1、图论及其应用,第六章 着色问题,图论及其应用,2,6.1 边色数,k-边着色（k-edge coloring）C C是k种色在图G的边集上的一种分配。 C是E(G)的一个k-划分，即 C =(E1, Ek) 边着色C是正常的 每个Ei都是G的一个匹配。 G为k-边可着色的（k-edge colorable） G有一正常k-边着色。 存在E(G)的一个k-划分 C =（E1, Ek），使每个Ei 都是G的一个匹配。 （注：允许Ei= ） 显然，G为k-边可着色的 G为p-边可着色的 (p k). G的边色数（edge chromatic number）(G) = min kG为k-边可着色的 。
2、 G为k-边色的（k-edge chromatic） (G)=k 。,图论及其应用,3,6.1 边色数,例：n个人举行一些两两会谈，每次会谈用一个单元时间。问最少要多少单元时间，才能安排完所有会谈？解：作一n顶点图G，其中两顶点相邻当且仅当对应的两人间要安排一次会谈。易见，所需时间单元数 (G) 。称色i表现(represented)于顶点v 与v相关联的某一边有色i。,图论及其应用,4,6.1 边色数,引理6.1.1 设连通图G不是奇圈，则G有一2-边着色，使该二色表现于G的每个度 2的顶点。 证明：不妨设G为非平凡的。 (A) 若G为Euler图： 若G 为一个圈： 则G为偶圈，从而G的一
3、个正常2-边着色满足要求。 若G不是一个圈：则一定存在顶点v0 ，使d(v0) 4 (Euler图每个顶点的度均为偶数）。令 v0 e1 v1 e2 。e v 为G一的Euler环游 （ v = v0 ）。令 E1 与 E2 分别为Euler环游中下标为奇数与偶数的边子集。则G 的2-边着色 C=（E1，E2）满足要求。,图论及其应用,5,6.1 边色数,(B) 若G为非Euler环游 ：往G中加一新顶点v0 ，并将v0 与G中每个度为奇数顶点都用一新边连起来，得图G 。显然，G为一Euler图 。令v0 e1 v1 e2 e v （ v = v0 ）为G的一Euler环游 。与(A)一样定义
4、 C =（E1，E2），易见C = ( E1 E，E2 E）满足要求。 记号 c(v) = 边着色C表现于v的不同颜色数。 易见， c(v) d(v) v V 。 C为正常边着色 c(v) = d(v) v V 。 称G的k-边着色C 为其k-边着色C的一个改进 。 C为最优k-边着色（optimal k-edge colouring） C不能再改进 。,图论及其应用,6,6.1 边色数,引理6.1.2 设 C =（E1 ，。，Ek）为G的一个最优k-边着色。若G中有一顶点u及色i与j，使i不表现于u，而j在u上至少表现2次。则GEi Ej 中含u的分支是一奇圈。 证明：令H为GEi Ej 中
5、含u的分支。假设H不是奇圈，由引理6.1.1.，H有一2-边着色，使该二色表现于H的每个度2顶点上。以这方式，用色i与j对H重新边着色，得G的一个新的k-边着色C。显然， c(u) = c(u) + 1 ， c(v) c(v) vu ， ， 这与C为最优矛盾。 ,图论及其应用,7,6.1 边色数,定理6.1 设G为偶图，则 = 。 证明： （Wilson）对 进行归纳。当 = 1 时显然成立。假设对 k( 2) 都成立，而 (G)= k 。任取G的一边 e = uv ，考虑 G = G - e 。 由归纳假设，G 有一 (G)-正常边着色 C=E1,.,E(G)。 若 (G) (G)，则G显然
6、有(G)-正常边着色，证完； 否则，(G) = (G)。令Au与Av各表示C中不表现于u与v的色集。由于在G中u与v都不是其最大度顶点，从而有Au,Av 当 Au Av 时：将Au Av 之一色着在边e上，即得G的(G)-正常边着色。 Au Av = 时：任取色i Au 及色j Av 。令H为GEi Ej 中含u的分 支。易见，H是一条路，由色i与色j边交替组成。因此，v一定不在H上（不然，由于H的第一条边有色j，最后一边有i，其长为偶数。这导致G中含一奇圈H + e，矛盾。）对换H上的色i与j，得G的另一正常 (G)-边着色，其中在u与v上色j都不表现。 再将色j着在e上，即得G的正常 (G
