1、函数解析式,在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.,一、配凑法,f(x)=x2-x+1(x1).,二、换元法,所以 f(x)=2lnx-3 (x0).,评注: 通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得 f(x). 又如: 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x).,例2 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x).,解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t0, 有:,f(t)
2、=2lnt-3 (t0).,f(x)=2x2+4x+1(-2x0),三、解方程组法,解由 , , 组成的方程组, 得:,四、递推求和法,例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a0 且f(2)=8, 求 f(n) 的解析式.,解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, , f(n)-f(n-1)=an,将这(n-2)个式子相加, 得:,评注: 这是运用数列中递推公式的思想.,f(n)-f(2)=a3+a4+an=, f(2)=8,五、待定系数法,例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x).,解: 由原式
3、可知 fg(x) 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式.,而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设:,f(x)=ax2+bx+c, 从而有:,f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).,比较系数得: a=1, b=0, c=-1.,从而有: f(x)=x2-1.,评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各系数.,又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子,即 13ax2+(6a+5b)x+(a+
4、b+2c)13x2+6x-1 .,例6 已知 fff(x)=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x).,解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则:,六、迭代法,ff(x)=a2x+ab+b.,fff(x)=a3x+a2b+ab+b.,由题意知: a3x+a2b+ab+b27x+13.,比较系数得: a=3, b=1.,故 f(x)=3x+1.,评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.,七、数学归纳法,解: f(1)=a,=4-21+2-1a,故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下:,=4-20+2-2a,=4-2-1+2-3a,=4-2
5、-2+2-4a,=4-22+20a,证明从略.,故 f(n)=4-23-n+21-na.,评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证明, 适用于自然数集上的函数.,课堂练习,1.已知 f(x) 是一次函数, 且 ff(x)=4x-1, 求 f(x) 的解析式.,5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x).,4.已知 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x).,6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x).,7.已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x(-6, -2) 时 f(x) 的解析式.,f(x)=x2-1(x1),f(x)=x2+x+1,f(x)=-x2-8x-15,9.已知 F(x)=f(x)-g(x), 其中 f(x)=loga(x-b), 当且仅当点 (x0, y0)在 f(x) 的图象上时, 点 (2x0, 2y0) 在 y=g(x) 的图象上(b1, a0 且a1), (1)求 y=g(x) 的解析式; (2)当 F(x)0 时, 求 x 的范围.,
