1、浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 1 页 共 9 页2017 学 年 第 一 学 期 浙 江 省 名 校 协 作 体 试 题高 三 年 级 数 学 学 科考 生 须 知 ：1.本 卷 满 分 150分 ， 考 试 时 间 120分 钟 ；2.答 题 前 ， 在 答 题 卷 指 定 区 域 填 写 学 校 、 班 级 、 姓 名 、 试 场 号 、 座 位 号 及 准 考 证 号 ；3.所 有 答 案 必 须 写 在 答 题 卷 上 ， 写 在 试 卷 上 无 效 ；4.考 试 结 束 后 ， 只 需 上 交 答 题 卷 。一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题
2、 4 分 ， 共 40 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）1. 31 ii ( )5 10. . 10 . . 52 2A B C D2. 双 曲 线 2 2 19 4y x 的 渐 近 线 方 程 是 （ ）来 源 :学 科 网 ZXXK9 4 3 2. . . .4 9 2 3A y x B y x C y x D y x 3 若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 11y xx yy ， 则 2x y 的 最 大 值 是 （ ）A.3 B .2 C .4 D.54 已 知 数 列 na 的 前 n项 和 nS
3、 ， 且 满 足 2 3n nS a n N ， 则 6S （ ）A. 192 B . 189 C . 96 D. 935. 41 2 1 xx 展 开 式 中 2x 的 系 数 为 （ ）. 16 . 12 . 8 . 4A B C D6 已 知 cos ,sina ， cos ,sinb ， 那 么 0“ ”a b 是“ 4k k Z ”的 （ ）浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 2 页 共 9 页A. 充 分 不 必 要 条 件 B . 必 要 不 充 分 条 件C . 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件7 已 知 函 数 22 1 3 0xf x x e
4、ax a x 为 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）.A 2 , )e .B 3 , )2e .C ( , 2 e .D 3( , 2e 8. 设 ,A B是 椭 圆 2 2: 14x yC k 长 轴 的 两 个 端 点 ， 若 C 上 存 在 点 P 满 足 120APB ，则 k 的 取 值 范 围 是 （ ）4 2. (0, 12,+ ) . (0, 6,+ ) 3 32 4. (0, 12,+ ) . (0, 6,+ )3 3A BC D 9. 函 数 2 2 3y x x x 的 值 域 为 ( ). 1 2, ) . ( 2, ) . 3, ) . (1, )
5、A B C D 10. 设 数 列 nx 的 各 项 都 为 正 数 且 1 1x . ABC 内 的 点 nP n N 均 满 足 nP AB 与nP AC 的 面 积 比 为 2:1， 若 11 (2 1) 02n n n n nP A x P B x PC ， 则 4x 的 值 为 ( ).15 .17 .29 .31A B C D二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 多 空 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 36 分 ， 把 答 案 填 在题 中 横 线 上 ）11. 一 个 棱 长 为 2 的 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部
6、 分 后 ， 剩 下 部 分 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 则 该几 何 体 的 表 面 积 为 ， 体 积 为 12 已 知 在 ABC 中 , 3AB , 7BC , 2AC ， 且 O是 ABC 的 外 心 ， 则 AO AC ，浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 3 页 共 9 页AO BC .13. 已 知 7 12sin cos2 2 25 ， 且 0 4 ， 则 sin ，cos 14. 安 排 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 5 名 大 学 生 去 杭 州 、 宁 波 、 金 华 三 个 城 市 进 行 暑 期 社 会 实 践 活动 ， 每 个 城 市 至 少
7、安 排 一 人 ， 则 不 同 的 安 排 方 式 共 有 种 ， 学 生 甲 被 单 独 安 排 去 金 华 的概 率 是 15. 已 知 F 是 抛 物 线 2: 4C y x 的 焦 点 ， M 是 C 上 一 点 ， FM 的 延 长 线 交 y 轴 于 点 N . 若12FM MN ， 则 FN 16. 已 知 函 数 2 2 , 0 ,ln 1 4, 0x xxf x x x 则 关 于 x 的 方 程 2 4 6f x x 的 不 同 实 根 的个 数 为 17. 如 图 ， 棱 长 为 3的 正 方 体 的 顶 点 A在 平 面 内 ， 三 条 棱 AB , AC , AD都