7、)-边着色 。,图论及其应用,8,6.1 边色数习题,6.1.1 找出一适当的边着色以证明(Km,n) = (Km,n)。 6.1.2 (a) 证明：任一偶图G都有一-正则偶母图。 （不一定为生成母图！） (b) 利用(a)给出定理6.1 的另一证明。 6.1.3 叙述求偶图G的正常-边着色的好算法。 6.1.4* 证明：若偶图G有 0 ，则G有一-边着色，使所有 种色在每一顶点上都表 现。 6.1.5 每一简单、3-正则、H-图，都有 = 3 。 6.1.6 ( Issacs引理)设G为3-正则图，且其上有一3-边着色，则在G的任一边割中(任 S V )，3-种色边的奇偶性相同。 （提示：考
8、虑GEi Ej，ij，其中C=(E1, E2, E3)为G的3-边着色）,图论及其应用,9,6.1 Vizing定理,定理6.2 (Vizing,1964) 对简单图G有 = 或 + 1 。 证明：（Bollobas证法）不妨设G中 除边uv1外 都已用色 1,2, +1 进行了正常边着色。下文中我们恒用Ei表示G中全体色i边的集合。注意到，G的每个顶点上都至少有一色未表现。令顶点u，v1 上各有色i0，i1 未表现。我们可逐步找到不同的色、边序列： i0 ， i1 ， i2 ，ij ， ； uv1 ， uv2 ，uv3 ,，uvj ， 。 其中， 色ij 是顶点 vj 上未表现的（任意取定的
9、）一色； 边uvj 上有色ij-1 。 j=2，3， 。 显然，上述过程至多进行到某q（ ）次而停止 （无法继续满足上述条件）。 这时只有两种可能： (A) 色iq 未表现于顶点u上（即没有一条u的关联边有色iq ）： 重新进行边着色如下， uvj 改着色ij 1 j q-1 并抹去边uvq 上的色 iq-1 。 得G中除uvq外的正常（ +1）边着色。其中u与vq上色iq 同时不表现。将uvq 改着色 iq 即得G的正常（ +1）边着色。,图论及其应用,10,6.2 Vizing定理,(B)iq = ik 某 1 k q-1 ： 重新进行边着色如下 ， 将uvj 改着色ij 1 j k 并抹
10、去边uvk+1 上的色 ik 。 易见， H = 的每个分支是路或圈，由色i0与ik的 边交错组成，且 u，vk+1，vq 在H中的度 1。 从而，该三顶点不可能同时在H的一分支中。这时 以下二情形至少有一个为真， u 与vk+1不在H的同一分支中：将H的含vk+1 分支中的色i0 与ik对换，得G 的除uvk+1外的正常（ +1）-边着色，其中u与vk+1上色i0都未表 现。从而，G有一正常（ +1）-边着色。 u与vq不在H的同一分支中： 再继续调整边着色如下， 将uvj 改着色ij k+1 j q-1 并抹去边uvq上的色 （iq-1 ） 易见，上述更动并未涉及色i0与ik ，因此H 保
11、持不变。将H中含vq分支的色i0 与 ik 对换，得G 的除uvq外的正常（ +1）-边着色，其中在u与vq上色i0都未表现。从而，G有一正常（ +1）-边着色。 ,图论及其应用,11,6.2 Vizing定理,注1 对一般图有Vizing定理 设G为无环图，则 + ，其中是G的重数（连接G中每一 对顶点上的最大边数） 。 注2 NP-complete prob：已给简单图G，是否有 = ？ 注3 “2-边连通、3-正则、简单、平面图都有 = 3” “4-色猜想成立”。,图论及其应用,12,6.2 Vizing定理习题,6.2.1* 找出适当的边着色以证明(K2N-1) = (K2N) = 2
12、n-1 。 6.2.2 为奇数的非空正则简单图G有 = + 1 。 6.2.3(a) 设简单图G中 = 2n+1且 n ，则 = +1 ； (b) 利用(a)证明： 若G是从有偶数个顶点的简单图中剖分一条边所得的图，则 = +1 ； 若G是从有奇数个顶点的简单k正则图中删去少于k/2条边所得的图，则=+1 6.2.4 (a) 证明： 任一无环图G都有-正则无环母图。（注：不一定为生成母图） (b) 利用(a)及习题5.2.3(b)证明：若G 是无环图且 是偶数，则 3 /2。 6.2.5 称G为唯一k-边可着色的，如果G的任意两个k-边着色都导致E有相同的划分。证明：每个唯一3-边可着色的3-
