1、3 力学中常遇到的力,力学中常要处理的一些力： 包括重力、张力、支持力、摩擦力、阻力等,从最基本的层次看，上述各种力属于两大范畴： 引力 电磁力绳中的张力、摩擦力、地面的支持力、空气的阻力，从微观上看，都是原子、分子间电磁相互作用的宏观表现自然界中还存在另外两种基本的力 (3) 弱力：与某些放射性衰变有关 (4) 强力：将原子核内质子和中子“胶合”在一起的力，以及强子 内部更深层次的力但由于此种力的力程太短，感官不可能直接感受到,万有引力,开普勒 行星运动定律： 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆两焦点之一 行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积 行星公转周期的平方正比于它们的轨道半长轴的
2、立方即：,常量K与行星的任何性质无关，开普勒常量,牛顿 万有引力,物体作圆周运动,向心力,匀速圆周运动向心力：,对于圆轨道：,T 周期,开普勒第三定律,开普勒第三定律,一个行星所受的向心力与其质量成正比，与它到太阳的距离平方成反比,由引力作用的倒易性,力还应与施加吸引作用的物体质量 M 成正比,G 称为万有引力常量或引力常量,K 与 G 的关系：,为太阳质量,牛顿在1665年到1685年的20年里，证明了开普勒定律可用平方反比吸引力加以说明，并且证明了使月亮绕地球运行的力与地球上物体的重量正是同一种力平方反比吸引力,牛顿把引力的思想不断扩大，最后提出： 任意两物体都互相吸引，这种力称为万有引力
3、,更精确地说，物体的重量主要来自于地球对它的引力，却并不完全是地球对它的引力,万有引力的表述： 任何两物体1、2间都存在相互作用的引力，力的方向沿两物体的联线，力的大小 f 与物体的质量（引力质量）m1、m2 的乘积成正比，与两者之间的距离 r12的平方成反比即：,其中万有引力常量 G 是个与物质无关的普适常量,量纲：,万有引力定律,万有引力的矢量表示：,引力质量 vs 惯性质量,物体所受地球引力 P 按万有引力定律正比于 m引,物体的重力加速度 g 则按牛顿第二定律正比于 P，反比于 m惯,伽利略斜塔实验表明：所有物体以相同的重力加速度落下,即，引力质量与惯性质量成正比 选取适当单位，两者可
4、完全相同,不再区别引力质量与惯性质量，统称为质量,如何求大小不能忽略的展延物体之间的万有引力？,例：匀质细杆质量为 M，长为 l，距细杆一端 a 处有一质量为 m 的质点，计算细杆对质点 m 的引力。,m,线密度,微元, 每小段对 m 的引力都是同方向 求合力只需计算代数和,取如图一维坐标,m,例：竖直上抛的物体，最小应具有多大的初速度 v0 才能不再回到地球？即求第二宇宙速度（或逃逸速度）。,物体在运动过程中受到重力，指向始终竖直向下物体高度变化很大，重量随高度变化重量按万有引力平方反比律规律变化取一维坐标，x 轴坐标原点在地心,物体所受重力P的大小反比于与地心距离的平方 随 x 而变,物体
5、的加速度,要获得 vx 关系,等式两边同乘以dx,初始条件：R，v0,积分：, 如果初速不够大 v02 2gR 2gR2/(2gR - v02)时，虚数v，无意义，物体不可能上升 到高于2gR2/(2gR - v02)之处 如果初速度较大 v02 2gR：v 永不为0，尽管地球对物体施以吸引力，尽管物体背离地 球而运动的速度越来越小，物体永不折回。 逃逸速度,x 越大，v 越小,弹性力,物体在受力形变时，有恢复原状的趋势，这种抵抗外力，力图恢复原状的力就是弹性力,弹性力的大小取决于变形的程度,一些弹性体（如弹簧）在形变不超过一定限度时，其弹性力遵从胡克定律 (R. Hooke),f = kx,
