1、例2、 设一弹簧、质量块、阻 尼器组成的系统如图所示， 当外力F(t)作用于系统时，系 统将产生运动。试写出外力 F(t)与质量块的位移y(t)之间 的微分方程。,解：,1、确立入-出，入-F(t),出y(t)；,2、根据牛顿定律，F=ma；,移项后，可得到：,线性定常二阶微分方程式,对照比较：,相似系统,相似量：,二、线性系统的特性,线性系统是由线性元件组成的系统，该系统的运动方程式可由线性微分方程描述，即：,1、齐次性,2、叠加性,三、非线性微分方程的线性化,例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在， 则在y0=f(
2、x0)附近将y展开 成泰勒级数：,如果偏差x=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项， 上式可写为,K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数 在工作点处可以用该点的切线方程线性化。,在处理线性化问题时，需要注意以下几点：1.上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。2.在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。3.如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系
3、统只能应用非线性理论来研究。4.线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量。,2-3 控制系统的复域数学模型,一、传递函数的定义和性质,线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,若线性定常系统的微分方程为,在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得：,根据传递函数的定义，该线性定常系统的传递函数为,传递函数的性质：,1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特 性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。,2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于 或等于分母
4、多项式的次数n，即mn。且系数均为实数。,3.传递函数与微分方程有相通性。,4.传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。,例3、 求网络的传递函数。,解： 引进中间变量：,列写四个独立方程：,消去中间变量，可得：,二、传递函数的零点和极点,二、典型环节的传递函数,一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和 作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不 多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯 性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。,1、比例环节,式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增）。 比例环节的传递函数为：,比例环节的输出
5、量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。,结构图：,2.惯性环节,惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为,结构图：,3.积分环节,积分环节的微分方程是,而T称为积分时间常数。,4.微分环节,理想微分环节的微分方程为,式中为微分时间常数。,5.振荡环节,振荡环节的微分方程是,式中T为时间常数，为阻尼比，对振荡环节有0 1当输入为单位阶跃函数时， 可用拉氏变换求得环节的输出 响应，如右图所示,6.滞后环节,当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能 复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延 时效应的环节称为纯滞后环节。滞后环节的数学表
6、达式为:,上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：, 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使 用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干 个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合 也可能就是一个典型的数学模型。, 同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成 为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输 出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为 输出时，它却是一个积分环节。, 在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行 分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典 型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。, 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。,
