1、- 1 -松江区 2016 学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2017.4一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1已知 ，则 ()2xf1(3)f2已知集合 则 ,0MNMN3若复数 （ 是虚数单位） ，且 为纯虚数,则实数 = 12,zaizi12za4直线 （ 为参数）对应的普通方程是 3xty5若 ，且1(2) ,3nnxaxbcnN，则 的值为 4bc6某空间几何体的三视图如图所示，则该几
2、何体的侧面积是 7若函数 在区间 上有零点，则实数()2)1xfa0,的取值范围是 a8在约束条件 下，目标函数 的最大值为 3xy2zxy9某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 13 10已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，记 若此椭圆210yxb12F、12c俯视图- 2 -上存在点 ，使 到直线 的距离是 与 的等差中项，则 的最大值为 P1xc1PF2b 11如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 在大圆上， 与小圆相切于点 ，PAA为小圆上的点，则 的取值范围
3、是 QPAQ12已知递增数列 共有 项，且各项均不为零， ，如果从 中任取两项na20172017ana，当 时， 仍是数列 中的项，则数列 的各项和 ,ijaijjinan2017S二、选择题(本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 13设 分别是两条异面直线 的方向向量，向量 夹角的取值范围为 ，ab、12l、ab、A所成角的取值范围为 ，则“ ”是“ ”的 12l BAB(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件14 将函数 图
4、像上的点 向左平移 个单位，得到点 ，若sin12yx,4Pt(0)sP位于函数 的图像上，则 P(A) ， 的最小值为 (B) ， 的最小值为 2ts632ts6(C) ， 的最小值为 (D) ， 的最小值为 1ts12ts1215某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如图所示（收支差额 车票收入yx支出费用） ，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议( )不改变车票价格，减少支出费用；建议() 不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 - 3 -(A) 反映了建议（ ） ，反映了建议（ ）(B) 反映了建议（）
5、 ，反映了建议（ ）(C) 反映了建议（） ，反映了建议（ ）(D) 反映了建议（ ） ，反映了建议（ ）16设函数 的定义域是 ，对于以下四个命题：()yfxR(1) 若 是奇函数，则 也是奇函数；()yfx(2) 若 是周期函数，则 也是周期函数；()yfx(3) 若 是单调递减函数，则 也是单调递减函数；()yfx(4) 若函数 存在反函数 ，且函数 有零点，则函()yfx11()yfx数 也有零点其中正确的命题共有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
6、17 （本题满分 14 分；第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ，CBAABACB， ， 是侧棱 上一点，设 2ACB41M1hMC- 4 -(1) 若 ，求 的值；CABM1h(2) 若 ，求直 线 与 平 面 所 成 的 角 2h1ABM18 （本题满分 14 分；第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）设函数 ，函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称()2xf()g()fxy(1)若 ，求 的值；43xg(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围0,3)2()(xgaf a19 （本题满分 14 分；第 1 小题 6 分，第
7、2 小题 8 分）如图所示， 是某海湾旅游区的一角，其中 ，为了营造更加优PAQ120PAQ美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 和 上分别修建观光长廊 和ABAC，其中 是宽长廊，造价是 元/米， 是窄长廊，造价是 元/米，两段长B80C4廊的总造价为 120 万元，同时在线段 上靠近点 的三等分点 处建一个观光平台，BD并建水上直线通道 （平台大小忽略不计） ，水上通道的造价是 元/米AD10(1) 若规划在三角形 区域内开发水上游乐项目，要求 的面积最大，那么CABC和 的长度分别为多少米？B- 5 -(2) 在(1)的条件下，建直线通道 还需要多少钱？AD20 （本题满分 16 分
8、；第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）设 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 不 同 两 点 、 ， 与 圆l2yxAB)0()5(22ryx相切于点 ，且 为线段 中点MAB(1) 若 是正三角形（ 是坐标原点） ，求此三角形的边长；AOB(2) 若 ，求直线 的方程；4rl(3) 试对 进行讨论，请你写出符合条件的直线 的条数（直接写出结论） 0,l21 （本题满分 18 分；第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）对于数列 ，定义 ， na131nnTaa *N(1) 若 ，是否存在 ，使得 ？请说明理由；n*kN207k(2) 若
