1、【题型】应用题【题目】 用 3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图 19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形如果这个大等边三角形昀每边由 20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为 20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了 3根火柴；从上向下数第二层用了 326 根火柴；从上向下数第三层用了 339 根火柴；从上向下数第 20层用了 32060 根火柴所以，总共要用火柴 3(1+2+3+20)630 根【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】 如图 19-2，用长短相同的火柴棍摆成 31996的方格网，其中每个小方格的边都由一根
2、火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 【答案】13975【解析】横放需 19964根，竖放需 19973根，共需 19964+1997313975 根【难度】难度 2【知识点】几何计数【题目】 图 19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?【答案】121【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图平行四边形中棋孔数为 9981，每个小三角形中有 10个棋孔，所以棋孔共有 81+104121个或直接数出有 121个【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】 如图 19-4，在桌面上，用 6个边长为 l的正三角形可以拼成一个边长为 1的正六边形如果在桌面上要拼出一个边长
3、为 6的正六边形，那么，需要边长为 1的正三角形多少个？【答案】216【解析】如图 AB6，组成AOB 需要边长为 1的正三角形共：1+3+5+7+9+1136 个，而拼成边长为 6的正六边形需要 6个AOB，因此总共需要边长为 1的正三角形 366216 个【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】 如图 19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为 5厘米、7 厘米、9 厘米、2 厘米和 4厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和【答案】100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，
4、竖向线段，即可于是横向线段有(1+2+3+4)10 种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)10 种选法，则共有 1010100 个长方形这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)1248610664(平方厘米)【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】 如图 19-6，18 个边长相等的正方形组成了一个 36的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?【答案】36【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等其中只占有下面一行的有如下 12种情况：于是共有 12336
5、个正、长方形包含“*” 【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】 图 19-7是由若干个相同的小正方形组成的那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 【答案】130【解析】每个 44正方形中有：边长为 1的正方形 44个；边长为 2的正方形 33个；边长为 3的正方形22个，边长为 4的正方形 11个总共有 44+33+22+1130 个正方形现在 5个 44的正方形，它们重叠部分是 4个 22的正方形因此，图中正方形的个数是 30554130【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】 图 19-8中共有多少个三角形?【答案】22【解析】边长为 1的正三角形，有 16个边长为 2的正三角形，尖
6、向上的有 3个，尖向下的也有 3个因此共有 16+3+322 个【难度】难度 2【知识点】几何计数【题目】 图 19-9是由 18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?【答案】6【解析】设小正三角形的边长为 1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为 1的正三角形有 1个；边长为 2的正三角形有 4个，边长为 3的正三角形有 1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有 1+4+16 个【难度】难度 2【知识点】几何计数【题目】 如图 19-10，AB，CD，EF，MN 互相平行，则图中梯
7、形个数与三角形个数的差是多少? 【答案】20【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)440 个，梯形(1+2+3+4)(1+2+4)60 个，梯形比三角形多 604020 个【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】 在图 19-1l中，共有多少个不同的三角形?【答案】85【解析】下图中共有 35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出 5+5215 个三角形，共计 352+1585 个三角形【难度】难度 5【知识点】几何计数【题目】 如图 19-12，一块木板上有 13枚钉子用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图 19-13那么，一共可以构成多少个不同的正方形? 【
8、答案】11【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为 1，面积为 1的正方形有 5个，如图 a所示；面积为 2的正方形有 4个，如图 b所示；面积为 4的正方形有 1个，如图 c所示；还有 1个面积比 4大的正方形，如图 d所示；于是，一共可以构成 5+4+1+111 个不同的正方形【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】 如图 19-14，用 9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为 1厘米的正方阵用一根橡皮筋将 3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形在这样得到的三角形中，面积等于 1平方厘米的三角形共有多少个?【答案】32【解析】我们分三种情况来找面积为 1平方厘米的三角形，这些三角形的底