13、正则图都是Hamilton 图 。 6.2.6 简单图的积图是指顶点集为V(G)V(H)的简单图GH，其中 (u,v)与(u,v)相邻 u = u且v E(H)； 或 v = v且uu E(G) (a) 利用Vizing定理证明：(GK2）= (GK2) 。 (b) 试证：若H是非平凡的，且(H) = (H)，则(GH) = (GH)。 6.2.7 叙述求简单图G的正常(+1)-边着色的好算法。 6.2.8*证明 2的简单图G有一(-1)-边着色，使得所有-1种色在每个顶点上都表现 6.2.9 设简单图G有割点，则 = + 1 。,图论及其应用,13,6.2 排课表问题,问题 m位教师和n个班
14、级，其中教师Xi要给班级Yj上pij节课。欲在最少节次p内排完所有的课。 将偶图G = (X,Y,E) 的边集E划分成互不相交的p个匹配(E1，Ep)，且使p为最小，其中 X=x1,xm, Y=y1,yn 求偶图G的p-边着色，其中p = = 。 由习题6.1.4知，上述问题有好算法。 当上述问题中教室数有限时（ 教室数 ），若要在p（ ）节内排完全部（ l = E）节课，所需教室数c 问题 能否适当排课，使全部节课在p（ ）节内排完，且每节课所用教室数 ？（ 1 i p ）,图论及其应用,14,6.2 排课表问题,引理6.3 设M，N为G的二不相交匹配，且MN，则存在G的二不相交匹配M，N使
15、M =M-1 ，N = N+1 ，且M N = M N 。 证明：令H = GM N，则H的每个分支为一路或圈，由M及N的边交错组成。且由于MN ，存在H的一个分支，它是路P，起、止于M 边。因此 M = M E(P) 及 N = N E(P) 即为所求。 定理6.3 设G为偶图，p ，则存在G的p个互不相交的匹配使 E = M1 Mp 。 且 ,1 i p 。,图论及其应用,15,6.2 排课表问题,证明：由定理6.1, E可划分为 个互不相交的匹配 M1，M 。 因此，对p ，G有p个互不相交的匹配 M1，M，Mp。 （令Mi= 当i p） 使E = M1 Mp 。今对边数差 1的两个匹配
16、，反复使用引理6.3，最后可得所求的匹配M1，Mp 。 注 在实际应用中，教师和班级往往会提出一些，例如所上节次时间的要求，问题变得很复杂。Even，Itai & Shmir（1976）证明：在教师和班级提出条件时，判定课表的存在性问题是个NP-complete问题。甚至当G为简单偶图，且学生不提出要求的情况下，也是如此。,图论及其应用,16,6.3 顶点着色和色数,正常（顶点）着色（proper （vertex） coluring） 每边两端不同色。 k-（顶点）着色（k-（Vertex）colouring） k种色在V(G)上的一种分配，且任二相邻（的不同）顶点不同色。 V的一个k-划分（
17、V1，Vk）使每个Vi（可为）都是G的一个独立集。 k-（顶点）可着色（k-（vertex） colourable） G有一k-着色。 显然， G为k-可着色 G的基础简单图为k-可着色。 由此我们约定， 本章只讨论简单图。 例： G为1-可着色的 G 为一空图。 G为k-可着色的 G 为k-部图。 G为k-可着色的 G为j-可着色的（k j）。,图论及其应用,17,6.3 顶点着色和色数,色数（chromatic number）(G) = k G为k-可着色的 。 G为k-色图 (G) = k。 例：设每一教师只开一门研究生课，每门课课时为一单元。问至少要多少单元才能排完所有课？ 解：作一图
18、G，每一顶点对应一们课；两顶点相邻当且仅当有一研究生选修对应的两门课。由此，所需单元数 (G) 。例：设有一些药品存储在一仓库中，其中有些药品是不相容的，不能放在同一房间中，问至少应把仓库间隔成几个房间？G为临界的（crtical） (H) (G) H G G连通且满足(G-e)(G) e E(G) G为k-临界的 G为临界图，且 (G) = k 显然，G为k-色图 G包含一k-临界子图。,图论及其应用,18,6.3 顶点着色和色数,例。 1-临界图 K1（唯一）。 2-临界图 K2（唯一）。 3-临界图 奇圈 。 4-临界图 例如：K4 ，Grotzsch图等。注意 一图G的临界图不一定是它