6、其中，k 称为弹性物体的劲度系数x 为偏离平衡位置的位移负号表示力与位移的方向相反,弹性力的特征：弹性力的大小与位移的大小成正比，方向指向平衡位置, 弹性力又称弹性恢复力,例：光滑桌面上有一物体，质量为 m，系于弹簧的一端。弹簧是水平放置的。将弹簧拉长 x0，并给物体以初速度 v0 后任其运动，试求解这物体的运动。弹簧的劲度系数为 k。,运动方程：,初始条件：t0，xx0，vv0,积分：,积分：,绳中的张力,绳子在受到拉伸时，其内部也同样出现弹性张力 但由于形变不大，故不考虑它的形变,绳中点 P 处的张力 T： 过 P 点作一个假想的平面将绳子分为两段 在 P 处相互施予一对拉力，这是一对作用
7、力和反作用力,牛顿第三定律 大小相等，方向相反 其大小 T 叫做绳子在 P 点的张力，方向与绳子在该点的切线平行,绳上各点的张力是否都相等？,张力是否等于绳子两端所受的外力 f ？,考虑绳中某小段l 它所受外力常见为重力、摩擦力,设单位绳长的质量为, 绳水平放置时，重力无影响：若有水平加速度 a，对于 l 小段,m,存在张力差T, 绳子垂直，静止不动时：,m,若存在垂直加速度，则有：, 重力和加速度都要通过绳子的质量起作用 当绳子的质量可忽略时，即0，T0,此种情况下，绳上各点的张力相等，并等于绳两端所受的外力f 绳两端所受的外力必定大小相等，方向相反,质量可否忽略，在解决一些问题时，至关重要
8、，类似情况还出现在滑轮问题中,向上 + 向下 -,P67 例题7 如图所示，用一细绳跨过一定滑轮，在绳的两端各悬质量为 m1 m2，求它们的加速度及绳端的拉力。设滑轮和绳子质量可忽略，绳子与滑轮间没有滑动摩擦。,对于m1：T1 m1g = m1a 对于m2：m2g T2 = m2a,对于绳子：受到m1和m2对绳的拉力T1，T2 T2 - T1= 0 T1 = T2，即T1 = T2，,约束力,支撑力本质上也是弹性力，由接触后发生的形变引起的,约束力多种多样如物体被限制在光滑的曲线或曲面上运动时受到的约束力，其方向也是沿曲线或曲面的法向的即使约束在粗糙曲线或曲面上运动，物体所受的约束力仍沿法向，
9、不过此时还有切向的摩擦力,摩擦力,当相互接触的物体作相对运动或有相对运动的趋势时，它们之间就有摩擦力,摩擦是一种极为普遍的现象，所谓“光滑”、“不具摩擦力”的物体不过是在一定条件下使用的理想化模型,不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦。 摩擦有干摩擦和湿摩擦两种干摩擦是固体表面之间的摩擦，又叫外摩擦 湿磨擦是液体（气体）内部或液体（气体）和固体的摩擦，又叫内摩擦这两种摩擦具有不同的特性,摩擦力的实际意义： 危害：消耗大量有用的能源，使机器的运转部件发热减少摩擦的主要方法是化滑动为滚动，例如在机器 中尽量使用滚珠轴承变干摩擦为湿摩擦，例如加润滑油 许多
