1、2-4 介质的极化,导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。,在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。,介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。,式中e 称为极化率，它是一个正实数。,介质极化以后，介质中出现很多排列方
2、向大致相同的电偶极子。为了衡量介质的极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以 表示，即,实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度 与介质中的合成电场强度 E 成正比，即,式中 为体积 V 中第 i 个电偶极子的电矩，N 为V 中电偶极子的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。,这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。,显然，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。有些介质并不
3、是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 与电场强度 的关系可用下列矩阵表示,空间各点极化率相同（即介质参数与位置无关）的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。,极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。,介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。,因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线性均匀各向异性的介质。,介质参数（极化率）与场强的大小无关称为线性介质，否则，称为非线性介
4、质。,各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？,发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明这些极化电荷产生的电位为,式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为,由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。,右式又可写为积分形式,2-5 介质中的静电场,在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为,式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷， 为闭合面S 中的束缚电荷。那么,令
5、 ，求得,此处定义的 称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为,介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。,电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为电位移线，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。,已知各向同性介质的极化强度 ，求得,式中 称为介质的介电常数。已知极化率 e 为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。,实际中经常使用介电常数的相对值，这种
6、相对值称为相对介电常数，以 r 表示，其定义为,可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。,各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为,此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常数与时间无关。,对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得,此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常
7、数换为介质的介电常数即可。,介质中束缚电荷的分布特性,由于,所以有,对于均匀介质,因此，在均匀介质内，若自由电荷体密度 为零，则极化强度矢量 的散度也为零，因而束缚电荷体密度 也为零。,只有在非均匀、或存在自由电荷的介质中，才有可能存在束缚电荷。,2-6 静电场的边界条件,两种介质的边界条件,由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。,为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，围绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为,
8、为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分,为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为,式中E1t 和 E2t 分别表示介质和中电场强度与边界平行的切向分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得,此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。,对于各向同性的线性介质，得,此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位移的切向分量是不连续的。,为了讨论电位移的法向分量变化规律，在边界上围绕某点作一个圆柱面，其高度为h，端面为S。那么根据介质中的高斯定律，得知电位移
9、通过该圆柱面的通量等于圆柱面包围的自由电荷，即,令 h 0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必须足够小，则上述通量应为,式中D1t 及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。边界法线的方向 en 规定为由介质指向介质。,求得,式中 s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此,此式表明，在两种介质边界上电位移的法向分量相等，或者说，电位移的法向分量是连续的。,对于各向同性的线性介质，得,此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续的。,还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为,介质
10、与导体的边界条件,静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡。,由此可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷的体分布。所以，当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。,既然导体中
11、的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即,导体表面存在的表面自由电荷面密度为,或写为,式中 为导体周围介质的介电常数。,已知导体表面是一个等位面，因 ，求得表面电位与电荷的关系为,考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电荷面密度为,与（P.50）式（2-4-5）比，此处多了一负号，是由于此处的单位法向是介质表面的内法线方向。,由,求得边界上位于介质一侧的束缚电荷的面密度为,静电屏蔽：当封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电荷，腔中也不可能存在静电场。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应称为静
12、电屏蔽。,由导体围成的封闭空腔，当腔中无自由电荷时，即使腔外存在自由电荷，腔中也不可能存在静电场。由于导体内部没有静电场，因此若沿腔壁内部作一个闭合曲面，通过其表面的电通一定为零。,当然，总电通为零可能是由于闭合面内部没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违背了静电场的基本特性。,此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。,例 已知半径为r1 的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为 r
13、2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图示。,试求：各区域中的电场强度；各个表面上的自由电荷和 束缚电荷。,解 由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。,在 r r1及 r2r r3 区域中，因导体中不可能存静电场，所以E = 0。,在 r1r r2 区域中，由 ， 得,同理，在 r3r r4 区域中，求得,在 r r4 区域中，求得,根据 及 ，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为,r = r4:,作业：习题2-17、2-19,
