1、1第三章 力学量用算符表达3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。Auv表示 把函数 u 变成 v ， 就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“”号。但在不会引起误解的地方，也常把“”略去。二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符 ，称为线性算符1212()AccA其中 c1, c2 是任意复常数， 1, 2 是任意两个波函数。例如：动量算符 ，pi单位算符 I 是线性算符。2、算符相等若两个算符 、 对体系的任何波函数 的运算结果都相同，即 ，则算符 和算符 相等记为BABB。A3、算符之和 若两个算符 、 对体系
2、的任何波函数 有： ，则 称为算符之 ()CA和。，AB()()ABC4、算符之积算符 与 之积，记为 ，定义为()()是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即 。AB5、对易关系若 ，则称 与 不对易。ABB若 ，则称 与 对易。若算符满足 ， 则称 和 反对易。A例如：算符 x, 不对易pix证明：(1) ()xiix2(2) ()xpixix显然二者结果不相等，所以：x()pi因为 是体系的任意波函数，所以对易关系xi同理可证其它坐标算符与共轭动量满足，ypizpi但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。， ，0yzx0xzy0xyzp， ，xyxpyzypzxz， ，
3、z写成通式(概括起来)：(1)i0x其中 或p,xyz12,3量子力学中最基本的对易关系。注意：当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。B6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：,xpi不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1) ,AB2) ,CA3) ， ，,BC,ABC,BAk4) 称为 Jacobi 恒等式。,0角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符 xyzlrpirlel3在直角坐标中的三个分量可表示为l()xzylpizyyxzlix()z
4、yxlpiy， ， （要求会证明）,xyzi,yzxll,zxylil是角动量算符的定义式。li,lil式中 称淡 Levi-Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：123其中 或,xyz,证明： 或 li,lxi,xyz或 ,ppp20l(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系(sincos)xltgcoinylitzli2 211(sin)isil只与 , 有关，与 r 无关，而且 只与 有关。2,xyzll和 zl22zyx2222 sin1)(sini1)(1 rrr或 2rpl2rpl4其中 ， 可称为径向动量算符。),1(ripr)(122rrprp(3)角动量升降阶算符
5、(I) 定义，xylilxyli显然有如下性质， ll这两个算符不是厄密算符。(II) 对易关系， ， ，,zll2,0l2zll2zll7、逆算符(1). 定义: 设 =, 能够唯一的解出 ， 则可定义算符 之逆 -1 为: 1A(2).性质 I: 若算符 之逆 -1 存在，则, 1AI,0(3).性质 II: 若 , 均存在逆算符, 则B11()8、算符函数设给定一函数 F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛 ()0!n则可定义算符 的函数 F()为: 0()!nA补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与 的“标积”*,)d是指对体系的全部空间坐标进行积分，d是坐标空间体积元
6、。例如对于一维粒子： x对于三维粒子： dydz可以证明 5*1212*(,)0(,),(,)(,)(,cc9、转置算符算符 的转置算符 定义为A*d即 (,)(,)式中 和 是两个任意波函数。例如： （证明）xp可以证明： A()B10、复共轭算符算符 的复共轭算符 *就是把 表达式中的所有量换成其复共轭。但应注意，算符 的表达式与表象有关。11、厄米共轭算符 算符 之厄米共轭算符 +定义为：或 *()dAd(,)(,)A厄密共轭算符亦可写成：*可以证明: ()BACA 12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符.*()d(,)(,)或 A(2). 性质性
7、质 I：两个厄密算符之和仍是厄密算符。性质 II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。 三、算符的本征方程如果算符 作用于函数 的结果，等于某一常数乘以 ，即6(2)A那么称 为算符 的本征值， 为算符 的属于本征值 的本征函数。方程(2) 称为算符 的本征方程。3.2 动量算符和角动量算符一、动量算符ip1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程，即)()(rrpp()()ppir采用分离变量法，令： pxyz代入动量本征方程()()ppir ()pxyz(1)()xyzp123xyziiippceceipr可取任意实数值，即动量算符的本征值 组成连续谱，相应的本征函数
