1、第2章 信 号 分 析,信号按照其频率特性可以分为基带信号和带通信号两类。通信系统的输入信号，即由信源产生的信号，都是基带信号。,带通信号是指带宽有限，并且其频谱低端远离零频率的信号。带通信号通常是已调信号，它的各个频率成分聚集在一个称为载频的中心频率周围。,若按照信号的确定性划分，则它可以分为确知信号和随机信号。若按照信号的能量划分，则可以分为能量信号和功率信号。若按照信号的周期性划分，则可以分为周期性信号和非周期性信号。,2.1 确 知 信 号,2.1.1 什么是确知信号确知信号是指在任何时间的取值都是确定的和可以预知的信号。,例如，一段确定的正弦波就是一个确知信号，如图2-1所示。此信号
2、可以用下面的公式表示式中：A为振幅；为角频率；t为时间。,（2-1）,图2-1 一段正弦波,确知信号还可以分为周期性信号和非周期性信号两种。满足下式的信号称为周期性信号 式中，T为常数。满足上式的最小T称为信号的周期。,对于所有t （2-2）,图2-2所示单个矩形脉冲波形，显然是非周期性信号。,图2-2 矩形脉冲波形,2.1.2 能量信号和功率信号一个信号的能量是它的平均功率和其持续时间的乘积，即式中：E为信号能量；P为信号平均功率；T为信号持续时间。,（2-3）,信号的功率可以表示为式中：V为信号的有效电压（V）；I为信号的有效电流（A）；R为电阻（）。,（2-4）,对于非周期性信号，若其能
3、量为一个正的有限值，则称其为能量信号。例如，图2-2中的矩形脉冲，其能量等于,（2-5）,2.1.3 确知信号的性质1频域性质频域是频率域的简称，频域性质指信号的频率特性。,（1）周期性确知功率信号的频率特性。由傅里叶分析可知，任何一个满足狄利克雷条件的周期性信号都可以展开成傅里叶级数，即一个周期性信号是由许多正弦波形组成的。,傅里叶级数的数学表示式可以用如下三角级数表示（2-6）式中：s(t)为周期性信号；0 = 2/T = 2F，0称为信号基频的角频率；F = 1/T，称为信号的基频；,（2-7）a0、an、bn等称为傅里叶系数，其表示式（2-7）中的上划线表示取时间平均值，即,例如，若图
4、2-3所示的周期性矩形脉冲的一个周期定义如下（2-8）,图2-3 周期性矩形脉冲,则此周期性矩形脉冲的傅里叶级数展开式为（2-9）,式（2-9）中， ， ， n0 当T = 4T1时，此波形是方波；式（2-9）中各傅里叶系数为,将这些系数an（n = 0, 1, 2, ）的值和其对应的谐波次数画出，如图2-4所示。,图2-4 周期性方波的频谱,下面介绍用指数函数表示傅里叶级数的方法。式（2-6）中的每个n0 频率分量都包含正弦和余弦两部分。可以用直角坐标系中的两个轴分别表示这两个分量，如图2-5所示。并用一个矢量cn来表示，,图2-5 信号的矢量表示法,（2-10）,式（2-10）中（2-11
5、）,（2-12）这样，cn的实部an就表示此频率分量的余弦部分大小；cn的虚部bn就表示此频率分量的正弦部分大小；而就是此频率分量的总振幅。,利用欧拉公式（2-13）,可以把式（2-6）作如下改变（2-14）,式（2-14）中 （2-15）（2-16）,将式（2-7）代入式（2-16），得到（2-17） 或（2-18）,式（2-16）中的cn和cn之间为共轭复数关系，即（2-19）,而cn的模（幅度）等于（2-20）,负频率没有物理意义，或者说在物理上不存在负频率的信号。但是，由三角公式（2-21）,可以看出：对于余弦波，数学上负频率和正频率代表的是同一个波形；而对于正弦波，负频率仅表示相位反
6、转180而已。,图2-6 方波的双边频谱图,需要注意，一般来说，cn是复数，但是，在此周期性方波的例子中，由于系数bn等于0，没有余弦项，所以按照式（2-16）计算，cn为实数。否则，此频谱图中画出的仅是cn的模|cn|；还可以另外画出相应的cn的相位谱。,图2-7（a）、（b）、（c）、（d）分别表示了双边谱和单边谱的振幅和相位。,图2-7 周期性信号的幅度谱和相位谱,在物理概念上，可以想象为，把单边谱的每次谐波的振幅的一半分到负频率上，就得到双边谱。但是，按照式（2-16），需要把单边谱的每个谐波的相位符号改变，才是双边谱中对应负频谱分量的相位。,在式（2-6）中右端的各项是互相正交的，故
