1、第三章 岩层变形分析的力学基础 第一节 应力分析 第二节 变形分析 第三节 影响岩石力学性质和 岩石变形的因素 第四节 构造应力场,地球形成、演化的角度看 作为经典物理学的重要分支，力学过程是控制地球形 成演化的基本物理过程之一； 地质科学发展的角度看 地质问题的力学解答是构造地质学的重要组成部分； 是地球动力学的基本内容；是实现地球科学研究由定性向 定量化方向发展的重要途径之一； 相关学科的发展看 数学方法（有限元、有限差分等）、力学理论与计算 机科学发展使对地质问题开展定量化力学研究成为可能；,为什么在地质科学中引入力学问题？,第一节 应力分析 一、基本概念 二、平面应力状态 三、空间应力
2、状态,第一节 应力分析 一、基本概念 1. 外力 指由外界施加给物体的力，包括体力、面力；,（1）体力 指作用于物体内部每个质点的外力，如重力、星 球间引力等，在相隔一定距离之间相互作用； 体力的表示方法： 弹性力学中，体力是指作用于物体内部单位体积的力； 定义一点P的体力为： 体力沿坐标轴分量用Fbx,Fby,Fbz表 示，其方向规定与坐标轴正方向一致为正；,（2）面力 指作用于物体表面的外力，如流体压力，是 通过接触面传递的； 面力的表示方法： 弹性力学中，面力是指单位 面积的力； 定义一点P的面力为： 面力沿坐标轴分量用Fsx、Fsy和Fsz表示；其方向 规定与坐标轴正方向一致为正；,2
3、. 内力 指同一物体内部各质点之间相互作用的力，包 括固有内力和附加内力； （1）固有内力 指在未受外力作用时，其内部各质点之间存在 的自然结合力； 每种物体有其特定的固有内力； 它使质点保持一定相对位置，使物体保持一定 的形状；,（2）附加内力 指物体受外力作用时固有内力的改变量； 反映外力作用的效果，其作用是阻止物体继续 变形并力图恢复到原来的形状； 附加内力只能在一定限度内增大，超过限度导 致物体发生破坏；,3. 应力 指由外力引起的作用在物体内部单位面积上 的附加内力（简称内力），表征内力的集度；,应力的表示方法 内力计算常采用截面法，即利用假想平面将物 体截为两部分，将希望计算内力的
4、截面暴露出来， 通过力的平衡关系计算截面内力F； 定义通过任意点M，法线方向为n的微分面上的 应力矢量Pn为： 应力pn是矢量，其方向是内力 F的极限方向；它随点的位置以及 过该点的截面方向的变化而改变。,应力矢量的分解 A，将应力矢量pn沿坐标轴方向分解，分量用px, py, pz表示； B，将应力矢量 pn沿微分面S的法线和切线方向分解； 正应力：指应力矢量沿微分面外法线方向投影，用n表示； 剪应力（切应力）：平行于微分面S 的 投影，切应力作用于截面内，用n 表示； 已知截面方位就确定了正应力 n的方向； 但同一截面内切应力方向有无穷多种可能；,4.一点的应力状态 物体受外力后，在物体内
5、部的同一点处，不同截面上的应力不同，将通过该点的各个截面上的应力状况（大小、方向）称为该点的应力状态；,（1）一点的应力状态的表示 为了表达物体内部任一点的应力状态，在该点从物体内截取一个微小平行六面体，其棱边平行于坐标轴； 然后沿三个坐标轴将每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力；,x表示作用在垂直于X轴的 面上的正应力；xy表示作用在垂直于X轴的 面上而沿着Y轴方向 作用的剪应力；y，z， yz，zx，yx？,力学中应力的正负号规定 剪应力： 如果某一截面的外法线方向沿着坐标轴的正方向（负方向），该截面上的剪应力分量就以沿坐标轴正方向（负方向）时为正，沿坐标轴负方向（正方向）时为负；
