1、第二篇 数学物理方程,第七章 数学物理方程的定解问题,7.1 数学物理方程的导出,一、基本思路,1.受力分析,2. 牛顿定律,3.振动方程,1.目标：建立描述物理过程的微分方程。,2.操作：物理过程由物理量的变化描述选取物理量，物理量的微分表示它的变化；物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定律等）建立微分方程。,1.均匀弦的微小横振动,变化,二、几种基本的方程,A.弦的横振动,B.无穷小的一段弦 B,C.受力分析和运动方程,弦的原长,现长,弦长的变化产生回到原位置的张力,沿x-方向，不出现平移,弦长,质量密度,B段的质量,沿垂直于x-轴方向,小振动：,波动方程。,波速,D.受迫振动,在上式推导
2、过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运动为受迫振动。,设单位长度上弦受力 ，则 dx 受力为 。,最后得受迫振动方程,2.均匀杆的纵振动,A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律,Y：杨氏模量，单位面积上的应力。,杆中选 L=dx 长一段,时刻t，x 一端位移 u，x+dx 一端位移 u+du。,杆的伸长,B.运动方程,更长的dx，两端的 相对伸长和应力将 不同，杆受力,牛顿定律：,即,为波速,补充,连续性方程,连续分布的某种物理量，如介质：建立座标,密度：单位容积中物理量的多少,流强度：单位时间通过单位面积 的该物理量（v 为流速）,单位时间沿 x-
3、方向净流入量,单位时间净流入量 等于由密度增加的量,二者相等得连续性方程,表示物质的总量守恒,3.流体力学与声学方程,A.连续介质性质：,当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此的密度 ，速度 v 和压强 P。 振动引起密度的疏密变化。,例如，在静止的介质中，介质的速度为零，并且有压强 和密度 。当振动出现时，介质中各处有介质的振动速度 v ，振动的传播速度声速；显然， v声速，并且设密度的相对变化 s 为,B.拉普拉斯假定,欧拉方程（流体动力学方程）,连续性方程,物态方程,声传播为绝热过程：,过程方程,C.方程,s,v 小量,f
4、=0,4. 真空电磁波方程,电磁学的麦克斯韦方程（微分形式）,真空时：,5. 扩散方程,A. 扩散现象,系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。,B.菲克定律,浓度梯度：,扩散流强度：单位时间通过单位面积的物质的量,C. 扩散方程,D 均匀,三维,连续性方程,带入菲克定律,建立微分方程的两类方法,1. 直接从方程出发,麦克斯韦方程,菲克定律+连续性方程=扩散方程,欧拉方程（流体动力学方程）,连续性方程,绝热过程,均匀杆的纵振动,2. 从分析物理对象出发,均匀弦的微小横振动,6.热传导方程,热传导: 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。,热力学问题。,热力
5、学第一定律：,热力学过程交换的热量,热力学过程外界对系统做的功,系统的内能,热传导过程 dW=0，,系统传导的热量就是内能的改变。,系统的温度,热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。,能量守恒，满足连续性方程,热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。,傅立叶定律：,热传导系数,建立热传导与扩散间的对比,浓度温度,扩散流强度热流强度,斐克定律傅立叶定律,连续性方程热传导方程,一维：,三维,它们形式完全相同，通称为扩散方程。,7.稳定分布,扩散方程,的解一般含时,不含时的解满足方程,此为拉普拉斯方程。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足拉普拉斯方程。,8.真空静电场,高斯定理,真空还有,
6、又,最后：,9.薛定谔方程,扩散类方程,7.2 定解条件,一、常微分方程定解问题回顾,对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的代数方程。解这个代数方程，得导数。由积分，从导数得出原函数。常微分方程求解就是积分。,积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。,通常通过未知函数在自变量的一个特定值的值，如初值（u(t=0)）确定积分常数。从而定解。,积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。,二、数学物理方程的定解问题,1. 初始条件,类似于常微分方程定解过程的初值。,偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积分常数。复杂！,t0: 初始条件。,x,
7、y,z0，l : 边界条件,自变量特定值：,初始“位移”,初始“速度”,T的一次方程，只需要初始位移 T的二次方程还需要初始速度。,注： 和 是空间座标的函数，在系统的任何位置都是确定的！,例如,t=0:,特定的时间， 变化的空间。,2.边界条件,以一维情况为例,特定的空间， 变化的时间。,边界划分系统和外界。系统和外界之间的不同的关系，决定了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定值的函数与函数的导数两项。不同的边界条件决定了这两项的不同的组合，故可能出现几类边界条件。,A.第一类边界条件,只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。,如：a.两端固定的弦振动,和,如上图,b.细杆热传导,
8、或随时间变化的温度,恒温,c.扩散,恒定浓度，或随时间变化的浓度。,B.第二类边界条件,第一类边界条件的基本形式：,速度确定。,a.细杆的纵振动。当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的相对伸长也为零：,b.细杆热传导。端点绝热，热流强度为零：由傅立叶定律：,C.第三类边界条件,位移和速度的组合,a.细杆热传导。端点“自由”冷却。,牛顿冷却定律：,T 为环境温度。,根据傅立叶定律，在x=l 处：,负x方向,正x方向,在x=0 处,b.细杆纵振动。端点与固定点弹性连接。应力为弹性力,胡克定律：,弹性力：,则在端点,一般表达式：,这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，需根据具体情况制定
9、之。,3.衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点跃变点。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。,衔接条件更加依赖于具体的物理情况。,横向力 作用于 点。,弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。,又，横向力应与张力平衡：,这两个等式就是衔接条件。,求解数学物理方程,方法：,行波法,驻波法,积分变换,格林函数法,7.4 达朗贝尔公式 定解问题,（一）波动方程的达朗贝尔公式,将 和 看作如同数 算子，可以加减乘除：,A.坐标变换,行波法,因式分解,当 a=1 沿 x 和 t
10、 求导，变成沿对角线求导。,变换：,即,B.通解,对 积分：,积分常数依赖于,再积分：,为两个待定函数的和。,坐标变换：,新、旧坐标 时间同， 新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 ， 在旧坐标中以速度 d 沿正向运动。,f1 (x+at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动。,意义,函数 f2(x-at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴正方向运动。,C.定解 达朗贝尔公式,确定待定函数的形式,无限长，即无边界条件。,设初始条件,行波,一半,一半,例,例,解：,设,从达朗贝尔公式 可以看出，波动方程度解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的
11、形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程度解时的重要性。,（二）端点的反射,一个端点固定,设初始条件为,边界条件,达朗贝尔公式是无限长弦的公式。,上式中后两项无意义。 必须将 u(x,t) 延拓到,作奇延拓：,x,对称点,延拓,半波损失,一个端点自由,设初始条件为,边界条件,应该是偶延拓,偶延拓,无半波损失,（三）跃变点的反射,无限长杆，x0 两部分的杨氏模量和密度分别为 。x=0 是跃变点。,设有行波 从区域 I 向 x=0 点运动。到 x=0 产生反射和透射。,取此波在 t=0 时刻抵达 x=0 .,衔接条件,区域 I 中的行波：,区域 II 中，只有透射波,衔接条件,又,反射系数,透射系数,习题 7.4.1,解：,习题 7.4.6,设初始条件为,和,边界条件,