7、信号功率可以表示为（2-22）,（2）能量信号的频率特性。当图2-3中矩形脉冲的周期T保持不变而T1/T比值不同时，此周期性脉冲波形的频谱图如图2-8所示。,图2-8 不同T1值时，周期性脉冲的频谱图,谱线的第1个零点出现在n = T/2T1处，此处的频率为（2-23）,若令 表示单个脉冲的宽度，则式（2-23）中nF 1/。这就是说，频谱的第1个零点出现在1/ 处。,另一方面，若周期性脉冲信号的周期T增大，而保持脉冲宽度 不变，则相邻谱线的距离F1/T将缩小，如图2-9所示。,图2-9 不同周期T的方波波形和频谱图,信号能量在频率轴上的分布曲线，即能量谱密度曲线S ( f )，如图2-9（c
8、）所示。 此图中已经用一根连续曲线S ( f ) 表示此信号能量分布在不同频率上的相对大小了。,推理可知，能量信号的其能量连续分布在频率轴上。图2-9（c）中能量谱密度S ( f ) 的单位是焦耳/赫兹（J/Hz）。,图（2-10）中在f1和f2之间的阴影区f f2f1的面积表示在此频率范围内信号的能量。,图2-10 能量谱密度曲线,全部曲线下的面积就是此信号的能量，它可以写为（2-24）,若用Ss( f ) 表示双边能量谱，Sd( f ) 表示单边能量谱，则有Sd( f ) = 2Ss( f )，如图2-11所示。,图2-11 双边和单边能量谱,（3）非周期性功率信号的频率特性。 设图2-1
9、2所示的非周期性功率信号n1(t)从延伸到+。现在定义一个新的信号n2(t)，它在T和T之间与n1(t)相同；在此区间之外等于0。,图2-12 非周期性功率信号,这样，由于n2(t)是一个能量信号，故可以按照式（2-24）计算其能量为 （2-25）,式中：E2为n2(t)的能量； 为n2(t)的能量谱密度函数在一小区间内的平均值。,将非周期性功率信号n1(t)的功率P定义为其能量E被时间除，即（2-26）,并将功率谱密度定义为（2-27）,式（2-26）可以改写为（2-28）,式（2-28）中， 为G( f )在区间f = f2 f1上的平均值。G( f )的曲线，如图2-13所示。 G( f
10、 )曲线下的面积等于此信号的总功率。,图2-13 功率谱密度曲线,（4）离散谱和连续谱的关系。周期性功率信号的频谱是一根根离散的谱线Cn，如图2-8所示，我们将其称为离散谱。能量信号和非周期性功率信号在频域中呈现为连续的能量谱密度S(f )或功率谱密度G(f )曲线，称为连续谱。,在数学上用单位冲激函数（ 函数）来表示离散谱的谱密度。, 函数的定义如下（2-29）,在物理概念上，可以把 函数想象成一个极窄的脉冲，它的宽度趋于0，高度趋于无限大，面积等于1。图2-14（a）所示为一个周期性正弦波 ，图2-14（b）所示为它的功率谱密度G( f )（2-30）,图2-14 周期性信号的功率谱密度,
11、若信号的傅里叶级数表示式如式（2-14）,则其功率谱密度可以表示为（2-31）在物理上常把 函数称为单位冲激脉冲，简称冲激脉冲。,2时域性质 时域性质主要包括自相关函数和互相关函数。,自相关函数R()的定义是信号和其位移时间 后的信号的乘积的时间平均值，即（2-32）,图2-15所示举例给出两个周期性信号的功率谱密度和自相关函数。,图2-15 两个周期性信号的功率谱密度和自相关函数,维纳辛钦关系可以用傅里叶积分表示为（2-33）（2-34）,2.2 随 机 信 号,2.2.1 随机信号与随机过程随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。在概率论概念中，随机过程是随机函数的集合。若一随机系统的
