1、第六章IIR DF的设计方法,第一节引言,一、滤波器的设计方法,因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统，即选频滤波器。它在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。,二、滤波器设计的步骤,1.根据任务，确定性能指标。2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。）4.用适当的软、硬件技术实现包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。,三、性能指标,我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个
2、频带之间的突变）要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。,1、低通滤波器的性能指标,fsws,fpwp,2,1-1,1,Ap,As,fw,|H(ejw)|或|H(f),1:通带的容限,2：阻带容限,通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fs(ws)又称阻带下限截止频率。阻带衰减：As,2、高通滤波器的性能指标,fsws,fpwp,1,Ap,As,fw,|H(ejw)|或|H(f),通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fs(ws)又称阻带上限截止频率。阻带衰
3、减：As,3、带通滤波器的性能指标,fs1ws1,fp1wp1,1,Ap,As,fw,|H(ejw)|或|H(f),通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：As,fp2wp2,fs2ws2,4、带阻滤波器的性能指标,fs1ws1,fp1wp1,1,Ap,As,fw,|H(ejw)|或|H(f),通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：
4、As,fp2wp2,fs2ws2,5、通常具体技术指标,四、H(z)如何推导出,有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z).有时根据时域波形提出要求来设计-单位冲激响应h(n)的形状。有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).,五、确定DF的采用的结构及运算结构的好坏,确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。1.计算复杂性 一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间， 延时器最费存储单元。2. 存储器长度的有限和运算结构将会有影响。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，
5、但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。,六、本章主要内容,1.设计IIR DF两种变换法（模拟频率变换法，数字频率变换法）。2.利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。3.（计算机辅助设计）最优化技术设计（最小均方误差法、最小误差设计法）,第二节IIR DF 设计方法,一、IIR DF 系统函数,IIR DF 是一个递归型系统，其系统函数：,二、IIR DF频率特性,它是由二个参量来表征：1.幅度平方响应（幅频特性）2.群延时（相位响应、相频特性）,1.幅度平方响应,通常我们用的数字滤波器一般属于选频滤波器，幅频特性表示信号通过该滤波器后频率成分衰减情况。本章主
6、要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计，即根据幅度平方响应来设计。,由于冲激响应h(n)为实函数，故满足：,即满足共轭对称条件。若是H(z)的极点，则：,是H(z-1)的极点.又由于H(z)的有理表达式中各系数为实数，因而，零极点必然都以共轭对形式出现，故必有：,两极点存在,所以（1）H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位园镜像对称的。（2）为了使H(z)成为可实现的系统，故取： 单位园内的那些极点作为H(z)的极点 单位园外的那些极点作为H(z-1)的极点H(z)的零点一般不是唯一确定的，可在z平面上的任意位置。（3）如果选H(z)H(z-1)在z平面单位园内的零点作为H(z)
7、的零点，则所得到的是最小相位延时滤波器。,2.相位响应,滤波器的相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成，波形传输、图像信号处理等对波形有严格的要求，则需要设计线性相位数字滤波器。（放在第七章讲）,3.群延时,它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：,三、IIR DF 的设计方法,设 计 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 有 两 种 方 法：1、简单滤波器的零、极点累试法2
8、、间 接 方 法3、直 接 方 法,1、简单滤波器的零、极点累试法,在z平面上直接设计IIR数字滤波器，以滤波器响应作为依据，直接在z平面上，通过多次选定极点和零点位置逼近该响应。 即在单位园内设置一对共轭极点 ，频响在w0处就有一峰值。 r越近于1，极点位置越接近单位园，则峰值就越尖锐。同理，若在单位园内设置一对零点 ， 频响就会在w1处出现零值，即可实现陷波。如特性还达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的DF.这种方法，可以设计一些简单阶数很低（12阶)的DF。,*,*,Rez,Imz,例子,从图中清楚表明，极点愈靠近单位园（r愈靠近1），带通特性愈尖锐。
9、,2、间 接 方 法,由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIR DF的方法，即间接设计方法。这 种 方 法 通 常 要 先 设 计 一 中 间 滤 波 器 ， 然 后 通 过 映 射 或 频 率 变 换 完 成 最 终 IIR 数 字 滤 波 器 的 设 计。这 种 间 接 设 计 方 法中 包 括： (1) 由模 拟滤波器设计数字滤波器 (2) 频 率 变 换 法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设计数字滤波器,3、直 接 方 法,直 接 方 法( 计 算 机 辅 助 设 计 法 ) （1）在频域利用