8、为(1)式所表示的 ，这正是 )(rp自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。(2).归一化系数的确定 、归一化为 函数取 ，则 归一化为 函数，2/3)(c)(rp(2)* )pdp （3）rier2/3)(1一维情况： xpipx、箱归一化P70-72（略去不讲）箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为 函数方法对任何连续谱都适用。二、角动量算符1、角动量算符的形式 lrpir(1)、直角坐标系它在直角坐标系中的三个分量是：()xzylpizyyxzx7()zyxlpiyx角动量平方算符 22yzll222()()zyxzyxppp)( (2)、球坐标利用上述变换关系可以得到
9、在球坐标中的表示式是2,xyzll和(sincos)xltgcoinyzli2 211(sin)isi只与 , 有关，与 r 无关，而且 只与 有关。,xyzll和 zl2、 的本征值和本征函数 zli为了求出 的本征值 lz 和本征函数 ()，我们解下列本征方程：z()()zil 的本征值为： zl,zlm,210式中的 m 习惯上称为磁量子数 。相应本征函数： ()ime角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是 0, 2, ，而不能是其他的值。3、 的本征值和本征函数2l2 211(sin)isil设 的本征值为 ，本征函数为 Y(,)，本征方程为2l2l在球坐标系中， 只与
10、 , 有关，所以 ，则),(6)22 211(sin)isiYl令 ， ，其中( )只是 的函数， ()只是 的函数，由(6)式可得l,)Y822sin(i)()()sin()221sin()ddm令 的本征值为 l(l+1)2，所属的本征函数为 Ylm(,)，2l；0l l,10Ylm(,) 正交归一条件为： *0(,),sinlml lmd 说明：(1)、由上面结果可知 的本征值为 l(l+1)2，所属的本征函数为 Ylm(,)，2， 22(,)1,)lmlmYlY,10l ,210显然， 只能取 一系列离散值，由于 l 是表征角动量的大小，所以称 l 为角量子2(1)l6,0数。(2)、
11、 (,)(,)zlmlmYlm(,)即是 的本征函数，也是 的本征函数，其相应的本征值分别为 l(l+1)2，m 。即球谐函数 Ylm(,)2zl是 的共同本征态2zl(3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。 的本征值是(2l+1)度简并的。2(4)、通常把 的态，依次称为 态，而把处于这些态的粒子称为 粒子。,3210l ,fdps ,fdps4、平面转子的能量本征值与本征态： 绕 z 轴转动的平面转子的能量经典表达式为 ，I 为转动惯量，l z 为角动量。2zE2zlHI2
12、能量本征方程表为 2 的本征值为： 0ImE相应的本征函数为： ，1()2ime,215、空间转子的能量本征值与本征态： 绕一固定点转动的空间转子的能量经典表达式为 ，I 为转动惯量，l 为角动量。2E2lHI 的本征值为： El)1(相应的本征函数为： ， ；,lmY,20l ,210m9例：证明 ,1 ,1(1)()()lmlmlmYlYlY 例：证明在 lz 本征态 Ylm 下， 0xyl3.3 厄米算符的本征值与本征函数一、厄米算符的平均值定理 I：体系任何状态 下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明）逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明）推论：设 为厄米算符
13、，则在任意态 之下2*2Ad*()dA0二、厄米算符的本征方程1、涨落涨落定义为 2()2)证明 2()A02、力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即： 2()则称这种状态为力学量 A 的本征态。或 0常 数可把常数记为 An，把状态记为 n，于是得： (1)其中 An,n 分别称为算符 的本征值和相应的本征态，式(1) 即算符 的本征方程。定理 II：厄米算符的本征值必为实。（证明）三、量子力学中的力学量用线性厄米算符表示1、表示力学量的算符必为线性算符；2、表示力学量的算符必为厄密算符。例 1： （ 为实数）dxdx*)(例 2： p例 3：证
14、明 为厄密算符2()xHVm综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。3、力学量算符和力学量之间的关系测量力学量 A 时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符 的本征值 An（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 的本征方程n1,2n当体系处于 的本征态 n 时，则每次测量所得结果 都是完全确定的，即 An。10四、厄米算符的本征函数的正交性 1、正交性的定义如果两函数 1 和 2 满足关系式 ，则称 1 和 2 相互正交。02*1d2、定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明） *()mnmnAdAd*mnd3、分立谱、连续谱
