1、两个基本计数原理,问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 325 种不同的走法。,分类计数原理又称为加法原理。,分类计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。,问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中，从
2、甲地到乙地共有多少种不同的走法？,这个问题与前一个问题有什么区别？,在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地,解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有 326 种不同的走法。,分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。,分步计数原理又称为乘法原理。,1、分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类方式”，即每种方式都可以独
3、立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。,2、分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。,例1、某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。 （1)若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？ （2）若
4、学校分配给该班2名代表，且男女生代表各1名，有多少种不同的选法？,应用这两个原理的关键是看完成这件事情是“分类”还是“分步”。,跟踪练习,书架上的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书 (1)从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ (2)从书架上的第一，二，三层各取1本书，有多少中取法？,例2、在下面两个图中，使电路接通的不同方法各有多少种？,8,跟踪练习,【评述】在综合运用两个原理时，一般先分类再分步。,例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字
5、，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？,课堂小结：,1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组,合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分,类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步 计数,原理 。,2.元素能重复的问题往往用计数原理。,3注意：类”间相互独立，“步”间相互联系。,从n个不同元素中取出m(mn)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列.,排列,排列数公式,我们
6、规定:0!=1,从n个不同元素中取出m(mn)个元素, 并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,组合,组合数公式,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理,强调：排列次序性；组合无序性,例4、（1）8张卡片上写着0,1,2,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？,（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？,例5、自然数2520有多少个正约数？,例6、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？,