10、幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。（2）在时域直接设计IIR数字滤波器 此 法 根 据 性 能 指 标 和 一 定 的 逼 近 准 则， 直 接 利 用 计 算 机 完 成 设 计。,第三节由模拟滤波器设计数字滤波器的方法,一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤,这 种 方 法 设 计 经 以 下 三 步：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标2、模拟低通滤波器设计3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器,1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标,根 据 给 定 设 计 要 求， 把 数 字 滤 波 器 的 性 能 指 标 变 成 模 拟 滤 波 器低通 的 性 能
11、 指 标。这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用。（采用冲激不变法和双线性变换法）,2、模拟滤波器设计,设 计 出 符 合 要 求 的 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数Ha(s)。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Ellipse,Bessel等。,3、 映 射 实 现,利 用 一 定 的 映 射 方 法， 把 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 数 字 化， 完 成 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 的 设 计。（采用冲激不变法和双线性变换法）,二、由模拟滤
12、波器设计数字滤波器条件,由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求：H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。，S 平 面 的 虚 轴 j 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上， 即S=j,Z=,因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z).为 保 持 滤 波 器 稳 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即Res0 |z|H(z).即: 将 S 平 面 极 点sk 映 射 -到 Z 平 面 极 点因而只有极点有这种简单映射关系，而零点不满足这种简单 的 对 应关系。将模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 展 开为
13、并联 形式（即部分分式展开），且要求其分母的阶次大于分子的阶次。（因为只有这样才是一个稳定的模拟系统）下面通过推导变换 关 系 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 设 计。,3、设计公式推导,四、模拟滤波器与数字滤波器的变换关系,五、数字滤波器的频率响应,数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应：与 抽 样 周 期T 成 反 比， 当 抽 样 频 率 很 高 时， 将 产 生 很 高 的 增 益， 为 稳 定 增 益， 令h(n)=Tha(nT) 则,六、用冲激不变法设计IIR DF 的一般流程（总结）,用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的一般流程：1、根据设计要求，设定指标。2、将数字
14、滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:3、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。4、将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用 式设计出H(z) 。5、 将 H(z)乘 以 抽 样 周 期T， 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数H(z) 的 设 计。,七、冲激不变法设计IIR DF 的优缺点,（1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。（2）模拟频率和数字频率w之间呈线性关系：w=T如：一个线性相位的模拟滤波器（例贝塞尔滤波器）可以映射成一个线性相位的数字滤波器。（3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只
15、适用于限带的模拟滤波器。,八、冲激不变法应用的局限性,由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。,例子1,|Ha(j)|,w,|H(ejw)|,由于模拟滤波器不是充分限带，所以数字滤波器产生很大的频谱混叠失真。,例子2,设低通DF的3dB带宽
16、频率wc=0.2,止带频率ws=0.4,在 w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz）解：设计分为4步。（1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。因为：fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz,对于冲激不变法，频率变换是线性的。,(2)设计Ha(s),x(n),0.534,1.241,-0.533,1.599,y(n),0.534,1.241,-0.533,-1.001,0.306,y(n),x(n),并联型,级联型,1.333,作业,P330
17、页第1题,第五节阶跃响应不变法,一、变换原理,同冲激响应不变法，可使所设计的数字滤波器的单位阶跃响应g(n)等于模拟滤波器的单位阶跃响应ga(t)按周期T的等间隔采样的采样值ga(nT)。这种设计方法称为“阶跃响应不变法”即,二、变换公式,设模拟滤波器的系统函数为Ha(s),数字滤波器的系统函数为H(z).如果其输入端作用一个阶跃函数u(n),则其输出端即为阶跃响应g(n).,两端取z变换可得：,因此有：,要满足阶跃响应不变，则有,这就是阶跃响应不变法由模拟系统函数Ha(s)映射成数字系统函数H(z)的公式。,因此有：,三、特点,1.由于阶跃不变法仍由模拟滤波器求得相应数字滤波器的系统函数。因
