,PI调节器主要用来改善系统的稳态性能。,70,例2-7 求速度控制系统的传递函数,返回,71,解 给定输入为ur; 扰动输入为mc; 输出为n,72,从式(2-36) 式(2-41)中消去中间变量,得mc=0时,输出n对输入ur的传递函数。,