9、与高分别为1厘米或 2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图 a所示有AOC，COE，EOG，GOA，BOH，DFB，FHD，HBF，共计 8个，其中以 AC，CF，FG，GA 为底的各一个，以 BF，DH 为底的各两个(2)直角三角形，如图 b所示有ACH，CHD，ACD，DHA，BEF，BCE，CEF，CFB，DEG，DGH，EGH，EHD，GAB，GBF，FAB，FGA，共计 16个，其中以 AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB 为斜边的各两个(3)钝角三角形，如图 c所示有ABE，AHE，ADE，AFE，CBG，CFG，CDG，CHG 共计 8个，其中以 AE
10、、CG 为边的各四个于是，综上所述，共有面积为 1平方厘米的三角形 32个【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】 如图 19-15，木板上钉着 12枚钉子，排成三行四列的长方阵那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?【答案】200【解析】我们先任意选取三个点，那么第 1个点有 12个位置可以选择，第 2个点有 11个位置可以选择，第 3个点有 10个位置可以选择，但是每 6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA 均是同一个图形所以有 1211106220 种选法，但是如果这 3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有 4种情况，共 34；每列
11、有 1种情况，共 14；2 个边长为 2的正方形的 4条对角线，共 4种情况所以，可以套出 22034144200 个不同的三角形【难度】难度 2【知识点】几何计数【题目】 如图 19-16，正方形 ACEG的边界上有 A，B，C，D，E，F，G 这 7个点，其中B，D，F 分别在边 AC，CE，EG 上以这 7个点中的 4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?【答案】12【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从 7个点中任取 4个点，则第一个点有 7个位置可选，第二个点有 6个位置可选，第三个点有 5个位置可选，第四个点有 4个位置可选，而不考虑先后，那么有 432124 种选法的
12、实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7654)2435我们只要从中减去不能构成四边形的情形对图 19-16而言，任取 4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的 4个点中有 3个来自正方形 ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3 点，第 4个点无论如何选取都不能构成四边形正方形的 4条边中有 3条都存在这样的情况而每次这种情况发生时，第 4个顶点的选取有 4种可能所取的顶点只有 4个，因此不可能出现同时选择了 2条有 3点共线的边的情况那么需要排除的情况有 4312 种所以，满足题意的四边形个数有 351223 个【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】数一数
13、下列图形中各有多少条线段.【答案】15【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是 A，即以 A为左端点的线段有 AB、AC 两条以 B为左端点的线段有 BC一条，所以上图（1）中共有线段 213 条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以 A为左端点的线段有 AB、AC、AD 三条，以 B为左端点的线段有 BC、BD 两条，以C为左端点的线段有 CD一条.所以上页图（2）中共有线段为 321
14、6 条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有 n个分点，则这条大线段就被这 n个分点分成 n1 条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段 AD上有两个分点 B、C，这时分点 B、C 把 AD分成 AB、BC、CD 三条基本线段，那么线段 AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是 AD这样一条.所以线段 AD上总共有线段 3216 条，又如上页图（3）中线段 AE上有三个分点 B、C、D，这样分点 B、C、D 把线段 AE分为AB、BC、CD、DE 四条基本线段，那么线
15、段 AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有 3条，然后是包含有三条基本线段的有 2条，最后是包含有 4条基本线段的有一条，所以线段 AE上总共有线段是 432110 条.解：213（条）. 3216（条）. 432110（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从 1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加 1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减 1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段 AF上所有点数（包括两个端点
16、A、F）共有 6个，所以从 1开始的连续自然数的和中最大的加数是 615，或者线段 AF上的分点有 4个（B、C、D、E）.所以从 1开始的连续自然数的和中最大的加数是 415.也就是线段 AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是 5.所以线段 AF上总共有线段的条数是5432115（条）.【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】数出下图中总共有多少个角.【答案】10【解析】在AOB 内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，AOB 被这三条角分线分成 4个基本角，那么AOB 内总共有多少个角呢？首先有这 4个基本角，其次是包含有 2个基本角组成的角有 3个（即AOC2、C1OC
17、3、C2OB），然后是包含有 3个基本角组成的角有 2个（即AOC3、C1OB），最后是包含有 4个基本角组成的角有 1个（即AOB），所以AOB 内总共有角：432110（个）.解：432110（个）.小结：数角的方法可以采用例 1数线段的方法来数，就是角的总数等于从 1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加 1，也就是基本角的个数.【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】数一数下图中总共有多少个角？【答案】55【解析】因为AOB 内角分线 OC1、OC2OC9 共有 9条，即 9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）.【难度】