18、模拟滤波器的幅度响应不具有锐截止的通带特性，则利用阶跃不变变换法设计的滤波器也同样存在频响混叠问题。2.由于变换公式中存在因子1/s,因此在高频段将增加6dB/每倍频程的衰减。即对于同一模拟滤波器系统函数，阶跃响应不变法所引入的混叠误差将比脉冲响应不变法所产生的误差小。,四、应用场合,主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器的功能。例如：控制冲激响应或阶跃响应的数字滤波器。这样可把模拟滤波器时域特性的许多优点在相应的数字滤波器中保留下来。而其它情况下设计IIR数字滤波器时，多采用下节介绍的双线性变换法。,作业,P330页第2题,第六节双线性变换法Bilinear Transformatio
19、n,引言,冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从S平面-Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。它是由凯塞(Kaiser)和戈尔登(Golden)提出。,一、变换原理1、定义,双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的一种变换法。,2、双线性变换法的映射关系,实现S平面与Z平面一一对应的关系。,第一次变换：频率压缩,第二次变换：数字化,S平面,S1平面,Z平面,3、双线性变换法的映射规则,双线性变换法的映射规则：（1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面
20、的一条横带里。（2）数字化：将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。,（1）频率压缩,把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。这个横带的宽度为：,则满足：,采用如下变换关系：,（2）数字化,将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。,则可得到S平面-z平面的单值映射关系：,以后变换只须用上面公式带入即可。实际中，为使模拟滤波器的某一频率与数字化滤波器的任一频率有对应的关系，引入常数C,（3）变换常数C的选择1,调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关系。(a)使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。,看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF处，频率响应是严格相等的，它可以较准
21、确地控制截止频率的位置。,利用DF的某一特定频率(例截止频率wc)与AF的某一特定频率c严格相对应。,二、性能分析,1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。2.它是一种简单的代数关系。,只须将上述关系代入AF的Ha(s)中(对直接、级联、并联结构都适用)即可求出DF的H(z),设计十分方便。,4.双线性变换法不适用于设计：(1)设计线性相位的DF(2)它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅度变换是线性的)。(一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数),即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。,3.由于双线性变换中，,5
22、.同时，看出双线性变换：(1)在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。(2)又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的所以称之为双线性变换。频率升高时，非线性失真严重。,6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。,1.线性相位滤波器经双线性变换成非线性相位的滤波器,一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通过双线性变换成为数字微分器。,模拟微分器,数字,2.将滤波器在临界频率点预畸变
23、,对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘临界频率点产生了畸变。这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正，也就是临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。,例如：1、已知数字带通滤波器的四个截止频率(即临界频率)为:,2、如按线性变换所对应的模拟滤波器的四个截止频率分别为：,3、再进行求解模拟带通滤波器的系统函数。4、求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器。,显然就不等于原来给出的数字滤波器的频率要求。即现在带通的四个截止频率不等于原来的：,因此，要事先在数字滤波器指标变为模拟滤波器的指标时，将频率加以预畸变，即利
24、用：,将以上这组数字频率：,变换成一组模拟频率：,三、设计流程,1.根据要求，设定所要设计的数字滤波器指标。2.将各分段频率临界点预畸变。将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。,3.根据中间模拟滤波器的性能指标，设计出模拟滤波器的系统函数Ha(s) 。,5.用：,4. 选定双线性变换常数C。,代入Ha(s)中，得到DF 的H(z). 设计结束,例子1,试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。已知低通DF的3dB带宽频率，止带起始频率，在处的止带衰减解：（1）将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。对双线性变换法根据3dB带宽频率,例2,考虑,描述的Bessel滤波器，若采样速率fs=12kHz,设计一个数字滤波器，使它在f0=3kHz的幅度等于H(s)在=4rad/s处的幅度。,解：,1)确定C,已知数字滤波器的频率为,2)用公式：,代入,作业,P331页第3题,
