1、数字信号处理 第2章 时域离散信号和系统的频域分析,授课老师：胡双红 联系电话：13574883343 长沙理工大学计通学院通信工程系,2.3 Z变换,总结DTFT： 将 X (ejw)乘以频率响应H(ejw)，容易计算LTI系统对任意绝对可加序列x(n)的响应； 很多有用信号u(n)、nu(n)，由于不是绝对可加，DTFT不存在 系统由初始条件或者由变化输入引起的暂态响应都不能应用DTFT计算 针对上述特点，我们引入DTFT的推广：Z变换。 其双边形式提供另一种域：Z域，使很大一类序列和系统都能在其中分析； 其单边形式能用于在初始条件或变化输入下求系统响应。,双边Z变换对,双边Z变换,使X(
2、z)存在的z值的集合称为收敛域（ROC），Rx-和Rx+为正数。,其中C是位于ROC内，环绕原点的某一逆时针方向闭合围线,要点,复频率z=|z|ejw ，其中|z|为幅度，w是实频率。 ROC是用幅度|z|定义的，所以其形状为圆环。 如果Rx+ Rx-，则ROC是一个零空间，z变换不存在。 函数|z|=1(即z=ejw)是z平面内的单位圆，如果ROC包括单位圆，在单位圆上对X(z)求值因此离散时间傅里叶变换X(ejw)也称为z变换X(z)的特例. ROC是一个鉴别特征，保证z变换的唯一性。,B(z)=z 是分子多项式 A(z)=z-a是分母多项式 B(z)的根称为X(z)的零点 A(z)的根称
3、为X(z)的极点,例1：设x1(n)=an u(n)，0|a|，求z变换,例2：设x2(n) =-bn u(-n-1)，0|b|，求z变换,例3:设x3(n)=x1(n)+x2(n)=anu(n)-bnu(-n-1)，求z变换,解：利用上面的结论有,小结：ROC性质,ROC总被某个圆所界定，因收敛条件由幅度|z|决定 ROC是一个连通的区域，不会分成几片。 ROC内不包含极点； 至少有一个极点位于ROC的边界上; 右序列(nn0)的ROC总是位于半径为Rx-的圆外； 左序列(n0， ROC 不包括z=0；,线性样本移位频移反转,z变换的性质,复共轭z域微分相乘卷积,表2.1 常用Z变换对,解：
4、应用样本移位性质，ROC不变再应用z域微分性质， ROC不变从表4.1中查得,例：利用z变换性质和z变换表，求下式z变换,matlab确认 b=0,0,0,0.25,-0.5,0.0625; a=1,-1,0.75,-0.25,0.0625; delta,n=impseq(0,0,8); x =1 0 0 0 0 0 0 0 0 x=filter(b,a,delta) x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938 x=(n-2).*(0.5).(n-2).*cos(pi*(n-2)/3).*stepseq(2,0,8) x =0 0
5、 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938,例：设X1(z)=z+2+3z-1和X2(z)=2z2+3z+4+5z-1，求X3(z)=X1(z)X2(z)。,思路： 由z变换定义式很容易得到x1(n)和x2(n)， 根据性质8，将z域中的乘积转化为时域中的卷积（conv_m实现） 最后将卷积的结果转化为z域表达式。,解：,依z变换定义可得 x1(n)=1,2,3 x2(n)=2,3,4,5 利用matlab 中的conv_m函数 x1=1,2,3;n1=-1:1; x2=2,3,4,5;n2=-2:1; x3,n3=conv_m(x1,n1,
6、x2,n2)x3 =2 7 16 22 22 15n3 =-3 -2 -1 0 1 2 将卷积结果化为z域表达式得：X3(z)=2z3+7z2+16z+22+22z-1+15z-2,逆z变换,主要思想：当X(z)是z-1的有理函数时，利用部分分式展开法表示为若干一阶因式的和，分别求反变换。 方法：,其中pk是X(z)的第k个极点，Rk是在极点pk上的留数,留数的求法：如果极点都是单阶极点,matlab实现 利用residuez函数,当两个多项式B(z)和A(z)分别用两个向量b和a 给出时 R,p,C=residuez(b,a) 求出X(z)的留数、极点和直接项。 b,a=residuez(R