19、的导出子图，例如,图论及其应用,19,6.3 顶点着色和色数,定理8.1 G为k-临界图 k - 1 。证明：反证，假设 k-1 。取v V使d(v) = 。因G 为k-临界图的，G-v必是（k-1）-可着色的。令: （ V1，Vk-1） 为G-v 的(k-1)-着色。由于d(v) = k-1，v一定与某一Vj中所有顶点都不相 邻。从而 （ V1，Vjv，Vk-1） 是G的(k-1)-着色，于是(G) k - 1 ，矛盾。 #,图论及其应用,20,6.3 顶点着色和色数,推论8.1.1 (G) = k G中至少有k个度 k-1 的顶点。 证明：令H为G的k-临界子图。由定理8.1知 dH(v)
20、 (H) k-1 v V(H) 。 dG(v) dH(v) k-1 v V(H) 。 又因H为k-色的，必有 |V(H)| k 。 #推论8.1.2 对任一图G都有 + 1 。 证明：由推论8.1.1知 - 1 。 #,图论及其应用,21,6.3 顶点着色和色数,令S为连通图G的一个点割。 V1，Vn为G - S 的各分支的顶点集。称 Gi = GViS 为G的S分支。称G1，Gn上的各个着色在S上是一致的，当且仅当在各个着色中S中每顶点都被着以相同的色。,图论及其应用,22,6.3 顶点着色和色数,定理8.2 临界图的任一点割都不是团。 证明：反证，假设k-临界图G有一点割S是团。令G1，G
21、n是G的S分支。因G为k-临界的，每个Gi都必是（k-1）-可着色的。但S为团，每个Gi的任一（k-1）-着色都导致S中所有顶点彼此不同色。从而一定存在G1，Gn在S上一致的（k-1）-着色。这些着色一起构成G的一个（k-1）-着色，矛盾。 #推论8.2 每一临界图是一个块。 证明：若临界图G含一割点v，则 v 是G的一个点割，且是团。故临界图不含割点，因而是个块。 # 注：NP-complete prob：对任给图G及正整数k |V| ，G是否为k-可着色的？从而，求任给图G的色数是个NP-hard prob. 。,图论及其应用,23,6.3 顶点着色和色数,贪心（greedy）着色法 ：用
22、色1，2， 逐步（按某一 顶点排序）一个个顶点进行正常着色，每次选用尽可能小的颜色进行着色。 例如，对任给图G，按任一顺序进行贪心着色，则每当尝试对某一顶点v着色时，其邻集N(v)中至多出现种色，因此总可从 + 1 种色中挑选一色着在v上。整个着色至多用了 + 1 种色，故G为 ( + 1)-可着色的。从而得到推论8.1.2的另一证明。 显然，贪心着色法所用的颜色数完全取决于着色的顺序，即顶点的一个排序。假如我们事先知道图G的一个-着色为 C = （V1，V2 ， ，V ） 。 按 (V1，V2，V) 的顺序任作一顶点排序（同一色集Vi内随意排序），按此顺序进行贪心着色，易见，一定恰好用了 个
23、色。因此，设法构想一适当的顶点排序进行贪心着色，往往可能得到关于着色的一个较好结果（如Brooks定理之证明）。下面是这方面的一些结果：,图论及其应用,24,6.3 顶点着色和色数,例。设图G 中度序列满足：d1 d ，则 证明：不妨设顶点排序 ：v1，v 恰使d(vi ) = d i i=1,2,., 。沿 进行贪心着色。不妨设某vk被着上了色 。易见，它一定与前面 -1个不同色的顶点相邻，因此 dk d(vk) - 1 。 又，显然 k 。 min dk + 1，k 得证。 # 例。试证：(G) 1 + max (H) | H为G的导出子图。 证明：作G的顶点排序 ：v1，v 如下： v
24、为图G的最小度顶点； v-1 为图G-v 的最小度顶点； v 为图G-v，v-1 的最小度顶点；s 令L = max (H) | H为G的导出子图。注意到G，G-v ，G-v，v-1 ，都是G 的导出子图，因而每个dH(vi) L。于是每个vi 都只与前面 L个顶点相邻，从而贪心着色法至多用了L+1个色。故 (G) 1+L = 1+ max (H) | H为G的导出子图 。 #,图论及其应用,25,6.3 顶点着色和色数,注:顶点着色问题的另一常用技巧是基于以下显而易见的命题： 设d(u) k-1 (k 2) u U V，而G-U为k-可着色的，则G也是k-可着色的。(从而，当尝试G是否为k-