10、场合下摩擦是必要的如：人的行走，皮带轮的传动、弦乐器的演奏,干摩擦,干摩擦,静磨擦,滑动摩擦,滚动摩擦,静磨擦 两物体相对静止，但却具有相对运动趋势，这种情况下发生的摩擦力称为静摩擦力,静摩擦力的指向和大小都取决于相对滑动趋势,静摩擦力的指向与接触面上相对滑动趋势的指向相反,在处理具体问题时，为了判断静摩擦力的指向，应当先设想两物体之间不存在静摩擦，考察接触面上的相对滑动的指向 相对滑动趋势的指向,刚体的滚动靠静摩擦（第四章）,指因形变造成的阻力和耗散,以力F 施于轮心拉轮向右使它无滑动的滚动设想轮与地面的接触是“光滑”的，则轮不会滚动，只是沿着地面滑动，在轮与地面接触处，轮向右滑动，地面相对
11、向左滑动 相对滑动趋势 在轮与地面接触处出现静摩擦力，轮所受静摩擦力向左，而地所受静摩擦力向右 正是摩擦力使轮产生转动并因而作无滑动的滚动,将轮转动使之向右无滑动的滚动设想轮与地面的接触是“光滑”的，则轮并不会滚动，它将在原地空转而根本不向前滚，在轮与地面接触处，轮向左滑动，地面相对向右滑动 相对滑动趋势在轮与地面接触处出现静摩擦力，轮所受静摩擦力向右而地面所受静摩擦力向左 正是这摩擦力使轮向右作无滑动的滚动,汽车后轮,物体之间的相对滑动趋势变了，静摩擦力的大小也就随之自动调节，使相对滑动总是不能真正发生当外力逐渐增大时，静摩擦擦力也增大,静摩擦力的大小,当外力达到某一数值时，物体开始移动 静
12、摩擦力有一最大限度，当增大到一定数值后就不能再增大了，这一数值的静摩擦力叫做最大静摩擦力,在一定条件下，物体之间相对滑动趋势一定，静摩擦力就具有与之相对应的一定大小，使相对滑动不致真正发生,最大静摩擦力f0 与接触面的正压力N成正比，即,为静摩擦系数,由相互接触物体的质料和表面情况（如粗糙程度、干湿程度）决定,当外力 时，物体间发生相对滑动,当物体间发生相对滑动时，接触面上出现一种阻止物体间相对运动的滑动摩擦力 滑动摩擦力的指向和接触面上相对滑动的指向相反,滑动摩擦力与物体的 质料表面情况正压力相对速度,有关,静摩擦力的大小由外力的大小决定，可随外力的增大取 0 到 f0 之间的各个数值,滑动
13、摩擦力的大小随相对滑动速度而变滑动刚开始发生时，相对滑动速度从零逐渐增大，滑动摩擦力则相应地从最大静摩擦力N 逐渐减小 通常所说的滑动摩擦小于静摩擦 但相对滑动速度过分大的时候，滑动摩擦力又随着相对速度的增大而增大,相对滑动速度,滑动摩擦力,滑动摩擦力的大小也是正比于接触面上的正压力Nf滑动 = N, 称为滑动摩擦系数，它取决于接触面的材料与接触面的表面状态，又与相对滑动速度有关,在一些特殊情况下（例如材料的硬度保持一定，接触面经过一定加工等），滑动摩擦力几乎不随滑动速度而变，并且差不多就等于最大静摩擦力，即常数 在本课程中，除非特别声明，总是假定这种情况,对于两个给定表面，滑动摩擦与接触表面
14、面积的大小无关,实际接触面积是属于原子尺度的，它只占总的几何接触面积的一个极微小的部分（p = S原子/S几何）摩擦力的出现是由于在原子接触的这些微小区域内原子之间的相互作用力（f摩 S原子）原子接触面积占几何接触面积的比例，正比于法向力除以几何接触面积（p N/S几何）, 几何面积不变，法向力增大一倍（N = 2N， S几何= S几何） p 2N/S几何 2p S原子= pS几何2pS几何=2S原子 f摩= 2f摩原子接触面积增大一倍，摩擦力增大一倍 摩擦力正比于正压力, 法向力保持不变，几何接触面积增加一倍(N = N，S几何=2S几何) pN/2S几何 p/2 S原子=pS几何(p/2)
