1、2017（20 ）(本题满分 11 分)设 矩阵 有 3 个不同的特征值，312(,A312（I）证明： ;)r（II）若 ，求方程组 的解.123Ax（21 ） （本题满分 11 分） 设二次型 在正交变换 下2212313132(,)8fxxaxxQyx的标准形为 ，求 的值及一个正交矩阵 。yQ2016（20） （本题满分 11 分）设矩阵122,1AaBa当 为何值时，方程 无解、有唯一解、有无穷多解？aXB（21） （本题满分 11 分）已知矩阵0123A（I）求 9A（II）设 3 阶矩阵 满足 ，记 将23(,)B2BA1023(,)123,分别表示为 的线性组合。123,201
2、5(20) (本题满 11 分)设向量组 内 的一个基， ， ， .1,23R13=2+k2=313+k（I）证明向量组 为 的一个基;123R（II）当 k 为何值时，存在非 0 向量 在基 与基 下的坐标相同，并求1,23123所有的 .(21) (本题满分 11 分) 设矩阵 相似于矩阵 .0231aA1203bB=(I) 求 的值；,b（II）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵.P1A201420)(本题满分 11 分)设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.12340AE(I)求方程组 的一个基础解系；x(II)求满足 的所有矩阵 .BEB(21)(本题满分 11 分)证明 阶矩阵 与 相似.n1 0
3、12n 2013（20 ） （本题满分 11 分）设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所有101,aABb,aCAB矩阵 。C（21 ） （本题满分 11 分）设二次型 ，记22123123123,fxaxxbx。2233,ab（I）证明二次型 对应的矩阵为 ；f2T（II）若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变化下的标准形为二次型,f。21y2012（20） （本题满分 11 分）设10aA，10（）计算行列式 A.（）当实数 a为何值时，方程组 Ax有无穷多解，并求其通解.（21） （本题满分 11 分）已知10Aa，二次型 123(,)()TfxAx的秩为 2（）求实数 的值
4、；（）求利用正交变换 xQy将 f化为标准形201120、 （本题满分 11 分）设向量组 ， ， 不能由向量组 ，T)1,0(T)1,0(2T)5,3(T)1,(， 线性表示；3,2a,4（1 ） 求 的值；a（2 ） 将 用 线性表示；321,321,21、 （本题满分 11 分）A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 101-0A求（1）A 的特征值与特征向量 （2 ） 矩阵 A2010(20)(本题满分 11 分)设向量组 ，不能由向量组 ，123(,0(0,1)(,5)TTT， ， 1(,)T， 线性表示 2(,3)T4)a(I) 求 的值；a(II) 将 由 线性表示123,
5、123,(21)(本题满分 11 分)为三阶实对称矩阵， 的秩为 2，即 ，且 AA2rA1100(I) 求 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵 A2009(20)(本题满分 11 分)设 ,已知线性方程组 存在两个不同的解.101aAb， Axb( I ) 求 , ；a( II ) 求方程组 的通解.Axb(21)(本题满分 11 分)已知二次型 在正交变换 下的标准形为 ,且 的第123(,TfxxxQy21yQ三列为 .(,0)2T( I ) 求矩阵 ；A( II ) 证明 为正定矩阵,其中 为 3 阶单位矩阵.EE2008(20)(本题满分 11 分)设,1042A1()求满足 的所
6、有向量 ；22131,23,()对()中的任意向量 ,证明： 线性无关.23123,(21)(本题满分 11 分)设二次型 2212313123,fxaxxx()求二次型 的矩阵的所有特征值；f()若二次型 的规范形为 ,求 的值.f21ya2007(20)(本题满分 10 分)， 是三维列向量， 为 的转置， 为 的转置TA, TT(I) 证 ；()2r(II) 若 线性相关，则 .,()2rA(21)(本题满分 12 分)设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中221naAa AXB， ，1,TnXx 1,0TB(I) 求证 nAa(II) 为何值，方程组有唯一解，求a1x(III) 为何值，方
