1、机械 振动,第四章,广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。,振动分类,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,4-1 简谐振动的动力学特征,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡 位置的位移x（或角位移）随时间 t 按余 弦（或正弦）规律变化的振动。,简谐运动 最简单、最基本的振动.,一、弹簧振子：,则有：,令：,其通解为 ：,此称简谐振动微分方程,胡克定律,根据牛二：,补充,弹簧振子的运动图线,结论：单摆的小角度振动 是简谐振动。其角频率、 振动的周期分别为：,当 时,摆球对C点的力矩,令,则,其通解为：,一、简谐振动的运动学方程,4-2 简谐振动的运
2、动学,简谐振动的微分方程,简谐振动的运动学方程,由于,令,则有,二、描述简谐振动的特征量,1、振幅 A ：,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,初始条件,频率 ：单位时间内物体完成的完全振动的次数。,2、周期 、频率、圆频率,周期T ：物体完成一次全振动所需时间。,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,对弹簧振子,固有角频率、固有周期、固有频率,单摆,位相，决定谐振动物体的运动状态,0 是t =0时刻的位相初位相,3、位相和初位相,初始条件,位相差 两振动位相之差。,当=2k ,k=0,1,2, 两振动步调相同,称同相,当=(2k+1) , k=0,1,2. 两振动步
3、调相反,称反相,2 超前于1 或 1滞后于 2,位相差反映了两个振动不同程度的参差错落,同相,反相,对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.,三、简谐振动的旋转矢量表示法,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,两矢量方向相同,两矢量方向相反,取,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,由图可见：, t+,旋转矢量法表示位移、速度、加速度之间的位相关系,例:如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l =9.8cmt=0时 x0= - 9.8cm, v0=0(1) 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；(2) 若取x0=0，v00为计时零点, 写出振动方程,并计算振动频
4、率。,解：, 确定平衡位置 mg=k l 取为原点k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)= -kx 作简谐振动,设振动方程为：,由初始条件：t=0时 x0= - 9.8cm, v0=0 得,由x0=Acos0= - 0.098 0 cos0 0, 取0 = ,振动方程为：x=9.810-2cos( 10t+ ) m,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,v0= - Asin0 , sin 0 0, 取0=3/2, x=9.810-2cos(10t+3/2) m,对同一谐振动取不同的计时起点，0不同，但、A不变,固有频率,(2) 若取x0=0，v00为计时零点,
5、写出振动方程,并计算振动频率。,不相干,例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：方法1,设振动方程为,故振动方程为,方法2：,用旋转矢量法求解。,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,t =1s时,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量 = 系统的动能Ek + 系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,4-3 简谐振动的能量,注意：其频率是运动方程的2倍。,动能,势能,情况同动能。,机械能,简谐振动系统机械能守恒,线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒,例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加
6、速度为 ，求：,解 （1）,（2）,（3）,由,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为 。,质点同时参与同方向同频率的谐振动 :,合振动 :,4-4 简谐振动的合成,通过和差化积，化简，可得,X,合振动的角频率：,合振动的振幅：,用旋转矢量法也可得到相同结果,0,讨论：,合振动不是简谐振动,二. 同方向不同频率简谐振动的合成,分振动,合振动,利用三角函数关系式：,式中,随t 缓变,随t 快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,当2 1 时,频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,如：两个频率相近的音叉同时振动时，可听到时强时弱的“嗡、嗡.。 -“拍现象”,拍产生的条件：,频率较大而频率之差很小,拍： 合振动忽强忽弱的现象,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数,又振幅只能取正, 拍=|2-1|,