6、 正应力：拉应力为正，压应力为负，这一点与构造地质学中相反；,六面体单元的3对截面共有九个应力分量，在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量表示，它可以完整地描述一点的应力状态；,在物体内任一点，如果已知x、y、z、xy、yz、zx六个应力分量，就可以求得过该点的任意截面上的正应力和剪应力，它们可以完全确定该点的应力状态；将它们称为一点的应力分量；,剪应力互等关系 作用在两个互相垂直的面上并且 垂直于该两面交线的剪应力互等（大小相等，正负号相同）；,对于物体内的同一个点，六面体单元的取法不同，其应力分量的取值也不同，总可以找到一个特殊方位的六面体，在它的各面上只有正应力，而无剪应力； 主平面：指
7、只作用有正应力而剪应力为零的截面； 主应力：作用在主平面上的正应力； 该特殊方位的六面体上实际上只作用有三个主应 力，通常1代表最大主应力，2代表中间主应 力，3代表最小主应力； 一点的应力状态也可以由三个主应力完全确定；,（2）常见的应力状态 根据主应力存在的情况，将应力状态分为三种基本类型：,二、平面应力状态,物体为薄板状，其厚度远小于另外两个方向尺度； 薄板所受外力（包括体力）均平行于其中面（中面为平面），并 沿厚度方向不变；薄板的两个表面不受外力作用； 应力分量也均发生在薄板中面内， 由于板很薄，应力分量也沿厚度 均匀分布，不沿厚度方向改变；,平面应力问题,平面应变问题,物体为具有很长
8、纵向轴的柱形物体，横截面大小和 形状沿纵向不变； 所受外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变，物体两 端受固定约束；,平面应变问题,从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷对此横截面是对称的。 设纵向轴为z轴，因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动，即沿z方向的位移恒等于零： 只有应力x，y，z =-* (x+y)和xy不等于零， 而且这些应力均为x，y的函 数，与坐标z无关；,1.平面一般应力状态 主要目的（1） 已知任一点P处应力分量x、y和xy，求经过该点的平行于Z轴而倾斜于X轴或Y轴的任何斜面上的应力；,在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴
9、和Y轴的两个平面划出一个微小的三角板（平面应力问题）或三棱柱（平面应变问题）PAB，当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的平均应力就成为上述斜面上的应力； 用N代表斜面AB的外法线方向，设其方向余弦为： cos（N，X）= l，cos（N，Y）= m； 设斜面AB的面积为ds，则界面PB及PA的 面积分别为lds及mds；,假设斜面AB上的应力为S，它分解为XN、YN， 或者分解为正应力N和剪应力N； 由PAB的平衡条件Fx=0可得: XNds=xlds+yxmds； 即 XN =lx+myx 同理，由PAB的平衡条件Fy=0 可得： YN = lxy + my,斜面AB上的正应力N为： N
10、 = lXN + mYN = l2x +m2y+2lmxy 斜面AB上的剪应力N为： N = lYN mXN = lm(y-x) + (l2 - m2)xy N正负号规定：把N顺时针转动90而达到N则为正； N = (x +y)/2+(x-y)/2)cos2 +sin2xy N = (y-x)/2)sin2+xy cos2,主要目的（2） 已知任一点P处应力分量x、y和xy，求该点处的主应力和应力主向（应力主面法线方向，即主应力方向）；,假设在P点有一个应力主面存在，由于该面上剪应力 为零，该面全应力S等于该面上正应力，也就等 于主应力； 该面上的全应力可沿坐标轴方向分解为： XN=l，YN=
