1、第二节,一、第二型曲线积分的概念与性质,二、 第二型曲线积分的计算法,第二型曲线积分,第十一章,一、 第二型曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的最大长度),2. 定义.,设 L 为xOy 平面内从 A
2、到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧 , 记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，,当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时，每一小曲线段的,方向都改变，从而小曲线段的投影,也随之,改变符号，故有,而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的,乘积，它与曲线
3、 L 的方向无关. 这是两类曲线积分的,一个重要区别.,定积分是第二类曲线积分的特例.,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,二、对坐标的曲线积分的计算法,特殊情形,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧, 对空间有向光滑弧 :,1. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,思考与练习,2. 设曲线C为曲面,与曲面,从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,