9、 ， ，求数列 的通项公式；13a61nTna(3) 令 ，求证： “ 为等差数列”的充要条件是“21 *2,nnbN na的前 4 项为等差数列，且 为等差数列”anb- 6 -松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）2017.4一填空题（本大题共 54 分）第 16 题每个空格填对得 4 分，第 75 题每个空格填对得5 分1 2 3 4 5 6,010xy6407 8 9 10 11 12,12233,09二、选择题 （每小题 5 分，共 20 分）13 C 14A 15. B 16B 三解答题（共 78 分）17 （1）以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直
10、角坐标AABC1xyz系，如图所示，则 , ， ， 2 分)02(B)4,(1A)0,2(C),(hM- 7 -， 4 分),2(hBM)4,20(1CA由 得 ，即1 0h解得 6 分h(2) 解法一：此时 (0,2)8 分12,2,04ABMBA设平面 的一个法向量为 (,)nxyz由 得 0nAxyz所以 10 分(,1)设 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为1BM则 12 分1410sin52A所 以 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 14 分1BMsinarc解法二：联结 ， 则 ，1A1A， 平面 8 分1,BCB1C平面1AM1AM所以 是直 线 与 平 面 所 成 的
11、 角 ； 10 分1B1B在 中 ， 1ARt 112,0A- 8 -所 以 12 分11210sin5AMB所 以 1arcsin所 以 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 14 分1BAM10sin5arc18 （1）由 得 2 分()43fxg243xx230x所以 （舍）或 ， 4 分1x24x所以 6 分（2）由 得 8 分()(2)3faxg23ax10 分23axaxx而 ，当且仅当 时取等号12 分xx 423,log30,xx即所以 ，所以 14 分23a21loga19 （1）设 长为 米， 长为 米，依题意得 ，ABxCy804120xy即 ， 2 分230xy4 分
12、1sin2ABCSyx43- 9 -=yx2832yx815032m当且仅当 ，即 时等号成立，7,所以当 的面积最大时， 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米6 分ABC AB（2）在(1)的条件下，因为 750,10mC由 8 分13D得22ABAC10 分2291492 275050()150， 12 分|AD元1050所以，建水上通道 还需要 万元 14 分5解法二：在 中， ABC120cos22ACBA8 分2275017501cos075在 中，ABDACBcos2210 分75021)(75022在 中，ABDBDABcos2- 10 -= 12 分72)50(7
13、2)50(72 50元1所以，建水上通道 还需要 万元 14 分AD50解法三：以 A 为原点，以 AB 为 轴建立平面直角坐标系，则 ，x)0,(A),75(B,即 ，设 8 分)120sin5,cos150(C)3750,(C,0yxD由 ，求得 ， 所以 10 分2DB30yx2,所以， 12 分22)05()(| A5元1050所以，建水上通道 还需要 万元 14 分D5020 (1)设 的边长为 ，则 的坐标为 2 分AOB aA31(,)2a所以 所以2134,a8此三角形的边长为 4 分8(2)设直线 :lxkyb当 时， 符合题意 6 分0k1,9当 时，8 分2240xkyb
14、kyb2 2212116()0, (,)kyxMkb- 11 -1,ABCMABkk2235bkb2216()()0k22541brk，舍去230,k综上所述，直线 的方程为： 10 分l1,9x(3) 时，共 2 条；12 分0,24,5r时，共 4 条； 14 分,时，共 1 条 16 分5,r21：（1）由 ，可知数列 为递增数列，2 分0nanT计算得 ， ，17938217T82017所以不存在 ，使得 ； 4 分*kNkT（2）由 ，可以得到当 时，61nT*2,nN， 6 分1111(6)()56nnna又因为 ，125T所以 ， 进而得到 ，*16,nnaN*1256,nnaN
15、- 12 -两式相除得 ，*26,naN所以数列 ， 均为公比为 6 的等比数列， 8 分21k2k由 ，得 ，13a25所以 ； 10 分1*26,53nnkN（3）证明：由题意 ，1212312bTa当 时， ，*,nN1121nnnnTa因此，对任意 ，都有 12 分*121nnnb必要性( )：若 为等差数列，不妨设 ，其中 为常数，nanabc,显然 ，213243由于 = ，121nnnba22()nabnc所以对于 ， 为常数，*N1nb故 为等差数列； 14 分nb充分性( )：由于 的前 4 项为等差数列，不妨设公差为 nad当 时，有 成立。15 分3(1nk413121,daa假设 时 为等差数列，*,)kNn即 16 分321,kkkadada- 13 -当 时，由 为等差数列，得 ，*4(1,)nkNnb21kkb即： ，34231212312()()kkkkkkaaaa所以 17 分231214kkkk()()()2)()3kkkkkadadad，227143kkadad因此 ，43k综上所述：数列 为等差数列 18 分na
