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复变函数(第四版)课件章节--4.4.ppt
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- 复变函数(第四版)课件章节--4.4.ppt
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1、 4.4洛朗级数,1、双边幂级数,2、解析函数的洛朗展式,3、 洛朗级数与泰勒级数的关系,4、 将函数展成洛朗展式,5、 典型例题,1、双边幂级数,定义 称级数,(4.4.1),为复常数,称,为双边幂级数(4.4.1)的系数,为双边幂级数,其中,负幂项部分,非负蜜幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,f1(z),f2(z),f(z),收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:,R1,a,a,R,a,r,H,f(z)=f1(z)+ f2(z,定理一 (洛朗定理) 在圆环H:r|z-a|R, (r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边 幂级数,其中,
2、(4.4.3),(4.4.2),2 解析函数的洛朗展式,a,证 (如图1)对zH,总可以找到含于H内的两个圆周,使得z含在圆环,z,图1,内,因为f(z)在圆环,上解析,由柯西积分公式有,或写成,(4.4.4),我们将上式中的两个积分表为含有z-a的 (正或负)幂次的级数.,对于第一个积分,与泰勒定理证明中的相应部分相同,就得,(4.4.5),(4.4.6),类似地,对(4.4.4)的第二个积分,我们有,于是上式可以展成一致收敛的级数,沿1逐项求积分,两端同乘以,(4.4.7),(4.4.8),由(4.4.4),(4.4.5),(4.4.7)即得,回过头来考察系数(4.4.6)及(4.4.8)