25、可着色时，可先不管（先逐步删去）所有度k-1的顶点。) 由上知：若 d(u)(G) 2 则 (G-u) =(G) 例:试证 (G)+(Gc) = +1。 证明：对 进行归纳。当 2时，显然成立。假设对顶点数 时都成立，而(G)= 。 情况1 当(G) (G) -1时：则 (Gc)= -1-(G) - (G) (Gc) (Gc)+ 1 - (G) + 1，得证 情况2 当(G) (G)-1时：取u使 dG(u) = (G) (G) - 2 因此，首先有 (G1) = (G) 其中G1=G - u 。由归纳假设知， (G1) + (G1c) = (G)+(Gc) = (G1)+(Gc) (G1)+
26、(G1c) +1=+1 #,图论及其应用,26,6.3 顶点着色和色数,8.1.1. 证明：若G 是简单图，则 2/(2 - 2 ) 。 8.1.2. 证明：若G的任二奇圈都有公共顶点，则 5 。 8.1.3. 证明：设图G 中度序列满足d1 d ，则 8.1.4. 利用习题8.1.3 证明： (a) (b) (G)+(Gc) = +1。 (c) 推论8.1.1 。 8.1.5. 试证：(G) 1+ max (H) | H为G的导出子图。 8.1.6.* 设k-色图G上有这样一个正常着色（不一定为k-着色），其中每种色都至少分配给两个顶点。证明：G也有这样的k-着色 。 8.1.7. 证明：若
27、C =（V1，V2 ， ，V ）是图G的一个-着色，则每一Vi都含一顶点vi ，它与其他每个 Vj ( ji)至少有一边相连。 8.1.8. 若G 的任二k-着色都导出V的相同的k-划分，则称G为唯一k-可着色的。证明：k-临界任一顶点割的导出子图不会是个唯一(k-1)-可着色子图。,图论及其应用,27,8.1 色数习题（续）,8.1.9 (a)证明：若u、v为临界图的二顶点，则不可能有N(u)N(v) 。 (b)试证：不存在恰有k+1个顶点的k-临界图。 8.1.10. (a) (G1G2) = (G1) +(G2) ，其中G1G2 称为图G1与G2的联图，它是将它们间的每对顶点都用新边连起
28、来所得的图。 (b)G1G2是临界图，当且仅当G1与G2都是临界图。 8.1.12. 设G1与G2是恰有一公共顶点v的k-临界图，且vx和vy 分别是G1和G2的边，则(G1-vx)(G2-vy)+xy 也是k-临界图。 8.1.13. 对 n = 4及 n 6 构造n个顶点的4-临界图。 8.1.14.* (a) 设V的2-划分（X，Y）使GX和GY都是n-可着色的，且边割 X，Y 最多有n-1条边，则G也是n-可着色的。 (b) 试证：每个k-临界图都是(k-1)-连通的。(提示(a)：令(X1, X2, , Xn )及(Y1 , Y2 , , Yn )分别是GX 和GY的n着色。作一偶图
29、H=(x1,x2,xn ,y1,y2,yn , E )，使xiyj E 边割Xi , YjG = 。利用习题5.2.6(b)证明H有完美匹配。由此构造G的n-着色。）,图论及其应用,28,8.1 色数习题（续）,8.1.15. 求(Kn e) 及 (Kn e1 - e2)，其中e、 e1 、e2 都是Kn 的边，且后两者互不相邻。 8.1.16.任一4-可着色简单图G的边都有一红、兰2-边着色，使G中每一三角形都恰含一红边及二兰边 （提示:令所用4色为0、1、2、3。对每边e= xy ，令 色(e)= 色(x)+色(y) (mod 2)）8.1.17 证明：奇圈数2 的图一定是3-可着色的。