7、程组有无穷多解，求通解2007(21)(本题满分 11 分)设线性方程组 12312304xax(1)与方程 123x(2)有公共解，求 得值及所有公共解.a(22)(本题满分 11 分)设 3 阶实对称矩阵 的特征值 是 的属于 的A1231,(,)TA1一个特征向量, 记 ，其中 为 3 阶单位矩阵 .534BE(I) 验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；1B(II) 求矩阵 .2006(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组 有 个线性无关的解1234145xxab3(I) 证明方程组系数矩阵 的秩 ;A2r(II) 求 的值及方程组的通解.,ab(21)(本
8、题满分 9 分)设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ,向量 是3A312,0,1TT线性方程组 的两个解.0x(I) 求 的特征值与特征向量 (II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQA200520)(本题满分 9 分)已知二次型 的秩为 2.212321321 )()()(,( xaxaxxf (I) 求 的值；a(II) 求正交变换 ，把 化成标准形；Qyx),(321xf(III) 求方程 =0 的解.),(321f(21)(本题满分 9 分)已知 3 阶矩阵 的第一行是 不全为零，矩阵 ( 为常数)，Acba,),( kB63421且 , 求线性方程组 的通解.0B0x200
9、4(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组 )2(,0)(,2)2(121 nxanxnan 试问 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.a(21)(本题满分 9 分)设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 的值，并讨论 是否可相51342aAaA似对角化.2003九 、(本题满分 10 分)设矩阵 ， ， ，求 的特征值与特32A10PPAB*12BE征向量，其中 为 的伴随矩阵， 为 3 阶单位矩阵.*E十 、(本题满分 8 分)已知平面上三条不同直线的方程分别为， ， .1:230laxbyc2:30lbxcya3:20lcxayb试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为 .b2
10、002九、(本题满分 6 分)已知 4 阶方阵 均为 4 维列向量，其中 线性1234(,)A123,234,无关， .如果 ，求线性方程组 的通解.1234Ax十、(本题满分 8 分)设 为同阶方阵，,AB(1)如果 相似，试证 的特征多项式相等.,AB(2)举一个二阶方阵的例子说明(1) 的逆命题不成立.(3)当 均为实对称矩阵时，试证(1) 的逆命题成立.,AB2001九、(本题满分 6 分)设 为线性方程组 的一个基础解系，12,s 0Ax其中 为实常数.试问 满足什12123121,ssttt 2,t12,t么关系时， 也为 的一个基础解系.1s 0x十、(本题满分 8 分)已知 3
11、 阶矩阵 与三维向量 , 使得向量组 线性无关，且满足Ax2,xA2x(1) 记 求 2 阶矩阵 , 使,PxAB1;AP(2) 计算行列式 .E2000十、(本题满分 6 分)设矩阵 的伴随矩阵 且 其中 为4 阶单A*10,3813,ABE位矩阵，求矩阵 .B十一、(本题满分 8分)某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援16其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工.设第 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 记25n ,nxy成向量 . (1) 求 与 的关系式并写成矩阵形式：nxy1nn
12、xy1;nnxAy(2) 验证 是 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；124,A(3) 当 时，求12xy1.nxy1999十、(本题满分 8分)设矩阵 其行列式 又A 的伴随矩阵 有一个特征值 ，153,0acAb1,*0属于 的一个特征向量为 求 和 的值.0(1,),T,abc0十一、(本题满分 6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵， 为B的转置矩阵，试证：T为正定矩阵的充分必要条件是B的秩 .T rn1998十、 （本题满分 6 分）已知二次曲面方程 2224xayzbxyz可以经过正交变换xyzP化为椭圆柱面方程 24,求 a的值和正交矩阵 .P十一、 （