8、在 平 面 的 同侧 . 若 顶 点 B ,C到 平 面 的 距 离 分 别 为 2 , 3 ， 则 平 面 ABC 与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 余弦 值 为 .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 74 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）18 （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 已 知 函 数 2( ) sin cos cosf x x x x ( 0) 的 最 小 正 周 期 为 .（ ） 求 的 值 ；（ ） 将 函 数 ( )y f x 的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的
9、 12 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 得 到 函 数浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 4 页 共 9 页( )y g x 的 图 象 ， 求 函 数 ( )y g x 在 区 间 ,04 上 的 最 值 来 源 :学 科 网 19. （ 本 小 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， AB AP ， AB CD， 且PB BC 6BD , 2 2 2CD AB ， 120PAD .（ ） 求 证 ： 平 面 PAD 平 面 PCD；（ ） 求 直 线 PD与 平 面 PBC 所 成 角 的 正 弦 值 20 （ 本 小 题 满 分 15 分 ） 设 函
10、 数 Rmxmxxf ,ln)( （ ） 当 em (e为 自 然 对 数 的 底 数 )时 ， 求 )(xf 的 极 小 值 ；（ ） 若 对 任 意 正 实 数 a、 b（ a b ） ， 不 等 式 ( ) ( ) 2f a f ba b 恒 成 立 ， 求 m的 取 值 范 围 浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 5 页 共 9 页21 （ 本 小 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 已 知 抛 物 线 pyxC 2: 21 的 焦 点 在 抛 物 线 22 : 1C y x 上 ，点 P是 抛 物 线 1C 上 的 动 点 （ ） 求 抛 物 线 1C 的 方 程 及 其 准 线
11、 方 程 ；（ ） 过 点 P作 抛 物 线 2C 的 两 条 切 线 ， A、 B分 别 为 两 个 切 点 ， 求 PAB 面 积 的 最 小 值 22 （ 本 小 题 满 分 15 分 ） 已 知 无 穷 数 列 na 的 首 项 1 12a ， 11 1 1 ,2 nn na n Na a .（ ） 证 明 ： 0 1 na ；（ ） 记 211 n nn n na ab a a ， nT 为 数 列 nb 的 前 n项 和 ， 证 明 ： 对 任 意 正 整 数 n， 310nT .命 题 ： 金 华 一 中 衢 州 二 中 （ 审 校 ） 审 核 ： 诸 暨 中 学浙 江 学 联
12、数 学 教 研 组第 6 页 共 9 页2017 学 年 第 一 学 期 浙 江 省 名 校 协 作 体 参 考 答 案高 三 年 级 数 学 学 科一 、 选 择 题二 、 填 空 题 来 源 :学 科 网 11. 18 2 3 ， 203 12. 2， 52 13. 35 ， 45 14. 150, 775 15. 5 16. 4个17. 23三 、 解 答 题18 解 :( ) 2 1( ) sin(2 )2 4 2f x x -4分22T ,所 以 1 -6分( ) 2 1( ) (2 ) sin(4 )2 4 2g x f x x -8分当 ,04x 时 ， 34 , 4 4 4x
13、-10分所 以 min 3 1 2( ) ( )16 2g x g ； max( ) (0) 1g x g -14 分19 解 ： ( )证 明 ： 取 CD中 点 为 E ， 连 接 BE ， 因 为 BC BD ， 所 以 BE CD ， 又2CD AB ， AB / / CD， 所 以 / /AB DE ， 所 以 四 边 形 ABED 为 矩 形 ， 所 以 AB AD ，又 AB AP ， 所 以 AB 平 面 PAD .-4分又 / /AB CD ， 所 以 CD 平 面 PAD ，又 CD 平 面 PCD， 所 以 平 面 PAD 平 面 PCD.-6题 号 1 2 3 4 5