15、正交归一表示式 (1). 分立谱正交归一条件分别为：归一化条件*1nd正交性0m()n引用 mn 称为克朗内克（Kronecker ）符号，它具有如下性质：1n把(3)与(4)式合写为*mnnd(2). 连续谱正交归一条件表示为： *() (3). 正交归一系满足上式的函数系 n 或 称为正交归一（函数）系4、简并情况如果 的本征值 An 是 fn 度简并的，则属于本征值 An 的本征态有 fn 个： n， =1,2, f n满足本征方程：nn1,2nf一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这 f n 个函数可以线性组合成 fn 个独立的新函数，它们仍属于本征值 An 且满足正交归一化
16、条件。 算符 本征值 An 简并的本质是：当 An 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符， 算符与这些算符两两对易，其本征值与 An 一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。五、实例 （1）动量本征函数组成正交归一系)()(*prdp 当 时，p0即属于动量算符不同本征值的两个本征函数 与 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共有的。p（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系11线性谐振子的能量本征函数)(21xHeNnxn组成
17、正交归一系： nd*（3）角动量本征函数组成正交归一系1. lz 本征函数 角动量算符 的本征函数zl1()2imme),210(组成正交归一系： (7)*0)md 2. 本征函数2l角动量平方算符 属于本征值 的本征函数2l2)1(llYimlmlmePNY)(cos,组成正交归一系： (8)lll d 02*n,)(7)和(8)可合写为 (9)mlll i)(3.4 算符与力学量的关系一、力学量的可能值及其几率有两点问题：. 测得每个本征值 An 的几率是多少？ . 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。1、 力学量算符本征函数组成完备系(1)、函数的完备性有一组函数 n(x)
18、 (n=1,2,.)，如果任意函数 (x)可以按这组函数展开： na则称这组函数 n(x)是完备的。 (2)、力学量算符的本征函数组成完备系若力学量算符 nA则任意函数 (x)可按 n(x)展开：a量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。2、力学量的可能值和相应几率nA1,2n由于 n(x)组成完备系，所以体系任一状态 (x)可按其展开：12na展开系数 an 与 x 无关。（证明）*()ndx|an|2 具有几率的意义，a n 称为 几率振幅。我们知道| (x)|2 表示在 x 点找到粒子的几率密度，| c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那末同样，|a n|2 则表示
19、A 取 An 的几率。讨论： (x)是坐标空间的波函数； c(p) 是动量空间的波函数；则a n则是 A 空间的波函数，三者完全等价。| (x)|2 表示在 x 点找到粒子的几率密度， | c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那末同样，|a n|2 则表示 A 取 An的几率。证明：当 (x)已归一时， c(p)也是归一的，同样 an 也是归一的。（证明）量子力学基本假定：任何力学量算符 A 的本征函数 n(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态 (x)中测量力学量 A 得到本征值 An 的几率等于 (x)按 n(x)展开式：na中对应本征函数 n(x)前的系数 an 的|a n|2。
20、分析：(1)、根据态迭加原理，由(1) 1 |a1|2 2 |a2|2 n |a n |2 (2)、根据前面的假设 1 A1 2 A2 n An (3)、A 1 |a1|2 A2 |a2|2 A n |a n |2 3、力学量有确定值的条件推论：当体系处于 (x) 态时，测量力学量 A 具有确定值的充要条件是 (x)必须是算符 的一个本征态。二、力学量的平均值在任一态 (x)中测量某力学量 A 的平均值可写为：2nAa此式等价于以前的平均值公式 。（证明）*()xd这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化,则，2naA*()xAd三、连续谱的情况分立谱 连续谱*mnd *
