1、常微分方程的本征值问题 1 一、 Sturm Liouville 型方程 dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件 或自然边界条件可以构成本征值问题，称为 S-L型本征值问题。 称为本征值 x 称为权函数 常微分方程的本征值问题 2 二、几种常见的 S-L型本征值问题 1 , 0 , 1k x q x x 1、 而 0 , , 0 0a b l y y l 0 , 2 ,2 a b y x y x 两种情况下，求解 S-L型本征值问题 dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 常微分方程的本征值问题 3 dd 0dd
2、yk x q x y x y a x bxx 0000y y x ly y l 0 , , 0 0a b l y y l 1 , 0 , 1k x q x x 本征值 2nnl 本征函数 sinnnyxl1, 2 , 3 ,n 常微分方程的本征值问题 4 0 , 2 ,2 a b y x y x dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 0 0 2 2 y y xy x y x 1 , 0 , 1k x q x x 本征函数 s i n c o sn n ny A n x B n x本征值 2n n 0, 1 , 2, 3,n 常微分方程的本征值问题 5 dd 0dd yk
3、x q x y x y a x bxx 2, , , 1mk x x q x x xx 2 2 22d d d d00d d d dy y m y mx y x y x y x yx x x x x x 2、 Bessel方程的本征值问题 22 2 22dd0dd00yyx x x m yxxy M y R 有 限常微分方程的本征值问题 6 3、 Legendre 方程的本征值问题 222 dd1 2 1 0d d 11y y mx x l l yx x xyM 有 限 值 22 2dd1 1 0d d 1ymx y l l yx x x 22 21 , , 1 , 11 mk x x q x
4、 x l lx dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 常微分方程的本征值问题 7 dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 22212dde e0dd,exxxyyxxxy 长于 的 增 不 快 于 22e , 0 , exxk x q x x 这个本征值问题来自量子力学中的谐振子问题 4、 Hermite 方程的本征值问题 2 0y x y y 常微分方程的本征值问题 8 dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 12dde e0dd0 , , exxxyxyxxy x y 长有 限 于 的 增 不 快 于 e , 0 , exxk
5、x x q x x 这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题 5、 Laguerre 方程的本征值问题 1 0x y x y y 常微分方程的本征值问题 9 三、正交函数系 1、正交函数定义：如果两个函数 满足 12f x f x、 12 d0ba f x f x x ，则称它们在区间 上正交 ,ab *12 d0ba f x f x x 如果函数是复函数，则写为 2、归一化定义： nyx由正交定义，对一本征函数系 当 时， d0bnma y x y x x nm 22db nna y x x N当 时， nm常微分方程的本征值问题 10 122 dbnnaN y x x 称为归一化因子。 2
6、2 d d 1bb nnnnaanny x y xy x x N xNN nnnyxxN 令则有 1d 0b n m nma nmx x x nm 称 为正交归一函数系 n x常微分方程的本征值问题 11 nnnx x x x 3、完备性条件 4、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利条件 的任意函数 可以用正交完备函数系展开成 傅里叶级数，即： 1nnnf x C x fxnC可用正交归一条件求得，即 11dd bb m n n m n nm maannf x x x C x x x C C dbmmaC f x x x 常微分方程的本征值问题 12 狄里赫利条件： 在 上只有有限个第一类间
7、断点，且只有有限个极值点。 fx ,ab四、 SL型本征值问题的性质 dd 0dd yk x q x y x y a x bxx 1、条件 及其导数在 中连续； x k x 、 ,ab 在 中连续，在区间端点连续或最多 有一阶极点； qx ,ab常微分方程的本征值问题 13 中， ,ab 0 , 0 , 0x k x q x kx 在区间端点处可能有一阶零点。 2、性质 结论 1：所有本征值都是实数，且非负，即 0n 12 n 结论 2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列 对应有无穷多个本征函数 12, ny y y称为本征函数系，同一本征值对应 的本征函数可能不止一个。 常微分方程的本征值问题 14 结论 3：对应于不同本征值的本征函数 ， 在区间 上带权函数 正交，即： d0 b n m m na y x y x x x x ,abnmyy、 nyx 展开为绝对且一致收敛，即： 2ddbnan bnay x f x x xCy x x x 1nnnf x C y x 广义傅里叶级数。 结论 4：本征函数系在区间 构成一个完备 系，即任意一个具有二阶连续导数的函数 ， 只要它满足本征值问题中的边界条件，均可以用 ,ab fx常微分方程的本征值问题 15 常微分方程的本征值问题 16 常微分方程的本征值问题 17 常微分方程的本征值问题 18 常微分方程的本征值问题 19
