1、物体的力学平衡状态,第一讲 物体的平衡,一、力学中物体的平衡概念,（一）、物体的力学平衡状态,静止,匀速直线运动,匀速转动（绕定轴）,静平衡,动平衡,1、恒定平衡,2、瞬间的平衡,基本知识与方法,应用平衡条件解题注意（二）,（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需求的）的力矩为零,例题、证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。,A,B,C,证明：,木板受力如图所示。,以BC为转动轴，,所以,分别以AC、AB边为轴则可得到,所以有,有平衡条件有：,（三）正确判断受力方向,（1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三
2、个力的方向,依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必 共面共点。,墙壁对横杆AB 的作用力R 的方向由此得以确定。,1、准确确定力的方向,用“反证法”证明依据的正确性若F3 不在 F1 和F2所决定的平面内，则F1 与F2 的合力F12 就不可能与 F3 反向；若F3 不过F1 与F2 的交点 P，则对过P 点的不与F3 平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。,（2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第n个力的方向。,依据：若n个力平衡，且其中的（n-1）个力交于一点，则第n个力的作用线必过此点。,用反证法证明依据 若第n个力不过此点，则该力对过此点的转
3、 轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此 转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的 合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。,应用平衡条件解题注意（三）,用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张角等于 。（假定圆规两臂等长，考虑一个简单模型，以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍替代实际中的圆规）,两虚线分别为角平分线和两边中点的边线。所以即为重心。则绳子的延长线过点。,角越大，A点越高,O,静摩擦角,1、静摩擦角的概念,（1）定义：,（2）几何意义：,最大静摩擦力fm和正压力N 的合力与正压力N 夹角。,( 0是全反力R与N 的最大夹角。),全反力,（3）静摩擦角概念的应
4、用,注意：0的大小仅由两接触面的材料性质所决定,利用静摩擦角解题有时会很方便,例题、 如图所示，有一长为l，重为W0匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上， 杆端与墙壁的静摩擦系数为。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端 固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为。（1）求杆能保持平衡时与应满足的条件;（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物， 则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意 重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与A点的距离。,分析：,（1）杆未挂重物时受力如图,你能否确定R的方向？,由力的
5、平衡条件及几何关系知,既然杆能保持平衡，,所以应有,即,A,B,C,T,W0,（2）杆挂上重物W时,重物挂在何处能使 1、R和N的夹角02、 R和N的夹角0,作出墙壁和杆间的静摩擦角0 =BAD。,又作DP AB，,所得交点P 即为所求。,若重物W挂在P、B之间：,无论W多大，均有0,若重物W挂在P、A之间：,当W足够大时，就能使0,由几何关系得,由此解得,如何计算AP = ?,如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径分别为R和r，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力F，设各接触处的静摩擦因数都是，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问应满足什么条件？,解：,系统
6、的受力情况如图所示.,(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用.,(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力F，重力G1，小圆柱对它的作用力R1.由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点,这点就是A点.角不大于最大摩擦角,(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.,即有,如图2所示，同样应该有,所以由上面三式得,由图2 知,由图1得,所以,于是,例一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因
7、数分别为1、2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角。,关键：判断临界情况下，A、B两端同时达到临界，A端达到B端未达到，或是B端达到而A端尚未达到？,结论：梯子与地面成最小夹角而平衡时，A、B端同时达到最大静摩擦力。,拓变：若已知均匀梯子的质量为m，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为，一个质量为M的人沿梯子往上爬，为了保证人的安全，对梯子的放置有什么要求？,切入点在哪里？,为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。,（M+m)g,D,C,N,E,N,f,二、微元法的应用 在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，对于质量不可忽略的绳子，通常选取长
8、度微元进行研究。,例题：已知原长为、劲度系数为的弹簧，其线密度为，铅垂悬挂，求由其自重引起的伸长。,问题的切入点在哪？,为什么会伸长？,各部分的伸长是否均匀,确定研究对象,原长为x的部分,受到向下原长为x的那部分重力,如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为.试求铁链A端受的拉力T.,解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受
9、力情况.,在铁链上任取长为L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：,由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大T，所以整个铁链对A端的拉力是各段上T的和，,如图所示，质量分布均匀的细链，长为L10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h =2m，设人的提拉力F100N，试求天花板对细链的作用力.,虚功原理,许多平衡状态的问题,可以假设其状态发生一个微小的变化,某一个力做了一个微小的功W,使系统的势能发生了一个微小的变化E,然后利用W = E求出所需要的物理量,这就是虚功原理.该原理
10、是由伯努利首先提出来的。,解: (虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:,人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元L从P点移到Q点，链条的势能减少了. 据功能原理有,又,所以,三、摩擦平衡系统的处理,求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则上与光滑系统相似，只是要在接触处加上摩擦力，但由于摩擦力可以在0到fmax之间取值，往往使问题复杂化。摩擦平衡问题通常有三类：平衡的判断、求临界平衡和平衡范围。核心问题是求解临界平衡，其它两类问题可归纳为临界平衡，临界平衡状态的判断又是求解中需要