7、,p,C) 将部分分式展开式转换回到多项式,eg求有理函数 的反变换,MATLAB验证： b=0,1;a=2,-3,1; R,p,C=residuez(b,a),R = 1-1 p = 1.00000.5000 C =,由方程可得：x(z)有两个极点：z1=1，z2=0.5； 1） ROC1:1|z|.两个极点都位于ROC1内2） ROC2:0|z|0.5，两个极点都位于ROC2外3） ROC3:0.5|z|1，z1于ROC3外, z2于ROC3内,确定收敛域：,如：已知 求有理多项式形式 R=1,-1;p=1,0.5;C=0; b,a=residuez(R,p,C) b =0 0.5000
8、0 a =1.0000 -1.5000 0.5000 还原为有理多项式形式,已知函数的部分分式的和的形式，要求有理多项式调用residuez函数实现,例：求 的z反变换 解：首先利用MATLAB求出分母多项式及其留数 b=1;a=poly(0.9,0.9,-0.9) a =1.0000 -0.9000 -0.8100 0.7290 R,p,C=residuez(b,a) R =0.25000.50000.2500 p =0.90000.9000-0.9000 C =,所以利用表4.1与z变换的时移性质可得：注意：这里调用了一个新函数poly,poly函数,作用：已知多项式的所有根，求多项式系数
9、 如：已知某多项式有5个根，分别为1,2,-3,4,5，求多项式 poly(1,2,-3,4,5) ans =1 -9 13 69 -194 120 原多项式为 1- 9 x-1+13x-2+69x3-194x-4 +120x 5或 x 5 - 9 x 4 + 13x 3 + 69x 2 - 194 x + 120,例：求 的z反变换 解：首先用MATLAB确定分母多项式及其留数 b=1,0.4*sqrt(2);a=1,-0.8*sqrt(2),0.64; R,p,C=residuez(b,a) R =0.5000 - 1.0000i0.5000 + 1.0000i p =0.5657 + 0
10、.5657i0.5657 - 0.5657i C =, magp=abs(p) magp =0.80000.8000 angp=angle(p)/pi angp =0.25-0.25,由基本函数z变换表得 delta,n=impseq(0,0,6); x=filter(b,a,delta) % check sequence x =1.0000 1.6971 1.2800 0.3620 -0.4096 -0.6951 -0.5243 x=(0.8).n).*(cos(pi*n/4)+2*sin(pi*n/4) x =1.0000 1.6971 1.2800 0.3620 -0.4096 -0.6
11、951 -0.5243,z域的系统表述,系统函数定义：单位脉冲响应h(n)的z 变换H(z)利用卷积性质有：Y(z)=X(z)H(z)；ROCy=ROCx ROCh,一、从差分方程求系统函数,若LTI系统差分方程 欲求系统函数H(z)，在该差分方程两边求z变换，整理得：,二、传递函数表示 如果H(z)的ROC包括单位圆(z=ejw)，就能在单位圆上对H(z)求值，得到传递函数H(ejw)(ejw-zl)可看作从零点zl到单位圆z=ejw上点的一个向量 (ejw-pk)可看作从极点pk到单位圆z=ejw上点的一个向量,所以传递函数可理解为从零点到单位圆的各向量长度的乘积除以从极点到单位圆的各向量
12、长度的乘积再乘以|b0| 。同样相位响应函数能理解为一个常数因子，一个线性相位因子，和一个非线性相位因子（零点向量的相角和减去极点向量的相角和）的之和,零极点位置对幅度特性的影响 当B点由w=0逆时针旋转到w=2时，|H(ejw)|与各零极点向量长度变化有关。 如果极点向量长度变短，或者零点向量长度加长，传递函数幅度加大， 否则，传递函数幅度减小。 结论： z平面原点处的极零点不影响系统的幅频响应。 极点主要影响幅度特性的峰值，极点越靠近单位圆，峰值越高越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响为，响应在该点处，系统不稳定。 零点主要影响幅度特性的谷值，零点越靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时