15、2S几何= S原子 f摩= f摩原子接触面积的实际接触面积不变，因而摩擦力也不变,摩擦力对绳中张力分布的影响,绞盘装置：绳索绕在绞盘的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA，人可以用小得多的力 TB 拽住绳子绳与圆柱的摩擦系数为，绳子绕圆柱的张角为,在绳上取一微元 受力情况：两端张力：法向力：摩擦力：,略去绳质量，该线元受四个力作用 无加速度的情况下四力合力为0按切向和法向分解切向：法向：,按Taylor展开,积分：, 张力随按指数减小 TB TA,若0，TB TA，两端绳的张力相等,滚动摩擦：物体滚动时，物体与地面都将变形，因而地面施于物体的力 R 并非竖直向上。R 的竖直分力即 N，水
16、平分力即滚动摩擦 f滚动摩擦一般远小于滑动摩擦。使用轮轴、滚珠轴承都是为了以滚动摩擦代替滑动摩擦。,湿摩擦,固体相对于液体或气体而运动时，沿着接触面上有阻止相对滑动的摩擦力湿摩擦,固体浸没于液体或气体中，运动时除了受到湿摩擦力之外，同时在接触面上，固体还受到液体或气体的压力 压力的指向垂直于接触面，而且迎面所受压力大于背面所受压力 固体所受压力的总效果也是阻止固体的相对运动相应阻力为介质阻力介质阻力远大于湿摩擦力,介质阻力和湿摩擦力的本质完全不一样，但在固体相对于液体或气体的运动中，它们起相同作用 力学中只是研究它们对固体运动的影响，并不追求介质阻力与湿摩擦力的本质（分子物理学） 不去区分它们
17、，而将介质阻力也归到湿摩擦力中,湿摩擦力不同于干摩擦力，没有相对运动也就没有湿摩擦力对于湿摩擦现象，谈不上静摩擦力由于不存在静摩擦力，不论多小的力都能推动固体使其在液体或气体中运动,一旦发生相对滑动，湿摩擦力随之出现湿摩擦力的指向：与固体相对运动速度指向相反湿摩擦力的大小：流体本身的密度和粘质性横截面积 S 和形状相对运动速度 v, 流体的粘质性较大、运动物体较小、相对运动较慢的情况下阻力 f 正比于v， 和粘质性 流体的粘质性较小、运动物体较大、相对运动较快的情况下阻力正比于v2 和 S，与粘质性无关,终极速度,固体浸于液体或气体中，如以一定大小的力去推固体由于不存在静摩擦 固体将逐渐动起来
18、 湿摩擦力出现 起初，湿摩擦力比较小，小于推力，固体继续加速，速度加快湿摩擦力随之增大 固体达到某个速度，其相应的摩擦力与推力相等 固体保持这一速度而作匀速运动 终极速度,例：以初速 v0 竖直向上抛一物体。空气阻力正比于速度而变化。试研究物体的运动情况。,物体受：重力mg，竖直向下空气阻力，与物体运动反向,初始条件：t = 0，x = 0，速度v0,运动方程：,积分：,再积分：,开始时，t比较小，(1) 式右方第一项v0 + mg/h v 0物体继续上升t逐渐增大， (1) 式右方第一项逐渐减小，v 0，并继续减小而取负值 下降阶段t ， v mg/h，即终极速度终极速度取决于物体的质量，又
19、取决于阻力系数h终极速度与初速度的大小、指向均无关,(1),求上升的最大高度：,分离变量，积分：,P71 例题13,小雨点与大雨点相比，在空气中哪个降落得比较快？f阻 Sv2，S为雨点的横截面积，v是速度,天空中落下的雨滴经过大约1秒钟左右就差不多达到终极速度，随后以终极速度匀速下降。大小不同的雨滴，重量不同，阻力系数不同 终极速度不同,v f阻从 0 增大到与雨点的重力 mg 抗衡 f阻 = CSv2 = mg,雨滴越大终极速度越大,例：试研究抛射体在空气中的运动轨迹。已知其被抛出的仰角为，初速度为v0。假定空气阻力正比于物体的速度，阻力系数为h,积分：,再次积分：,消去t：,由于空气阻力的作用，轨道不再是简单的抛物线,当t时,即以终极速度mg/h竖直下降,