14、6 7 8 9 1 0 来 源 :学 科 网 答 案 D C A B C B A A D A浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 7 页 共 9 页分( ) 在 ABP 中 ， 2AB ， 6PB ， AB AP ， 所 以 2AP ； 来 源 :学 科 网 在 ABD 中 ， 2AB ， 6BD ， AB AD ， 所 以 2AD .取 PD和 PC的 中 点 分 别 为 F 和 G ， 则 / / 12FG CD ，又 / / 12AB CD ， 所 以 / /AB FG ， 所 以 四 边 形 AFGB 为 平 行 四 边 形 ，又 2PA AD ， F 为 PD的 中 点 ， 所 以
15、AF PD ，所 以 AF 平 面 PCD， 所 以 BG 平 面 PCD， 所 以 平 面 PBC 平 面 PCD， -10分所 以 PC为 PD在 平 面 PBC 上 的 射 影 ， 所 以 DPC 为 PD与 平 面 PBC 所 成 的 角 。 - 12分在 Rt PDC 中 ， 2 2CD ， 2 3PD ， 所 以 2 5PC ，所 以 2 2 10sin 52 5CDDPC PC 。即 直 线 PD与 平 面 PBC 所 成 角 的 正 弦 值 为 105 - 15分（ 用 其 它 方 法 （ 如 用 空 间 向 量 法 、 等 体 积 法 等 ） 解 答 ， 酌 情 给 分 ！
16、）20 解 ： （ ） m e 时 ， 2 21( ) e x ef x x x x ， -2分所 以 ( )f x 在 (0, )e 上 单 调 递 减 ， 在 ( , )e 上 单 调 递 增 ，故 当 x e 时 ， ( )f x 取 极 小 值 为 ( ) 2f e 。 - 6分（ ） 不 妨 设 a b ， 则 有 ( ) ( ) 2 2f a f b a b ， 即 ( ) 2 ( ) 2f a a f b b ，浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 8 页 共 9 页构 造 函 数 ( ) ( ) 2g x f x x ， 所 以 ( ) ( )g a g b ， 所 以 ( )
17、g x 为 (0, ) 上 为 减 函 数 -10分所 以 21( ) 2 0mg x x x 对 任 意 (0, )x 恒 成 立 -12分即 2 max 1( 2 ) 8m x x -15分21 解 ： （ ） 1C 的 方 程 为 2 4x y -3分其 准 线 方 程 为 1y -5分（ ） 设 ),2( 2ttP ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 切 线 PA的 方 程 ： 1 1 12 ( )y y x x x ， 即 21 1 12 2y x x x y ， 又 21 1 1y x ， 所以 1 12 2y x x y ， 同 理 切 线 PB
18、的 方 程 为 2 22 2y x x y ， 又 PA和 PB都 过 P点 ， 所以 21 1 22 24 2 04 2 0tx y ttx y t ， 所 以 直 线 AB 的 方 程 为 24 2 0tx y t .-9分联 立 224 21y tx ty x 得 2 24 1 0x tx t ， 所 以 1 2 21 2 4 1x x tx x t 。所 以 2 2 21 21 16 1 16 12 4AB t x x t t -11分点 P到 直 线 AB 的 距 离 2 2 2 22 2|8 2 | 6 +21 16 1 16t t t td t t -13分所 以 PAB 的 面
19、 积 32 2 2 21 2 3 1 3 1 2 3 12S AB d t t t 所 以 当 0t 时 ， S 取 最 小 值 为 2。 即 PAB 面 积 的 最 小 值 为 2-15分22. （ ） 证 明 ： 当 1n 时 显 然 成 立 ； 假 设 当 n k ( )k N 时 不 等 式 成 立 ， 即 0 1ka ，那 么 当 1n k 时 ， 11 1 1( )2 kk kaa a 1 12 12 k ka a ， 所 以 10 1ka ，即 1n k 时 不 等 式 也 成 立 .浙 江 学 联 数 学 教 研 组第 9 页 共 9 页综 合 可 知 ， 0 1na 对 任
20、意 n N 成 立 .-5分（ ） 1 22 11nn naa a ， 即 1n na a ， 所 以 数 列 na 为 递 增 数 列 。 -7分又 11 1 1 1 1( )2 nn n n naa a a a 1 1( )2 nn aa ， 易 知 1 nn aa 为 递 减 数 列 ，所 以 11 1n na a 也 为 递 减 数 列 ，所 以 当 2n 时 ， 11 1n na a 221 1( )2 aa 1 5 4( )2 4 5 940 -10分所 以 当 2n 时 ， 211( )n nn n na ab a a 1 111 1 9( )( ) ( )40n n n nn na a a aa a -12分当 1n 时 ， 1 1 9 340 10nT T b ， 成 立 ；当 2n 时 ， 1 2n nT b b b 3 2 4 3 19 9 ( ) ( ) ( )40 40 n na a a a a a 1 29 9 ( )40 40 na a 29 9 9 9 4 27 3(1 ) (1 )40 40 40 40 5 100 10a 综 上 ， 对 任 意 正 整 数 n， 310nT -1 5 分
