1、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,定理3.,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,意义：,在连续的条件下极限符号可以与函数符号互换;,定理4.,注意:定理4是定理3
2、的特殊情况.,例如,例1 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,包含在定义域内的区间,在0点的邻域内没有定义.,的定义域为,因此它无连续点,又如,函数在区间 上连续。,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,例4. 求,解:,原式,说明: 若,则有,幂指函数:,例5. 求,解: 原式 =,例6. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,内容小结,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,作业 P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5,提示:,“反之” 不成立 .,解:,练习：,