13、，幅度为零。,MATLAB实现： 应用 freqz 函数实现 调用格式：H，w = freqz ( b，a，N )H，w = freqz ( b，a，N ，whole )H = freqez ( b，a， w) 已知因果系统 y(n)=0.7y(n-1)+x(n) 1）求H(z)并画出零极点图， 2）画出幅频特性和相频特性曲线； 3）求脉冲响应h(n).,解：1)由系统函数 可得零极点图 b=1,0;a=1,-0.7; zplane(b,a),2）幅频特性和相频特性曲线 H,w=freqz(b,a,100); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);
14、plot(w/pi,magH);grid xlabel(frequency in pi units);ylabel(Magnitude) title(Magnitude Response) subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi);grid xlabel(frequency in pi units);ylabel(Phase in pi units) title(Phase Response)3）求h(n) 利用z反变换表得：,例：已知 是一个因果系统 求：1）传递函数表示2）差分方程表示3）脉冲响应表示 解：1）在H(z)代入z=ejw2）利用H(z)=Y(z)/X
15、(z)交叉相乘得两边取z反变换,3）脉冲响应为系统函数的z反变换 首先利用MATLAB求出分母多项式和留数 a=1,1,4,4;b=1,0,0,6; R,p,C=residuez(b,a) R =0.2500 + 0.5000i0.2500 - 0.5000i-1.0000 p =-0.0000 + 2.0000i-0.0000 - 2.0000i-1.0000 C =1.5000,所以有由基本函数z变换表4.1得, Mp=abs(p) Mp =2.0000 2.0000 1.0000 Ap=angle(p)/pi Ap =-0.5000 0.5000 -1.00000,三、系统各种表示之间的
16、关系,系统表示之间的关系,四、稳定性和因果性 稳定性：时域表示：DTFT表示：H (e jw)存在z域表示：H(z)的ROC必然包括单位圆(|z|=1) 因果性：时域表示：h(n)=0，n0。z域表示： H(z)的ROC在半径为R h-的某个圆外面。 因果稳定性：当且仅当系统函数H(z)的全部极点位于单位圆内时，因果LTI系统是稳定的。,4.5 差分方程的解 数字信号处理中，差分方程一般都是以正n方向前进的，其解也都是对n0求出的，因此我们定义单边z变换。 一、单边z 变换 定义： 样本移位性质给出为或 利用这个公式，可以求解具有初始条件和变化输入的差分方程。,二、MATLAB实现 用filt
17、er函数求解差分方程 用filtic函数确定初始条件 调用格式： y=filter ( b，a，x，xic ) 其中xic是等效初始状态输入数组 xic=filtic ( b，a，Y，X) 其中Y和X是分别从y(n)和x(n)的初始条件来的初始状态数组，其形式为 Y=y(-1)，y(-2)，y(-N) X=x(-1)，x(-2)，x(-M),例：解差分方程其中 ，y(-1)=-2，y(-2)=-3；x(-1)=1，x(-2)=1先用解析法求解，再用MATLAB验证 解：差分方程两边取单边z变换代入初始条件得现在代入,用部分分式展开法展开得由基本函数z变换表4.1得：,-MATLAB验证- b=
18、0.45,0.4,-1;a=1,-0.4,-0.45; Y=-2,-3;X=1,1; xic=filtic(b,a,Y,X) xic =-2.7500 -1.9000 bxplus=1,-0.5;axplus=1,-1,1; ayplus=conv(a,axplus) ayplus =1.0000 -1.4000 0.9500 0.0500 -0.4500 byplus=conv(b,bxplus)+conv(xic,axplus) byplus =-2.3000 1.0250 -2.0500 -1.4000 R,p,C=residuez(byplus,ayplus),R =0.4902 - 0.0986i0.4902 + 0.0986i-3.2115 -0.0689 p =0.5000 + 0.8660i0.5000 - 0.8660i0.9000 -0.5000 C = Mp=abs(p),Ap=angle(p)/pi Mp =1.0000 1.0000 0.9000 0.5000 Ap =-0.3333 0.3333 0 -1.0000,