13、本题满分 4 分）设 A是 n阶矩阵,若存在正整数 ,k使线性方程组 kxA0有解向量 ,且 1.kA0证明:向量组 1,k 是线性无关的.十二、 （本题满分 5 分）已知方程组() 121,2,12,20 nnnaxax的一个基础解析为 121,212,12,(,)(,),().TTTnnnnbbb 试写出线性方程组() 121,2,12,20 nnnyybb的通解,并说明理由.1997七、(本题共 2 小题,第(1) 小题 5 分,第(2)小题 6 分,满分 11 分)(1)设 B是秩为2的 4矩阵 123,3,1,4,5,18,9TTT是齐次线性方程组 x0的解向量,求 xB0的解空间的
14、一个标准正交基.(2)已知1是矩阵2531abA的一个特征向量 .1)试确定 ,ab参数及特征向量 所对应的特征值.2)问 能否相似于对角阵 ?说明理由.八、 （本题满分 5 分）设 A是 n阶可逆方阵,将 A的第 i行和第 j行对换后得到的矩阵记为 .B(1)证明 B可逆.(2)求 1.1996八、 （本题满分 6 分）设 ,TAI其中 I是 n阶单位矩阵 ,是 n维非零列向量 ,T是 的转置.证明(1) 2的充分条件是 1.T(2)当 1T时 ,是不可逆矩阵.九、 （本题满分 8 分）已知二次型 2212313132(,)56fxxcxx的秩为 2,(1)求参数 c及此二次型对应矩阵的特征
15、值.(2)指出方程 123(,)fx表示何种二次曲面.1995八、 （本题满分 7 分）设三阶实对称矩阵 A的特征值为 123,1,对应于 1的特征向量为10,求 .九、 （本题满分 6 分）设 A为 n阶矩阵,满足 (AI是 n阶单位矩阵 ,A是 的转置矩阵 ),0,A求.I1994八、 （本题满分 8 分）设四元线性齐次方程组()为 1240x,又已知某线性齐次方程组( )的通解为 12(,)(1,).kk(1)求线性方程组()的基础解析. (2)问线性方程组()和( )是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、 （本题满分 6 分）设 A为 n阶非零方阵 *
16、,是 A的伴随矩阵 ,是 A的转置矩阵,当 *A时,证明0.1993七、 （本题满分 8 分）已知二次型 22123133(,) (0)fxxax通过正交变换化成标准形215fyy求参数 a及所用的正交变换矩阵.八、 （本题满分 6 分）设 A是 nm矩阵 ,B是 n矩阵,其中 ,mI是 n阶单位矩阵,若 ,ABI证明B的列向量组线性无关.1992八、 （本题满分 7 分）设向量组 123,线性相关,向量组 234,线性无关,问:(1) 1能否由 23,线性表出?证明你的结论.(2) 4能否由 123,线性表出?证明你的结论.九、 （本题满分 7 分）设 3 阶矩阵 A的特征值为 123,对应
17、的特征向量依次为123,49又向量12.3(1)将 用 123,线性表出.(2)求 (nA为自然数 ).1991七、 （本题满分 8 分）已知 1234(,03),(1,5)(1,2,)(1,8)aa及(,5.b(1)a、 为何值时 ,不能表示成 1234,的线性组合 ?(2) 、 b为何值时 ,有 1234,的唯一的线性表示式 ?写出该表示式.八、 （本题满分 6 分）设 A是 n阶正定阵 ,E是 n阶单位阵,证明 AE的行列式大于 1.1990七、 （本题满分 6 分）设四阶矩阵 1021340,BC且矩阵 A满足关系式 1()AECB其中 E为四阶单位矩阵 1,表示 的逆矩阵 ,表示 的
18、转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .A八、 （本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型 2213132448fxxx成标准型.1989七、 （本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组 13x12341236x有解,并求出解的一般形式.八、 （本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值,证明(1) 1为 的特征值.(2) 为 A的伴随矩阵 *的特征值.1988七、 （本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求 5.A八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1PB的可逆阵 .P1987九、 （本题满分 8 分）问 ,ab为何值时,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