12、样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，实际应用中，样本函数一般定义在时间域或者空间域。,这些随机时间函数的集合称为随机过程，而图2-16中每条曲线则称为随机过程的一个样本。,图2-16 大量相同噪声产生器输出电压波形的集合,在随机过程中有一类常见的、重要的随机过程称为平稳随机过程，这种过程不因时间的推移而改变其任何统计特性。,对于平稳随机过程而言，其统计平均值与测量的时间无关（2-35）,我们用 表示随机过程的一个样本的时间平均值。无论随机过程是否平稳，其集合平均值的时间平均值都等于其时间平均值的集合平均值，即（2-36）,2.2.2 随机过程的数字特征1均值随机过程n(t)的统计平均值又常
13、用En(t)表示，简称均值，又称数学期望。 一般说来，它和时间有关，如图2-17所示。,图2-17 随机过程的均值,平稳随机过程，均值与时间无关，是一个常数，即En(t) = a(t) = a （2-38）,2方差随机过程n(t) 的方差Dn(t)定义为（2-39）,式（2-39）表示随机过程的方差等于它与其均值之差的平方的均值，常记为 2(t)。,式（2-39）可以化简为 （2-40）或 （2-41）即方差等于该随机变量平方的均值减其均值的平方。,3自相关函数随机过程的一个特殊的、很重要的统计平均值就是在相隔 秒的时间t1和t2上两个取值乘积的统计平均值，此值称为自相关函数，即（2-42）,
14、若随机信号是平稳的和各态历经的，则自相关函数仅与两个取样时间的间隔有关，即（2-43）,显然，当 = 0时的R( )就等于此随机信号的平均功率，即（2-44）,若一个随机过程的均值和方差与时间无关，且自相关函数和时间起点无关，则称其为广义平稳随机过程，或称宽平稳随机过程。相对于宽平稳随机过程而言，前述平稳随机过程可以称为严平稳随机过程。,宽平稳随机过程、严平稳随机过程和各态历经随机过程之间的关系如图2-18所示。,图2-18 几种随机过程的关系,在通信系统理论中，一般认为，随机信号和噪声都是宽平稳随机过程。 随机信号有功率，自然也有功率谱密度G( f )。,2.2.3 几种重要的概率分布1二项
15、式分布（2-46）称为二项式分布。,二项式分布函数的定义是： ，式中Pk是k个产生器输出1伏电压的概率。,在图2-19中画出了n = 5，p = 1/6时的二项式分布函数F(m)的曲线。,图2-19 二项式分布的分布函数,每个脉冲产生器的输出电压均值为p，所以此二项式分布的均值为（2-47）,每个产生器输出电压的方差等于输出电压平方的均值（现在等于p）减均值的平方，即p p2。所以总输出电压的方差为（2-48）,2正态分布（2-51）称为标准化正态分布概率密度函数。,按照式（2-50），画出正态分布概率密度曲线，如图2-20所示。,图2-20 正态分布概率密度曲线下的面积,正态分布有如下性质。
16、 （1）p(x)曲线对称于直线x = a，即（2-52）,（2）p(x)曲线在xa时达到其最高点 ；在x=a点两侧，曲线单 调下降。当时， 。 （3）p(x)曲线下面的总面积等于1。这一点从概念上很容易理解，即x取所有可能值的总概率等于1。 （4）若干正态分布独立随机变量之和也是一个正态分布的随机变量。,2.2.4 高斯随机过程将概率密度服从式（2-50）的平稳随机过程称为高斯随机过程。高斯随机过程又称正态随机过程。,对于不同的值画出的高斯随机过程概率密度曲线如图2-21所示。由此图可见，标准偏离越小，曲线越瘦高，即x值偏离其均值的概率越小，且x值越集中在其均值的周围。,图2-21 正态分布概
17、率密度曲线,2.2.5 窄带高斯随机过程若一个随机信号的带宽f比中心频率f0小很多，即若f f0，则称其为窄带随机过程或窄带随机信号，如图2-22所示。,图2-22 窄带随机信号,窄带随机过程可用数学公式表述为（2-54）,式中：A(t)表示随机起伏的包络，(t)表示随机相位，两者都是随机过程；0是窄带随机过程的中心角频率。,可以证明，A(t)和(t)的统计特性不服从高斯分布，而是具有如下概率密度（2-58）（2-59）,式（2-58）中的概率密度函数称为瑞利分布，而式（2-59）中的概率密度函数称为均匀分布，图2-23和图2-24所示分别为它们的曲线。,图2-23 瑞利分布概率密度函数曲线,