11、m； 得到： XN = lx+myx =l， YN = lxy + my = m 由两式分别解出m/l： m/l = （-x）/xy = xy/（-y） 得到的二次方程： 2 -（x+y）+（xy-xy2）= 0,求得两个主应力大小分别为： 1 =（x +y）/2 +（x-Y）/2）2 +xy2）1/2 3 =（x +y）/2 -（x-Y）/2）2 +xy2）1/2 显然，1 +3 =x +y,应力主向（应力主平面法线方向，即主应力方向）：,设1与X轴夹角为1，则 tg1=sin1/cos1=m1/l1 得到：tg1=（1-x）/xy 设2与X轴夹角为2，则 tg2=sin2/cos2=m2/
12、l2 得到：tg2=xy / （2-y） 因为1 +2 =x +y，即1 - x = -（2 y） 所以 tg1 *tg2 = -1， 表示两个主应力1与2互相 垂直；,主要目的（3） 已知任一点P处两个主应力1、2及其应力主向，求这一点的最大应力和最小应力；,最大正应力和最小正应力,将X轴和Y轴分别放在1和2方向，于是有 x =1，y =2，xy = 0； 任一斜面上的正应力为： N=l2x +m2y+2lmxy= l21 +m22 = l21 +（1- l2 ）2 = l2（1- 2）+2 因为l2的最大值为1，最小值为0，所以N的最大 值为1 ，最小值为2，即两个主应力包含 了最大与最小
13、正应力；,最大剪应力和最小剪应力（数学上的最大与最小）,将X轴和Y轴分别放在1和2方向，于是有 x =1，y =2，xy = 0； 任一斜面上的剪正应力为： N = lm（y - x）+ （l2- m2） xy = lm（2 - 1）= l（1- l2）1/2 （2 - 1） = （l2- l4）1/2 （2 - 1） = （1/4 （1/2-l2）2）1/2 （2 - 1） 显然，当1/2-l2=0时， N = （1 - 2）/2为最大或最小； 即最大与最小剪应力为 （1 - 2）/2，发生在与应力主 向成45的斜面上；该斜面上正应力为（1 + 2）/2 ；,已知任一点P处的应力分量，求通过
14、该点任一截面上的应力，有两种途径： 应力公式求解； 几何作图法求解应力莫尔圆（源于 材料力学）,2.平面应力莫尔圆,一个应力莫尔圆代表物体内一点的应力状态； 莫尔圆周上某一点（横、纵坐标）对应经过物 体内一点的某一方位截面（应力分量）； 若截面法线与某一参考面夹角为，则在莫尔 圆上与该截面对应的点为以参考面为起点，沿 相同方向旋转2圆心角所到达的点；,应力莫尔圆：,（1）平面一般应力莫尔圆 即已知任一点P处的应力分量x、y和xy,任一斜截面（外法线方向与x正轴夹角为）上的应力公式： = (x +y)/2+(x-y)/2)cos2+sin2xy = (y-x)/2)sin2+xy cos2 得到
15、平面一般应力莫尔圆方程： 对应以点 为圆心，以 为半径的圆；,规定：该情况下，X轴（视为截面外 法线）与x平行，在莫尔圆 上与过D1（x，xy）点的半 径线重合； 外法线与x正轴夹角为的截面mn 上的应力（正、剪）对应莫尔圆上 从过D1点的半径线起逆时针转2圆 心角到达的D点坐标（横、纵）；,（2）平面主应力莫尔圆 即已知任一点P处的主应力分量1、2,令：x =1，y =2，显然xy = 0； 由平面一般应力莫尔圆方程： 得到平面主应力莫尔圆方程： 对应以点 为圆心，以 为半径的圆；,最大主平面ab上的应力由莫尔 圆上的A点代表； 最小主平面ac上的应力由莫尔 圆上的B点代表； 外法线与最大主平面ab的法线X 轴夹角为的截面上的应力由 莫尔圆上的D点代表，D点与A 点相隔圆心角2；,由莫尔圆可看出： max与min绝对值均为莫尔圆 半径，即（1-2）/2，它们的 作用面与应力主面相隔45，且在 max与min作用面上仍有正应力 （1+2）/2；,（3）平面应力莫尔圆的基本类型,