21、()daa*n *： ，A2d2()ad132nAa2Aad*d例 1、设粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，若其状态由波函数 描述，求粒axa2cosin4子能量的可能取值和相应的几率及其平均值。解： axa2cosin413()x， ， （ ）1310n,2n的可能取值： E21ma239Ema相应几率： 1注意： 2na2nE2219ma25ma例 2：线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：025(,)5x式中 n(x)表示谐振子第 n 个定态波函数，求(1) 系数 a5=？(2) 写出 t 时刻的波函数；(3) t=0 时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值；(4)
22、 t= t 时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值；解： （1） 5310a（2） tititi eeetx 21525203),( （3）t=0 时， ， ，05a251a能量 E 可能值： ， ，102E25相应几率 ： ， ，25aa310an3（4）t= t 时刻谐振子能量的可能值、相应几率、平均值与 t=0 时刻相同。143.5 共同本征函数一、两力学量同时有确定值的条件当在 态中测量力学量 A 和 B 时，如果同时具有确定值，那么 必是二力学量共同本征函数。二、两算符对易的物理含义定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。（证明）逆定理：如果两个力
23、学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。（仅考虑非简并情况）（证明）定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例 1：动量算符： 两两对易，zyxp,共同完备本征函数系： rpier2/3)(1同量有确定值： zyx,例 2：定轴转子： ， 相互对易2zlHIzl共同完备本征函数系： 1()2imme同量有确定值： ， 2,EI(0,1)例 3：定间转子： ， ， 两两对易2,zlHlz共同完备本征函数系： (,)lmY,;,)lml 同量有确定值： ， ， 221EI2(1l小结：两个力学量同时有确定值的条件(1)、 ,0AB(2)、体系恰好处在其
24、共同本征态上。三、力学量完全集合1、定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。设有一组彼此对易，且函数独立的厄米算符 (1,2, .)，它们的共同本征函数记为 k，k 是一组量子数的笼统记号。设给定 k 之后就能够确定体系的一个可能状态，则称( 1,2, .)构成体系的一组力学量完全集。例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量： zyxp,例 2：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态： H2、力学量完全集中力学量的个数并不一定等于自由度的数目。一般说来，力学量完全集中力学量的个数体系的自由度数目。3、体系的任何态
25、总可以用包含 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。15四、测不准(不确定度)关系的严格证明不确定度：测量值 An 与平均值 的偏差的大小。1、测不准关系的严格证明（证明）(3)21(),B其中均方偏差 22()A2A或简记为(4)1,B这就是任意两个力学量 A 与 B 在任意量子态下的涨落必须满足的关系式，即不确定度关系。由式(4)可以看出，若两个力学量 A 与 B 不对易，则一般说来 A 与B 不能同时为零，即 A 与 B 不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 与 对易，则可以找出这样的态，使A=0 与 B=0 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。2、坐标和
26、动量的测不准关系(1)、测不准关系ipx,22()x简记之： ， 表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。这说明x 与p x 不能同时为零， x 的均方偏差愈小，则与它共轭的动量 px 的均方偏差愈大。x 有确定值，x =0，p x (2)、利用测不准关系求线性谐振子的零点能 012E3、角动量的测不准关系 ,xyzlil22()4yzl当体系处于 本征态 Ylmzlm22()()4xyl241m当 Ylm 为 Y00 时，m=0 （ ）0同时有确定的本征值 lx、l y2()xyl例 1：利用测不准关系证明，在 本征态 Ylm 下， （证明）zl 016例 2： 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：,zl 2()?xyl综上所述，量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来表达，其含义包括下列几方面：(a) 实验上观测 A 的可能值，必为算符 的某一本征值；(b) 在量子态 之下，力学量 A 的平均值由下式确定，(,)(c) 力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反映出来。