18、难度 3【知识点】几何计数【题目】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？【答案】（1）6（2）10【解析】可以采用类似例 1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以 AB为一条边的三角形共有：ABD、ABE、ABF、ABC 四个三角形.再数以 AD为一条边的三角形共有：ADE、ADF、ADC 三个三角形.以 AE为一条边的三角形共有：AEF、AEC 二个三角形.最后以 AF为一条边的三角形共有AFC 一个三角形.所以三角形的个数总共有 4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：ABD、ADE、AEF、AFC 四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：ABE
19、、ADF、AEC 三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：ABF、ADC 二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有ABC 一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：3+2+1=6（个） 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是 6个和 10个.小结：计算三角形的总数也等于从 1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加 1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【答案】60,30【解析】分析在数的过程中应充分
20、利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从 1开始的连续几个自然数的和.要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC、上各有 2个分点，各分成3条基本线段，再看 BC、MN、GH 这 3条线段上各有 3个分点，各分成 4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH 中，在 GH上有 3个分点，分成基本小三角形有 4个.所以在AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在AMN 与AB
21、C 中，三角形有同样的个数，所以在ABC 中三角形个数总共：（4+3+2+1）3=103=30（个）.解：在ABC 中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）在ABC 中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）.【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】如右图中，共有多少个角？【答案】13【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.1、2、3、4 我们可视为 4个基本角，由 2个基本角组成的有：1 与2、2 与3、3 与4、4 与1，共 4个角.由 3个基本角组成的角有：1、2 与3；2、3 与4；3、4 与1；4、
22、1 与2，共 4个角，由 4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：43+1=13（个）.解：所以图中共有角是：43+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有 n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】在图中(单位：厘米)：一共有几个长方形?所有这些长方形面积的和是多少?374218125【答案】100,12384【解析】一共有 (个)长方形；(4321)(43210所求的和是 5128(512)(8)(1528)(1)(5128)473473473473(平方厘米)。6【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】由 2
23、0个边长为 1的小正方形拼成一个 长方形中有一格有“”图中含有45“”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。 【答案】48,360【解析】含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有 个，面积总和为684。(1235)(1234)60【难度】难度 3【知识点】几何计数【题目】图中共有多少个三角形？【答案】118【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为 6类（1）最大的三角形 1个(即 ABC)，（2）第二大的三角形有 3个（3）第三大的三角形有 6个（4）第四大的三角形有 10个（
24、5）第五大的三角形有 15个（6）最小的三角形有 24个所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形 259=118（个） 。【难度】难度 4【知识点】几何计数【题目】一个圆上有 12个点 A1， A2， A3， A11， A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【答案】55【解析】我们采用递推的方法I如果圆上只有 3个点，那么只有一种连法如果圆上有 6个点，除 A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在 A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表 1给出这时有可能的连法。如果圆上有 9
25、个点，考虑 A1所在的三角形此时，其余的 6个点可能分布在： A1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上在表 2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧如果是情形，则由，这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法.共有 12种连法最后考虑圆周上有 12个点同样考虑 A1所在三角形，剩下 9个点的分布有三种可能：9 个点都在同一段弧上：有 6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；每三个点在 A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表 3共有 123+36+155 种所以当圆周上有 12个点时，满足题意的连法有 55种。【难度】难度 5【知识点】几何计数
