1、第五章 虚功原理与结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures,主要内容：,5.1 结构位移计算概述 5.2 虚功原理 5.3 结构位移计算的一般公式 5.4 荷载作用下的位移计算 （ 难点） 5.5 图乘法 （重点） 5.6 温度作用时的位移计算,结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures),.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures),引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,为什么要计算 位移?,1. 结构力
2、学的两类基本问题,内力计算问题，即强度问题,位移计算问题，即刚度问题, 结构位移计算概述,2. 结构位移计算目的,（1）结构刚度验算验算结构的位移是否超过允许的限制；,（2）为超静定的内力计算打下基础 解超静定结构，除了考虑平衡条件，还要考虑变形条件。,铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度。,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。,高层建筑的最大层间位移 1/800 层高。,（1）广义力 力、一对力、力偶、一对力偶的统称。,线位移,角位移,相对线位移,相对角位移,3. 广义力与广义位移,
3、（2）广义位移 线位移、转角位移、相对位移的统称。,结构位移及其分类,角位移,线位移,位移的分类：线位移；角位移。,相对角位移,常用希腊字母读法,4.变形受荷载后发生的尺寸和形状的改变,三种基本变形：,(1),(2),(3),5.刚体位移与形变位移,支座移动梁为刚体位移,（静定结构的支座移动不引起变形和内力）,（形变位移段）,（刚体位移段）,5-2 刚体体系虚功原理,(一)虚功的概念,如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，即作功的力与相应于力的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所作的功称为虚功。,力系所属状态称为力状态 位移所属状态称为位移状态,1.虚功,(一)虚功的概念,2.虚功与实功
4、的差别,FP1,11,A,B,11,O,A,B,FP,FP1,FP1,A,B,FP2,I,II,2.虚功与实功的差别,虚功,所谓“虚”就是表示位移与作功的力无关。,2. 实功与虚功,（1）实功 力在其作用方向上所做的功,W= P,（2）虚功 力在由其它原因产生的位移上所做的功,（1）刚体体系虚功原理所有外力所做的虚功之和等于零，即：,4.虚功原理的两种情况,（1）虚力原理 位移是真实的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。,（2）虚位移原理 力是真实的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。,（2）变形体系虚功原理所有外力做的虚功 = 所有内力做的虚功，即：,3.两种体系的虚功原理
5、,（外力位移）,（内力变形）,虚功原理,具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚体位移上所作的虚功总和恒等于零。,刚体体系的虚功方程,所谓理想约束，是指其约束力在虚位移上所作的功恒等于零的约束。,应用虚力原理求刚体体系的位移,1. 刚体体系虚功原理,支座移动产生的位移刚体位移,制造误差产生的位移刚体位移,荷载作用产生的位移变形体位移,温度改变产生的位移变形体位移,2. 静定结构位移的类型,用刚体体系的 虚力原理计算,用变形体系的 虚力原理计算,所有外力所做的虚功之和等于零，即：,3.支座移动产生的位移计算,2）运用刚体的虚功原理求解,得：,（
6、真实的位移状态）,（虚设的力状态）,L,解：,1）虚设相应的力状态在A点作用一单位力偶,虚设的力状态上的所有外力在真实 的位移状态上所做的虚功之和为零， 有：,支座移动引起的位移计算公式：,其中：,由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力,C 真实的支座移动,刚体虚功原理的两种应用,1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。,例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。,解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.,直线,由外力虚功总和为零，即：,通常取,单位位移法(Unit-Displacement Method),(1)对静定结构，这里实际
7、用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题,例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 .,2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,由 求得：,解得：,这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它于 1874提出。,(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实 际位移状态无关，故 可设单
8、位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来 解几何问题。,虚功方程为：,第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。,虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。,练习 图示三铰刚架A支座往下移动了b， B支座往右移动了a，求C点的竖向位移,解：（1）求C点的竖向位移,在C点作用一个竖向单位力， 求出 和 。,虚设力状态,支座移动引起的位移计算公式：,4a,A,D,C,B,2a,a,练习、图示多跨静定梁，支座A有给