18、图2-24 均匀分布概率密度函数曲线,2.2.6 正弦波加窄带高斯随机过程设正弦波加窄带噪声的表示式为（2-60）,式中，A为正弦波的确知振幅；0为正弦波的角频率； 为正弦波的随机相位；n(t)为窄带高斯噪声。则可以证明，r(t)的包络的概率密度为（2-61）,式中， 2为n(t)的方差；I0()为零阶修正贝塞尔函数，它的数值可以查表找到，并有I0(0) = 1。,对于最简单的情况，令 = 0，可以计算出（2-62）,式中， ； 称为误差函数，其值可以查数学用表得到。按照式（2-61）和式（2-62）画出的曲线如图2-25所示。,图2-25 莱斯分布曲线,2.3 信号通过线性系统,叠加性：若系
19、统对于激励 和 之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即满足（2-63） 则称该系统是可加的。,对于线性系统，如有激励 和 及任意常数 和 ，则满足（2-64）,2.3.1 确知信号通过线性系统1叠加性设一个线性系统的输入是冲激函数(t)，则其输出将是冲激响应h(t)，如图2-26所示。,图2-26 信号通过线性系统,利用叠加性，若一个线性系统的输入为f (t)，则其输出为（2-65）,输出的频域表示式为（2-66）,2无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小不同和出现时间的滞后，而没有波形上的变化。,若系统的传输函数为 ，则无失真传输的理想条件是：在信号频谱的范
20、围内，有 （1）（2）,即系统的幅频特性 为一常数K，而相频特性应为通过原点的直线。无失真传输的幅频、相频特性如图2-27所示。,图2-27 无失真传输的幅频、相频特性,理想低通滤波器是指它将低于某一角频率 的信号无失真地传送，而阻止角频率高于 的信号通过，其中 称为截止角频率。能使信号通过的频率范围称为通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带。,设理想低通滤波器的截止角频率为 ，通带内幅频特性为 ，相频特性为 ，则此低通滤波器的幅频、相频特性如图2-28所示。,图2-28 理想低通滤波器的幅频、相频特性,3系统带宽图2-29所示为一个实际低通滤波器的幅度特性， 分别称为通带截止频率和阻带截止频率
21、。,图2-29 低通滤波器的技术指标,在实际应用中，通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用 表示；阻带内允许的最小衰减用 表示， 和 分别定义为,（2-67）（2-68）,如果将 归一化为1，式（2-67）和式（2-68）则可以表示为（2-69）（2-70）,当幅度下降到 时， ，此时 ，称 为3dB通带截止频率。 统称为边界频率。,2.3.2 平稳随机过程通过线性系统设 是平稳随机过程 的一个样本函数，它通过一个冲激响应为 的线性滤波器（见图2-30），输出为（2-71a）,图2-30 随机过程通过线性系统,或 （2-71b）,可看成输出随机过程（2-72a）,或
22、（2-72b） 的一个样本函数。,1输出随机过程的数学期望（2-77）式（2-77）表明，输出随机过程的数学期望等于输入随机过程的数学期望k与直流传输函数H(0)的乘积，并且E 与时间t无关。,2输出随机过程的自相关函数（2-78）,从式（2-78）看出，输出随机过程的自相关函数仅与时间间隔有关。按照宽平稳随机过程的定义，由式（2-77）和式（2-78）看出，此输出随机过程还是宽平稳随机过程。,3输出随机过程的功率谱密度（2-79）,由式（2-79）看出，输出随机过程的功率谱密度等于输入随机过程的功率谱密度乘以|H()|2。,4输出随机过程的概率分布式（2-72）可以表示成和式的极限，即（2-80）,假定输入X(t)是高斯过程，所以式（2-80）右端和式中的每一项 在任一时刻上都是一个正态随机变量。,