30、8.1.18 证明： 。 8.1.19 设e为简单图G的任一边，则(G e ) = min(G) ,(Ge) 。,图论及其应用,29,8.2 Brooks定理,图论及其应用,30,8.3定理8.4,定理8.4 设简单连通图G 不是奇圈或完全图，则 。 证明：对 进行归纳。当 3时，显然成立。假设当 n时都成立，而(G) = n 。不妨设： G为-正则的。（不然，取u使d(u)= ，由归纳假设，易见，G - u为 -可着色的，从而G亦然。） G为2-连通的。（不然，令v为G的割点，由割点定义，存在E的2-划分（E1，E2）使GE1与 GE2恰有一公共顶点v，从而易见，结论成立。） 3。（不然，G
31、为圈，结论成立。） 今选取3个点 x1 ，x2，xn 如下： 若 3，则任取一点为xn ，并取N(xn)中任二不相邻顶点作为 x1 与x2 。（ 这样的二顶点一定存在。不然，N(xn) xn 是一团，从而易见G是完全图，矛盾。） 若 = 2，则选取xn使 (G - xn )= 1。注意到G - xn中至少有两个为endklocks （即，它是G的块，且其顶点中只有一个是G的割点 ），它们每个至少含一 G的非割点 与 xn 相邻接。取不在同一endklock中的两个这种顶点作为x1 与x2 。,图论及其应用,31,8.3定理8.4,在上述两种情况下，我们都有： G - x1, x2 连通； 且
32、xnx1 ， xnx1 E(G) 而x1x2 E(G) 下面我们由此来作V的一个排序： 取xn-1 V x1, x2, xn 使xn-1N(xn) ； 取xn-2 V x1, x2, xn-1, 使xn-2N(xn-1, xn) ； ； 由于G - x1， x2是连通的，上述步骤可一直进行到底，得V的一个排序： x1， x2，xn 。 其中每个xi （i i，相邻接。又，x1 与x2不相邻。于是，贪心着色法只用了 个色。 #,图论及其应用,32,习题,8.2.1. 证明Brooks定理等价于下述命题：若G是k-临界图（k 4），且不是完全图，则 2 (k-1)+1 。 8.2.2*. 利用Br
33、ooks定理证明：若G是 = 3的无环图，则 4。,图论及其应用,33,8.4 围长和色数,易见，若G中最大团的顶点数k，则 k。下面的定理表明，一个有很大色数的图，其最大团的顶点数不一定也很大。 定理8.7 对任正整数k，都存在不含3-圈的图G 使 (G) = k 。 (即，可找到色数任意大的图，但其最大团顶点数却只为2。) 证明：对k进行归纳。当k = 1时，G1 = K1满足要求；当k = 2时，G2 = K2 也满足要求；一般，设Gk = (Vk , Ek ) ，Vk = v1，vn满足要求（k 2） ，则由Gk构造 Gk+1 = (Vk +1, Ek+1 )如下： (1) 添加新顶点
34、u1，un及v ； (2) 把每个ui 连到vi（在Gk中） 的每个邻点； (3) 再将v连到每个uj 。 易见，Gk+1中不含3-圈。又，Gk的任一k-着色可扩充成Gk+1的（k+1）-着色如下：将每个ui着以vi上的色；再用一新色着在v上。显然，这是Gk+1的正常（k+1）-着色，从而Gk+1是（k+1）-可着色的。 余下只要再证Gk+1不是k-可着色的即可：不然，不妨设在该k-着色中v被着以色k。这时无一ui被着以色k。今，将每个被着以色k的顶点vi都改着以顶点ui的色。易见，这是Gk+1的正常k-着色。它导致Gk的一个正常（k-1）-着色，这与Gk为k色图相矛盾。 #,图论及其应用,3
35、4,8.4 围长和色数,注：Hajos(1961年)曾提出似乎是可信的猜想： G为k-色图 G包含Kk的一个剖分。 当k=3及4时可证 1猜想成立。但1986年（Jurnals of Graph Theory, vol.3, p314 ）已证明该猜想不成立。,图论及其应用,35,8.4 围长和色数习题,8.3.1. 证明：定理8.7中的图Gk是一k-临界图。8.3.2* (a) 设G是围长至少为6的k-色图（k 2）。作一新图H如下：取k个新顶点集S及G的 个互不相交的拷贝，且建立G的拷贝与S的元子集之间的一一对应。 再将G的每个拷贝的顶点和与它相应的S的元子集的元素用一匹配连接起来。证明：H的色数至少为k+1，其围长至少为6。 (b) 试证：对任 k 2，都存在围长为6的k-色图。 （提示(a)：易证H的围长至少为6。若H为k-可着色的，则存在S 的元子集，其 元素都染有相同的颜色。再考察对应的G的拷贝得出矛盾。）,