9、定的向上的竖向 位移c，求C点的竖向位移。, 力的虚设方法,力的大小 虚设单位力 。,力的位置 作用在所求位移的点及方向上。,力的方向 可随意假设；若求出位移为正，则位移与假设的方向一致；若求出位移为负，则位移与假设的方向相反。,力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩； 求二点的相对线位移加一对相反的单位集中力； 求二截面的相对转角要加一对单位力矩。,求C点竖向位移,求B点水平位移,求C点转角位移,求A、B两点 相对竖向位移,求A、B两点 相对水平位移,求CD杆的转角位移,L,求C点两边的相对转角,4. 制造误差产生的位移计算,用刚体的虚力原理计算,例3 图示桁架AC杆比要求的短了2
10、cm,求由此产生的C点水平位移。,解：建立相应的虚力状态，求出AC杆的内力。,真实的位移状态,虚设的力状态,得：,正负号选定：虚内力 拉压，误差 长为短为。,一般公式的普遍性表现在：,2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；,1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；,3. 材料性质：线性、非线性；,4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；,5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。,5.3结构位移计算的一般公式 5.3.1 局部变形时静定结构的位移计算,1. 微分杆件单元的变形,微分杆件单元的变形：,轴向变形,剪切变形,弯曲变形,原理的表述：
11、任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变 形体所接受的总虚变形功Wi。也即恒有 如下虚功方程成立,We =Wi,变形体的虚功原理,2. 局部变形时静定结构的位移计算,5.3.2 结构位移计算的一般公式,适用于一根杆件,适用于多根杆件,适用范围更一般的公式 P160 5-10,其中，,为所求位移，,结构的弯曲应变、剪应变和轴向应变,为所求位移结构的支座位移；,单位荷载作用下结构的内力和对应于支座位移的支座反力。,5.3. 3 结构广义位移的计算,公式具有普遍性，适用于弯曲变形、剪切变形和轴向变形，适用于荷载、支座位移和温度变化产
12、生的位移计算，适用于静定结构及超静定结构，也适用于弹性材料和非弹性材料等。,单位荷载法的关键是在对应于所求位移的位置上虚设单位荷载：,即：什么样的位移要虚设什么样的单位荷载,即：线位移虚设单位集中荷载,即：角位移虚设单位集中力偶,5.3.4 结构位移计算的一般步骤,(1) 在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载；,(2) 根据平衡条件求出结构单位荷载作用下的内力及支座反力；,线位移：虚设单位集中荷载,角位移：虚设单位集中力偶,相对线位移：虚设一对大小相等、方向相反的单位集中荷载,相对角位移：虚设一对大小相等、方向相反的单位集中力偶,(3) 利用公式求位移：,5.4 荷载作用下的位移计算 5.
13、4.1 静定结构在荷载作用下的位移计算公式,从一般公式可化简得到结构在荷载作用下位移计算公式：,为由荷载产生的变形， 可根据材料力学得到：,其中，EA为材料抗拉刚度，GA为抗剪刚度，EI为抗弯刚度。,为静定结构在荷载作用下的内力。则公式可简化为：,式中：,轴向,剪切,弯曲,5.4.3 各种实际结构的位移计算公式,位移计算公式的轴力项、剪力项和弯矩项这三个变形项，对于不同的实际结构，根据不同内力其数值大小是各不相同的：,对于梁和刚架，主要内力为弯矩，可只考虑弯矩项，其它两可忽略：,对于桁架，其内力主要为轴力，可只计轴力项：,对于组合结构，链杆考虑轴力项，梁式杆考虑弯矩项：,对于拱，需要考虑轴力项
14、和弯矩项：,内力的正负号规定如下：,位移计算的步骤,(1) 在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载；,(2) 求结构在已知荷载作用下的内力和单位荷载作用下的内力；,(3) 根据不同结构，选择相应的公式计算位移。,例 1：已知图示梁的E 、G, 求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.,位移方向是如 何确定的?,练习：,求中间C点的竖向位移及B端截面的转角。,1.求中间C点的竖向位移,(1)虚设单位荷载,(2)求内力,(3)求位移,1.求中间C点的竖向位移,2,2.求B端截面的转角,(1)虚设单位荷载,(2)求内力,(3)求位
15、移,2.求B端截面的转角,(),小结:,1.通常，梁和刚架的位移计算只要考虑弯矩项即可满足精度要求；,2.正确虚设单位荷载是位移计算的首要关键；,3.积分法求位移时必需要选取一个统一的坐标系；,4.结构的内力必需要规定统一的正负号方向；,5.最后的位移值必需标示有实际的方向。,例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知),解：构造虚设的力状态如图示,小曲率杆可利用直杆公式近 似计算;轴向变形,剪切变形对位 移的影响可略去不计,5.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,1.梁与刚架,二.位移计算公式,2.桁架,3.组合结构,4.拱,这些公式的适 用条件是什么?,例题:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.,NP,Ni,作业:p200,5-7，只需要求a端的。,练习：求刚架A点的竖向位移。,解：构造虚设状态,（实际状态）,分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：,（虚拟状态）,荷载内力图,单位内力图,将内力方程代入公式,，有：,