11、解决的首要问题。对于多点摩擦，先后滑动。这类问题中，有多处摩擦，但系统的临界状态只要求其中一处或两处达到最大摩擦力。到底哪一处先达到最大值呢？若不能事先作出确切判断，就必须把所有可能的情形一一求算，最后选取实际出现的情形。,例题:如图所示，物块A、B、滚轮C质量均为m。滚轮C由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r和r。各接触面处静摩擦系数均为 ，求维持系统平衡时， 最小值为多少？,mg,Nc,fc,NP,fP,mg,NB,NP,fP,fB,学生最初的感觉不易下手,何为的最小值呢?如何理解?,对轮C有,对B物有,NC和NB哪一个大呢?,对轮C以O为轴满足,而对整体又必须有,这说明B和地面
12、之间已经到达最大静摩擦力时轮C与地面之间尚未到达最大静摩擦力,从结构上可看出B与C和B与地面之间同时达到最大静摩擦力,考虑到,质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。为达到图示的平衡状态，参数m、M、L、d 、应满足什么条件？,受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：,杆不滑动的条件为：,以m所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：,以桌棱为轴转动平衡方程为：,物体不转动的条件是：,如图，AB、CD杆各长3和4，AD=DB，A、D、B、C处为光滑铰链，E处为光滑接触，ABC=/2，各杆都是轻杆
13、。现在DE杆上作用一个力偶m，求A、C两处的作用力。,N1,N2,N1=N2=N,N,NAx,NBX,NAY,NBY,NBy,N,NCy,浮体问题,一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆筒，洞由一个质量为m、半径为R的球堵住。容器中的水慢慢减少，当达到一个确定值h0时，球从筒中升起，求h0,切入点，从小球的受力分析：,mg,F浮,同学可能会想到洞边缘的支持力,第一个难点，浮力如何表示？,从表达式可看出，当h足够大时，F为负的，表示力向下，当h减小时，F逐步增大。,对上式求导，可得,F有极大值,要使小球浮起，须满足,七、用“三视图”进行受力分析,有时已知的研究对象是一个立体模型，直接分析有困难，
14、需对研究对象从不同的角度去观察和剖视，得到的平面图称为“三视图”。即：正视图、俯视图、侧视图。但也有从平面图转化成立体图的情形。,例题：三根重均为G，长均为L的相同均匀铁杆（其直径dL）对称地搁在一起，三杆底端间均相距L。若有一重为G的人坐在A杆的中点处，则A杆顶端所受作用力的大小为多少？方向如何？,2G,a,O,T,对OA杆：以A为支点,对OB、OC杆整体、以BC为轴,6. 半径为r，质量为m 的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r 的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触. 现取一质量也为m、半
15、径为R的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦因数为=3/（15）1/2 ，问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？,解：,由图1(俯视图）可见，,图2（剖面图）为球1的受力图.,当竖直向上提起圆筒时，能把4个球一起提起，下面两式应得到满足,否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动.,以球1为研究对象，取O1为轴，由力矩平衡条件易得,以图2中的A为轴，可得,由此式易知，N1 N2 ,所以只要(2)式得到满足，(1)式就自然得到满足.,又以图2中的B为轴，可得,再以4个球为整体作为研究对象，有,由(3)
16、、(5)、(6)式可得,再结合(2)式可得,两边平方，整理后可得,由此可解得,（另一解 舍去）,设 Rnr ,由图2的几何关系可得,所以,故,又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须,结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式,例题：三个半径均为r，质量相等的球放在一个半球形的碗中，现把第四个半径也为r，质量相等的球放到这三个球的正上方，要使这四个球都能静止，半球形碗的半径R应满足的条件？不考虑各处的摩擦。,这里为什么强调半球形碗的半径R应满足的条件？,若半球形碗的半径太大，第四球放上去会使下面三个球互相散开，那么，碗半径的最大值出现在什么时候呢？,上面的球放了以后，下面的3个球尽管还
17、接触，但相互之间无相互作用，则4个球的球心在空间呈什么形状呢？,mg,F,N,对B球在竖直方向分析,在水平方向有,例题：在水平M上有一个正方形薄木板ABCD，在木板上静放一质量为m的小物块，如图所示，现保持木板的AB边不动，将木板以AB边为轴缓慢向上转动，使木板AD边与水平面成角度；然后再木板的AD边不动，将木板以AD边为轴缓慢向上转动，使木板的AB边与水平面成相同的角度；若转动过程中小物块始终相对于木板静止，则最终小物块所受的静摩擦力大小为多少？,学生的可能解法：,mg,N1,F1,F1,N1,N2,F2,三、静平衡的稳定性,反映的是处于静平衡的物体克服 所遭遇的（破坏平衡的）微小扰动的性能
18、。,（一）概念：,1、稳定平衡,2、非稳定平衡,2,3、随遇平衡,3,平衡的稳定性,1,下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现：,平衡的稳定性,1、稳定平衡,2、非稳定平衡,3、随遇平衡,（三）物体平衡的稳定性的判定,1、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。,2、受力矩分析：看物体偏离平衡位置后，所受力矩是否总是使物体转向平衡位置。,3、重心升降（如果有重心变化）分析：看物体偏离平衡位置后，其重心高度如何变 化。,4、势能分析：看物体偏离平衡位置后，其势能如何变化。,例题：如图装置，它是由一个长为L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的长为b的细木杆，及在木
19、杆的末端装有质量同为m的小重球而做成。木钉及木杆的重量忽略不计，木钉与木杆间的夹角为 。此装置放在硬质木柱上。试求：间应当满足什么关系才能使木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以O点为支点左右摆动而不至倾倒。,分析：木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以O点为支点左右摆动而不至倾倒，即处于稳定平衡。因此，也就是要求此装置稳定平衡的条件。,方法一：力矩判断法,以逆时针方向为正,要求,方法二：,重心升降法,装置平衡时，重心离O点的高度,图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加一竖直向下的力F，令 ，求桌面对桌腿1的压力F1。,分析：设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为F1、F2、F3、F4因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得,由于对称性，,考察对桌面对角线BD的力矩，由力矩平衡条件可得,根据题意，,c=0对应于力F的作用点在O点，c=1对应于F作用点在A点.,设桌腿的劲度系数为k, 在力F的作用下，腿1的形变为F1/k，腿2和4的形变均为F2/k ，腿3的形变为F3/k 依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足,当,表示腿3无形变；,表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视,综合以上讨论得,
